谈贪心算法

谈谈贪心算法

例1.背包问题

【题目描述】

这是一大家很熟悉的背包问题。给定n种货物和一个载重量为m的背包。已知第i种货物的重量为wi ,其总价值为pi，编程确定一个装货方案，使得装入背包中货物的总价值最大。输出此总价值和装货方案。

【算法分析】

0，1背包问题对每种物品只有两种选择：选和不选，可用动态规划解决。而背包问题，可以选择物品的一部分装载，这样就可以把背包装满，用贪心算法可求得最优解。采用贪心标准是：选择单位重量价值高的货物优先装入，这样才能保证背包中所装货物总价值最大。而0，1背包用贪心算法却不能得到整体最优，为什么呢？我们来看一个例子：

有一背包容量为50千克，有三种货物：

物品1重10千克；价值60元；

物品2重20千克，价值100元；

物品3重30千克；价值120元。

总价值：（用贪心算法） 80+100+60=240 对于0，1背包问题，贪心选择之所以不能得到最优解是因为它无法保证最终将背包装满，部分背包的 闲置使单位重量背包空间的价值降低。

例2．排队问题

【题目描述】

在一个医院B 超室，有n 个人要做不同身体部位的B 超，已知每个人需要处理的时间为ti ，（0

输入数据：第1行一个正整数n （你<=10000》，第2行有n 20

20

10

个不超过1000的正整数ti.

输出要求：n个人排队时间最小总和。

输入输出样例

输入：4

5 10 8 7

输出：

67

【算法分析】

本题贪心算法：n个人时间从小到大排序，就是这n个人最佳排队方案。求部分和的和即为所求。

反证法证明：假设有最优解序列：s1,s2…sn,如s1不是最小的Tmin，不妨设sk=Tmin,将s1与sk对调，显然，对sk之后的人无影响，对sk之前的人等待都减少了，(s1-sk)>0,从而新的序列比原最优序列好，这与假设矛盾，故s1为最小时间，同理可证s2…sn依次最小。

例3．:数列极差问题

【题目描述】

在黑板上写了N个正整数做成的一个数列，进行如下操作：每一次擦去其中的两个数a和b，然后在数列中加入一个数a×b+1，如此下去直至黑板上剩下一个数，在所有按这种操作方式最后得到

的数中，最大的max，最小的为min，则该数列的极差定义为M=max-min。

编程任务：对于给定的数列，编程计算出极差M。

输入输出样例：

输入：

4

2 1 4 3

输出：

13

【算法分析】

当看到此题时，我们会发现求max与求min是两个相似的过程。若我们把求解max与min的过程分开，着重探讨求max的问题。

下面我们以求max为例来讨论此题用贪心策略求解的合理性。

讨论：假设经（Ｎ－3）次变换后得到３个数：a ,b , max＇（max＇≥ａ≥ｂ），其中max＇是（Ｎ－２）个数经（Ｎ－３）次ｆ变换后所得的最大值，此时有两种求值方式，设其所求值分别为z1，z2，则有：z1＝(ａ×ｂ＋１）×max＇＋１，z2＝(ａ×max＇＋１）×ｂ+１所以z1－z2＝max＇－ｂ≥０若经（Ｎ－２）次变换后所得的３个数为：ｍ，ａ，ｂ（ｍ≥ａ≥ｂ）且ｍ不为（Ｎ－２）次变换

后的最大值，即ｍ＜max＇则此时所求得的最大值为：z3＝（ａ×ｂ+１）×ｍ+１此时z1－z3＝(１+ａｂ）（max＇－ｍ）＞０所以此时不为最优解。

所以若使第ｋ（１≤ｋ≤Ｎ－１）次变换后所得值最大，必使（ｋ－１）次变换后所得值最大（符合贪心策略的特点2），在进行第ｋ次变换时，只需取在进行（ｋ－１）次变换后所得数列中的两最小数ｐ，ｑ施加ｆ操作：ｐ←ｐ×ｑ+1，ｑ←∞即可（符合贪心策略特点1），因此此题可用贪心策略求解。在求ｍin时，我们只需在每次变换的数列中找到两个最大数ｐ，ｑ施加作用ｆ：ｐ←ｐ×ｑ+１，ｑ←-∞即可．原理同上。

这是一道两次运用贪心策略解决的一道问题，它要求选手有较高的数学推理能力。

例4．整数区间range.cpp

【题目描述】

我们定义一个整数区间[a,b],a,b是一个从a开始至b 结束的连续整数的集合。编一个程序，对给定的n个区间，找出满足下述条件的所含元素个数最少的集合中元素的个数：对于所给定的每一个区间，都至少有两个不同的整数属于该集合。(1<=n<=10000, 0<=a<=b<=1000)

输入输出格式：

输入：第一行一个正整数n，接下来有n行，每行给定一个区

间的a,b值

输出：一个正整数，即满足条件的集合所包含的最少元素个数输入输出样例

输入：输出：

4 4

3 6

2 4

0 2

4 7

【算法分析】

本题数据规模较大，用搜索做会超时，而动态规划无从下手。考虑贪心算法。题目意思是要找一个集合，该集合中的数的个数既要少又要和所给定的所有区间有交集。（每个区间至少有两个该集合中的数）。我们可以从所给的区间中选数，为了选尽量少的数，应该使所选的数和更多的区间有交集这就是贪心的标准。一开始将所有区间按照右端点从小到大排序。从第一个区间开始逐个向后检查，看所选出的数与所查看的区间有无交集，有两个则跳过，只有一个数相交，就从当前区间中选出最大的一个数（即右端点），若无交集，则从当前区间选出两个数，就（右端点，右端点-1），直至最后一个区间。

#include //整数区间问题

using namespace std;

struct prince{

int left,right;//区间左右端点

}a[10000];

int n;

int result;//存放结果中的数

int cmp(const void *a,const void *b){

return (*(prince *)a).right-(*(prince *)b).right;

}

int work(){

qsort(a+1,n,sizeof(a[0]),cmp);//按区间右端点由小到大排序int i,j,k;

int a1,a2;

a1=a[1].right-1;a2=a[1].right;result=2;

for(i=2;i<=n;i++)

{ if(a[i].left<=a1&& a[i].right>=a2)continue;//完全包含if (a[i].left>a2 )//完全不包含

{a1=a[i].right-1;a2=a[i].right;result=result+2;}

if (a[i].left>a1 && a[i].right>a2 && a[i].left<=a2)

{a1=a2;a2=a[i].right;result++;}//只包含一个

}

return result;

}