必修五专题讲义一元二次不等式及其解法(供参考)

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1.一元二次不等式的解法：

（1）一元二次不等式：含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次不等式.一般形式：)0(002

2

≠<++>++a c bx ax c bx ax 或. （2）解法：一元二次不等式的解集，一元二次方程的根及二次函数图象之间的关系如下表（以0a >为例）：

高次

式的

形，转)0()())()((321<>-⋯---或n a x a x a x a x 的形式.然后在数轴上依次标出各根，“奇穿偶回”，轴上面

大于零，轴下面小于零，根据图象写出解集. 2.一元二次不等式的应用 （一）恒成立问题

（1）判别式法：一般地，对二次函数),0()(2

R x a c bx ax x f ∈≠++=.

①0)(>x f 对R x ∈恒成立⎩⎨⎧<∆>⇔00a ②0)(

⎨⎧<∆<⇔00

a

（2）分离参数法

①a x f >)(恒成立min )(x f a <⇔； ②a x f <)(恒成立max )(x f a >⇔. （3）数形结合

①)()(x g x f >恒成立⇔函数)(x f 的图象恒在)(x g 图象上方； ②)()(x g x f <恒成立⇔函数)(x f 的图象恒在)(x g 图象下方. （二）三个“二次”问题

二次方程的两根是二次函数的零点，是二次不等式的端点值.

例题讲解

【例1】解关于x 的不等式

)1(12

)

1(≠>--a x x a .

变式1：（1）解关于x 的不等式2

2

3

()0()x a a x a a R -++>∈；

（2）已知集合2

2

2

{|320},{|430}A x x x B x x ax a =++<=-+<，若A B ≠

⊂，求实数a 的取值范围.

变式2：（1）1a <-，求关于x 的不等式1

()()0a x a x a

--<的解；

（2）不等式组222304(1)0

x x x x a ⎧--≤⎪

⎨+-+≤⎪⎩的解集不是空集，求实数a 的取值范围.

变式3：（08海南宁夏理）已知1230a a a >>>，求使得()2

11i a x -<()1,2,3i =都成立的x 取值范围. 变式4：（09年天津文）若关于x 的不等式2

2)12(ax x <-的解集中整数恰好有3个，实数a 的取值范围. 变式5：（09年天津理）a b +<<10,若关于x 的不等式2

2

()()x b ax ->的解集中的整数恰有3个，求

实数a 的取值范围.

【例2】已知关于x 的不等式2

0ax bx c ++<的解集为1{|2}2

x x x <->-或，求关于x 的不等式

20ax bx c -+>的解集.

变式1：已知2

1{|0}(,2)3

x ax bx c ++>=-，求关于x 的不等式2

0cx bx a ++<的解集. 变式2：已知二次函数分二次项系数为a ，且不等式()2f x x >-的解集为(1,3). （1）若方程()60f x a +=有两个相等的实根，求()f x 的解析式； （2）若()()g x xf x =无极值，求实数a 的取值范围. 【例3】解不等式

13

252

-≤---x x x

. 变式1：解下列不等式

（1）(1)(1)(2)0x x x +--> （2）2

(1)(2)(3)0x x x +-+> （3）2

2

(1)(1)(2)0x x x x -++>

变式2：（2010年全国Ⅱ理）解不等式

26

01x x x -->-. 变式3：（2007年全国Ⅱ理）解不等式2

1

04

x x ->-. 变式4：解不等式

（1）（2010年上海理）

042>+-x x （2）（2007年湖南理）2

01

x x -≤+ 变式5：（2008年北京文）解不等式12

1

>+-x x .

变式6：（2008年山东文）解不等式

()

2

5

21x x +≥-.

【例4】（2010年江西理）解不等式22

|

|x x x x

-->. 变式1：（2008年山东理）不等式|3|4x b -<解中整数有且仅有1,2,3，求b 的范围. 变式2：（1）不等式|4||3|x x a -+->对一切实数x 恒成立，求a 的范围. （2）不等式|4||3|x x a -+-<的解集在R 上不是空集，求a 的取值范围. 变式3：（1）不等式|4||3|x x a --->对一切实数x 恒成立，求a 的取值范围.

（2）不等式|4||3|x x a ---<对一切实数x 恒成立，求a 的取值范围. 【例5】已知])1(lg[2

2

a x a x y +-+=的定义域为R ,求实数a 的取值范围.

【例6】设22)(2+-=mx x x f ，当),1[+∞-∈x 时，m x f ≥)(恒成立，求实数m 的取值范围.

【例7】设a x x g x x x f -+=

--=

13

4

)(,4)(2，若恒有)()(x g x f ≤恒成立，求实数a 的取值范围. 【例8】已知函数]4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)(

【例9】已知二次函数c bx ax x f ++=2

)(和一次函数bx x g -=)(，其中,,a b c 满足a b c >>，

0a b c ++=(,,)a b c R ∈.

（1）求证：两函数的图象交于不同的两点,A B ； （2）求线段AB 在x 轴上的射影11B A 的长的取值范围.

变式1.已知0,0a a >≠，解不等式2

log (43)log (21)log 2a a a x x x +--->

变式2.设函数()222

()log 1,012a x x f x a t tx

-+=><+，解不等式()0f x >

变式3.已知函数()x f 满足()

()

1

2

log 1

a a f x x x a -=

--，其中0a >且1a ≠. ①对于函数()x f ，当()1,1x ∈-时，()()

2110f m f m -+-<，求m 的取值范围； ②当(),2x ∈-∞时，()4f x -的值恒为负数，求a 的取值范围.

巩固提高

1.不等式0322

>-+-x x 的解集为（ ） A.(1,3)

B.(1,3)-

C.(3,1)-

D.Φ

2.把长为12cm 的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是（ ）cm A.

2

3

3

B.4

C.23

D.32

3.已知方程01sin 4sin 2

=-+-a x x 有解，则实数a 的取值范围是（ ） A.[3,6]-

B.[2,6]-

C.[3,2]-

D.[2,2]-

4.当[1,2]x ∈-时，不等式122

--≥x x a 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）