应用整体思想 巧解角度问题

应用整体思想 巧解角度问题

“整体思想”是中学数学中的一种重要思想方法,贯穿于中学数学的全过程,有些问题局部求解,各个击破,无法解决,而从全局着眼,整体思考,会使问题化繁为简,化难为易,思路清淅,演算简单,复杂问题迎刃而解,现就如何应用整体思想,巧解角度问题,略举几例析解如下,供同学们学习时参考：

例1 如图, △ABC 的∠B 和∠C 的平分线相交于点D,若∠A=800,试求∠BDC 的度数. 分析 若能分别求得∠DBC 和∠DCB 的度数,则∠BDC 的度数立即可得, 由题设条件,无法得到.但可求得∠ABC+∠ACB=1000.又BD 、CD 分别是∠ABC 和 ∠ACB 的平分线,则∠DBC=21∠ABC, ∠DCB=21∠ACB,从而可得∠DBC+∠DCB =500.,这时若把∠DBC+∠DCB 的和看成一个整体,则∠BDC 的度数容易求得. 解 在△ABC 中, ∠ABC+∠ACB=1800-∠A=1800-800=1000.

∠DBC+∠DCB=21∠ABC+21∠ACB=21(∠ABC+∠ACB)=2

1×1000=500. 在△BCD 中,∠BDC=1800-(∠DBC+∠DCB)=1800-500=1300.

例2 如图,在△ABC 中,BD 平分∠ABC, ∠ACE 是△ABC 的外角,CD 平分∠ACE,BD 、CD 相交于点D.若∠A=1160,试求∠BDC 的度数.

分析 若能分别求得∠DBC 和∠DCB 的度数,则易得∠BDC 的度数,

由题设∠DBC 和∠DCB 的度数难以求得.而根据角平分线定义、三角形内角和定理及外角性质,可得

∠DBC=21∠ABC, ∠ACD=2

1∠ACE, ∠DCB=∠ACB+∠ACD 及∠ACE=∠A+∠ABC, 在求解过程中把∠DBC+∠DCB 和∠A+∠ABC+∠ACB 的和当成整体来考虑,则问题会迎刃而解.

解根据角平分线定义、三角形内角和定理及外角性质,可得

∠DBC=

21∠ABC, ∠ACD=2

1∠ACE,∠DCB=∠ACB+∠ACD,∠ACE=∠A+∠ABC, 在△BCD 中,∠D=1800-(∠DBC+∠BCD)=1800-[21∠ABC+∠ACB+2

1(∠A+∠ABC)] =1800-[(∠A+∠ABC+∠ACB)- 21∠A]=1800-1800+21∠A=21∠A=21×1160=580. 例3 如图,BG 平分∠ABD,CG 平分∠ACD,若∠BDC=1400, ∠BGC=1100求∠A 的度数 分析连BC,构成△ABC,△GBC 和△DBC,根据三角形内角和定理,把∠DBC+∠DCB, ∠GBC+∠GCB,

∠GBD+∠GCD, ∠ABD+∠ACD 和∠ABC+∠ACB 分别当成整体来考虑,则问题迅捷可解.

解 在△DBC 中,由∠BDC=1400,得∠DBC+∠DCB=400.

在△GBC 中,由∠BGC=1100,得∠GBC+∠GCB=700.

所以∠GBD+∠GCD=300. 由BG 平分∠ABD,CG 平分∠ACD, 得到21∠ABD+21∠ACD=300,则∠ABD+∠ACD=600, 又∠DBC+∠DCB=400,所以∠ABC+∠ACB=1000,从而得到∠A=800. 点评: 在解题过程中,多次运用了整体思想,才使问题得以顺利解决

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例4.如图,在四边形ABCD 中,延长BA 、CD 相交于点E,延长DA 、CB

相交于点F,∠BEC 、∠CFD 的角平分线相交于点G,若∠ADC=800, ∠ABC=600,

试求∠EGF 的度数.

分析:延长EG 交BC 于点H, 则∠EGF=∠EHF+∠2=∠1+∠C+∠2,

若能分别求得∠1、∠2和∠C 的大小,则∠EGF 的度数可求,但从题设条件无法

求得.若把∠1+∠2+∠C 当成一个整体,再在△BCE 和△CDF 中利用三角形内角和定理,可使问题迎刃而解.

解:因为EG 、FG 分别平分∠BEC 和∠CFD,所以∠BEC=2∠1,∠CDF=2∠2,

延长EG 交BC 于点H,则∠EGF=∠EHF+∠2=∠1+∠C+∠2,

在△BCE 中, 2∠1+∠C+∠CBE=1800;在△CDF 中, 2∠2+∠C+∠CDF=1800,

两式相加,得2(∠1+∠2+∠C)+ ∠CBE+∠CDF=3600,

因为∠CBE=600,∠CDF=800,所以∠1+∠2+∠C=1100,即∠EGF=1100.

点评:在求解与三角形有关的角度问题时,局部求解比较困难,可利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和及三角形的三角内角的和等于1800,应用整体思想求解,可使问题化繁为简,化难为易,复杂问题迎刃而解,同时也有利于同学们数学思维能力的培养.

下面还有几道练习题,同学们不妨试一试

1.如图,在△ABC 中, ∠ABC=∠ACB, ∠A=380,P 是△ABC 内一点,且∠1=∠2,

试求∠BPC 的度数.

2. 如图,三角形纸片ABC 中,∠A=650,∠B=750,将纸片一角折叠,使点C 落在

△ABC 内,若∠1=200,试求∠2的度数.

提示与解:

1.∠ABC=∠ACB=710.又∠1=∠2,可以得到∠1+∠PCB=710,这时可把∠1+∠PCB 看成整体,

则可求得∠BPC=1800-710=1090.

2. 由∠A=650,∠B=750,可得∠C=400,则∠3+∠4=1800-∠C=1800-400=1400

而∠A+∠B+∠1+∠2+∠3+∠4=3600,这时可把∠3+∠4看成一个整体,

则∠2=3600-(∠A+∠B+∠1+∠3+∠4)=3600-(650+750+200+1400)=600.