离散数学__回路与图的连通性(课件)

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单向连通图都是弱连通图，但弱连通图
却不一定是单向连通图。 在弱连通图中，存在这样的顶点A、B，
从A到B不可达，且从B 到A也不可达。
强连通图既是单向连通图，又是弱连通图。 即强连通单向连通弱连通
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有向图的连通性(续)
定理(强连通判别法) D强连通当且仅当D中存在 经过每个顶点至少一次的回路 定理(单向连通判别法) D单向连通当且仅当D中 存在经过每个顶点至少一次的通路 例 下图(1)强连通, (2)单连通, (3) 弱连通
离散数学
7.2 通路、回路与图的连通性
简单通(回)路, 初级通(回)路, 复杂通(回)
路
连通图, 连通分支 弱连通图, 单向连通图, 强连通图 点割集与割点 边割集与割边(桥)
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一、通路和回路
在图中，一条通路是顶点和边的交替序列，以顶点
开始，以顶点结束。其中，第一条边的终点与第二
连通关系 R={<u,v>| u,v V且uv}是V上的等价关系
连通图: 平凡图, 任意两点都连通的图
连通分支: V关于R的等价类的导出子图
设 V/R={V1,V2,…,Vk}, G[V1], G[V2], …,G[Vk] 是 G 的 连通分支, 其个数记作p(G)=k. G是连通图 p(G)=1 若G为非连通图，则P(G) ≥2,在所有的n阶无向图中，
D 的边数为 m n(n 1) ，问D的边数m为多少？
解：由于 D 所以
D
m m
m n(n 1)
D D.
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而n阶有向简单图中，边数 于是
n(n 1) m m n(n 1)
说明D为n阶有向完全图，且
对于
v V (G )，应有 v V (G )，且
由于n-1为偶数，所以dG ( v ) , dG ( v ) 同为奇数或
同为偶数。
dG ( v ) d G ( v ) d K n ( v ) n 1
因此G中的r个奇数度顶点，则 G 也有r个奇数度顶点。 24
7.9 设D是n 阶有向简单图， D 是D的子图，已知
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3、基本通路：如果通路中各个顶点和边都不相同。
如基本通路：v1→v6 →v3 →v4长度为3
4、基本回路(圈)：如果回路中各个顶点和边都不相同。
如基本回路：v1→v6 →v3 →v2 →v1 显然，基本通路（回路）一定是简单通路（回路）。
反之不然。
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若通路(回路)中有边重复出现, 则称为复杂通路(回路).
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7.7 设n阶无向简单图G中 (G) n 1，
问
(G ) 应为多少？
解：由于 (G) n 1，说明G中任何顶点v 的度数
d (v) (G) n 1
而由于G为简单图，于是 (G) n 1, 则有
d (v) n 1
(G) n 1,
环是长度为1的圈, 两条平行边构成长度为2 的圈.
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二、图的连通性：
在图G中，如果A到B存在一条通路，则称A到B是可达的。
1、无向图的连通性 如果无向图中，任意两点是可达的，图为连通图。否则为 不连通图。 当图是不连通时，定是由几个连通子图构成。称这样的连
通图是连通分支。
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无向图的连通性
设无向图G=<V,E>, u与v连通: 若u与v之间有通路. 规定u与自身总连通.
n阶零图是连通分支最多的其分支数为n.
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设 A={1,2,…,8}, R={ <x,y>| x,y∈A∧x≡y(mod 3) } 即:A上模3等价关系的关系图为:
上述关系图被分成三个互不连通的部分，每部 分中的数两两都有关系，不同部分的图无关系。
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【例】 求证：若图中只有两个奇度数顶点，则二 顶点必连通。
条边的始点重合…...。第一条边的始点称为通路的 始点，最后一条边的终点称为通路的终点。
当通路的终点和始点重合时，称为回路。
通路或回路中所含边数称为该通路或回路的长度。
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1、简单通路：如果通路中各边都不相同。
如简单通路：v1→v2 →v5 →v6 →v2 →v3Biblioteka Baidu→v4长度为6
2、简单回路：如果回路中各边都不相同。 如简单回路：v1→v2 →v3 →v5 →v2 →v6 →v1长度为6
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解
用顶点代表人，如果二人会同一种语言，则在代 表二人的顶点间连边，于是得到下图。问题归结为： 在这个图中，任何两个顶点间是否都存在着通路？ 由于下图是一个连通图，因此，必要时通过别人翻 译，他们中间任何二人均可对话。
a b c e
d f g
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定理 在n阶简单图G, 如果对G的每对顶点u和v, deg(u)
，因此 d (v) n 1,
说明G中每个顶点的度数都为n-1,于是有
说明G为n-1阶正则图，即G为n 阶完全图。
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7.8 一个n(n≥2)阶无向简单图G中，n为奇数，
已知G中的r个奇数度顶点，问G的补图 G有几个
奇数度顶点？ 解：由于 G G Kn 而n为奇数，于是Kn中各顶点的度数n-1为偶数，
d(u,v)+d(v,w)d(u,w)
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图的连通性的应用
在实际问题中,
除了考察一个图是否
连通外, 往往还要研究一个图连通的 程度, 作为某些系统的可靠性度量。
图的连通性在计算机网、通信网和
电力网等方面有着重要的应用。
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2、有向图的连通性
对于有向图，“图中任意两点都有通路相连”，
这个要求很高，因为有向图虽然是连在一起的，
+ deg(v)≥ n–1, 则G是连通图。 证明 假设G不连通, 则G至少有两个分图。 设其中一个分图含有q个顶点, 而其余各分图共含有 n– q个顶点。
在这两部分中各取一个顶点u和v, 则
0≤deg(u)≤q – 1,
0≤deg(v)≤n – q – 1,
因此deg(u) + deg(v)≤n – 2,
但受到边的方向的限制，任意两点不一定有通路。
以下分三种情况讨论：
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(a) (b) (c) 1）强连通图：有向图中，任意A、B是互为可达的。如图(a) 2）单向连通图：在有向图中，任意两点A、B存在着A到B的通 路
或存在着B到A的通路。如图(b)
3）弱连通图：在有向图中，如果其底图是无向连通图。如图(c) 显然：在有向图中，如果有一条通过图中所有点的回路， 则此图是强连通的。 如果有一条通过图中所有点的通路，
证明 用反证法来证明。 设二顶点不连通，则它们必分属两个不同的连通 分支，而对于每个连通分支，作为 G 的子图只有一 个奇度数顶点，余者均为偶度数顶点，与握手定理 推论矛盾，因此，若图中只有两个奇度数顶点，则 二顶点必连通。

