2020河南省六市高三第一次联考理科数学

2020年河南省六市高三第一次联考

理科数学试题参考答案

一、选择题

1-5CADDC

6-10DBBDB 11-12BC

二、填空题

13.1014.),1(+∞15.13516.),1(1

e e 三、解答题：

17、解：（1）因为D 在边BC 上，所以cos cos ADB ADC ∠=-∠，

在ADB ∆和ADC ∆中由余弦定理，得

222222

022AD BD AB AD DC AC AD BD AD DC

+-+-+=⨯⨯，...........................3分

因为AB =4AC =，3AD =，BD DC =，

所以229529160BD BD +-++-=，所以225BD =，5BD =.

所以边BC 的长为10............................6分

（2）由（1）知ADC ∆为直角三角形，所以14362

ADC S ∆=⨯⨯=，212

ABC ADC S S ∆∆==......................8分

因为CE 是BCA ∠的角平分线，所以1sin 21sin 2ACE BCE AC CE ACE S S BC CE BCE ∆∆⨯⨯∠=⨯⨯∠42105AC BC ===....................10分所以25ABC BCE ACE BCE BCE S S S S S ∆∆∆∆∆=+=+7125BCE S ∆==，所以607BCE S ∆=.即BCE ∆的面积为607

............................12分18.解：（1）

分

所以又因为所以的中点，

是又因为是等边三角形，

所以是菱形，且因为四边形2 (333)

,660BAD ABCD ===⊥∆=∠︒

BO AO AB AD

BO AD O ABD

分

所以平面所以又所以是菱形，又因为所以分

平面所以又所以，又5................................,//3..................,43,42

22PE AC POE

AC O

OE PO OE AC BD

OE ABCD AC

PO ABCD PO O

OB AD AD PO OB

PO PB PO BO PB PO ⊥⊥=⋂⊥⊥⊥=⋂⊥⊥=+==（2）由题意结合菱形的性质易知OP OA ⊥，OP OB ⊥，OA OB ⊥，

以点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，

则：(

)()(

)30,0,4,,00,0,0,2P B E ⎛⎫ ⎪⎝⎭

，)0,0,3-(D 设平面POE 的一个法向量为()111,,m x y z =

,

则：11140302m OP z m OE x ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩

，据此可得平面POE

的一个法向量为)

1,0m =- ，.........................8分设平面PBD 的一个法向量为()

222,,n x y z = 则:{0

3330

432222=--=⋅=--=⋅y x BD n z x PD n 据此可得平面PBD 的一个法向量为)33,4,34(-=n (10)

分91

91

891216

-=-==n

m 平面POE 与平面PBD 所成锐二面角的余弦值

91918............................12分19.解：（1）由题知），（，，a

c c a c e 1P 1∴==在椭圆上所以11,1122222222

2==+∴=+b

b a

c b b a c a 故2,1==a b 所以椭圆C 的方程为12

22

=+y x (4)

分

（2）由题意得，P 不在x 轴上，不妨设()),(),,(0),(2211y x B y x A n n m P ，，

≠，由,11P F AF λ=得),1(),1(11n m y x +=---λ，

所以n y m x λλλ-=---=11,1，又由122121=+y x 得1)(2122=+++n m λλλ）（①…………………………………6分又12

22

=+n m ②，联立①②消去n 得01)22()23(2=-+++λλm m 即0)1](1)23[(=+-+λλm ，

由题意知0>λ，01≠+λ，所以m 231+=

λ……………………………………8分同理可得m 231-=μ…………………………………………………………………10分所以2

496231231m m m -=-++=+μλ故当0=m 时，μλ+取最小值3

2.………………………………………………12分20解：（1）由题可知02)1()(2'=-+=x x ae e x x f 有两个不相等的实根

即：021=-+x ae x 有两个不相等实根..........................1分令)(12x h e x a x =+=

R x e

x e e x e x h x x x x ∈-=+-=,)()1()(2'0

)(),,,0(;0)(),0,(''<+∞∈>-∞∈x h x x h x 故上单减上单增，在（在),0)0,()(+∞-∞x h ........................3分1

)0()(max ==∴h x h ;0)()1,(,0)1(<--∞∈=-x h x h 时，又 0

)(),1(>+∞-∈x h x 时，2

1,0(),1,0(2∈∈∴a a 即...........................................5分此题还可以利用数形结合转化为1(1)2x y x y e a

=+=与相交问题，