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【例】 在一次国际会议中，由七人组成的小 组 {a,b,c,d,e,f,g} 中， a 会英语、阿拉伯语； b 会英语、西班牙语； c会汉语、俄语； d会 日语、西班牙语；e会德语、汉语和法语；f 会日语、俄语； g 会英语、法语和德语。问： 他们中间任何二人是否均可对话（必要时可 通过别人翻译）？
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关于通路与回路的几点说明

表示方法 ① 用 顶 点 和 边 的 交 替 序 列 ( 定 义 ), 如
=v0e1v1e2…elvl
=v0v1e2v2e5v3v4v5

② 用边的序列, 如=e1e2…el ③ 简单图中, 用顶点的序列, 如=v0v1…vl ④ 非简单图中,可用混合表示法,如
这与题设deg(u ) + deg(v)≥n – 1矛盾。
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无向图的短程线与距离
u与v之间的短程线: u与v之间长度最短的通路
(u与v连通) u与v之间的距离d(u,v): u与v之间短程线的长度 若u与v不连通, 规定d(u,v)=∞.
性质：
d(u,v)0, 且d(u,v)=0 u=v
d(u,v)=d(v,u)
(1)
(2)
(3)
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思考：判断下列图中哪些是强连通图，哪些是单向连通图，哪 些 是弱连通图。
(a)
(b)
(c)
(d)
答案: (a), (d)是强连通图, (b)是单向连通图, (c)是弱连通图.
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有向图的短程线与距离
u到v的短程线: u到v长度最短的通路 (u可达v) u与v之间的距离d<u,v>: u到v的短程线的长度 若u不可达v, 规定d<u,v>=∞. 性质： d<u,v>0, 且d<u,v>=0 u=v d<u,v>+d<v,w> d<u,w> 注意: 没有对称性