梯子倾斜程度与正切

第一章直角三角形的边角关系

《锐角三角函数（第1课时）》

教学设计

一、教学目标

知识与技能：

1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.

2.能够用tan A表示直角三角形中两直角边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度（坡比）等.

3.能够根据直角三角形的边角关系，用正切进行简单的计算.

过程与方法：

1.体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题.

2.体会解决问题的策略的多样性，发展学生的几何直观能力和符号感，发展学生观察、分析、发现问题的能力.

情感态度与价值观：

1.通过本节课程的学习，促使学生更加热爱生活，理解数学源于生活，又为生活服务.

2.进一步锻炼学生用数学的观点来解释身边的事物，形成良好的数学思维习惯和思维品质.

二、教学重难点

教学重点：理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系..

教学难点：理解正切的意义，并用它来表示两边的比.

三、教学过程

本节课设计了六个教学环节：第一环节：创设问题情境；第二环节：探求新知；第三环节：应用与拓展；第四环节：变式练习；第五环节：课堂小结；第六环节：布置作业.

第一环节创设问题情境

活动内容1：介绍世界文化遗产——意大利比萨斜塔，激发学习兴趣

我们都知道世界著名的建筑——意大利比萨斜塔.但你知道比萨斜塔是如何倾斜的和倾斜角度是多少吗?

如下图，小明说，只要测得垂直中心线、塔身中心线的长度及塔顶中心点偏离垂直中心线的距离这三个数据中的任意两个，他就可以计算出塔身倾斜角 的大小.你想知道小明是如何做的吗？那么，我们一起来学习新知识吧.通过本章的学习，你就会明白小明这样做的道理.

活动目的：让学生初步从实际问题中去体会直角三角形的边角之间存在一定的关系，并通过这个活动，让学生留意身边的数学；初步感受到倾斜程度在生活中的随处可见，并可以用数学模型来描述.

教学效果：学生对小明的方法感到好奇，生动的课堂引入激发了学生强烈的求知欲望.并能初步感受到倾斜程度是可以用数学方法来描述的.

活动内容2：观察梯子的倾斜程度

由活动1知道，倾斜的物体在生活中随处可见，那我们该如何判断物体的倾斜程度呢？大家都会用“陡峭”或“平缓”来描述.

1.图1—1和图1—2中，这里摆放的两个梯子，你能辨别出那一个比较陡一

些吗？你是如何判断的？

2.图1—3中，这里摆放的两个梯子，你能辨别出那一个比较陡一些吗？你又是如何判断的？

对于图1—3，学生可能难于下手，这时老师可以借助几何画板的动态演示，引导学生比较对边与邻边的比值，即比较表一中的1t 与2t 大小，当12t t >、12t t <、12t t 时，借助几何画板直观的验证梯子的倾斜程度，以突破学生认识上的障碍.（为了方便研究，表格中的数据精确到十分位）

活动目的：先让学生从图1-1和图1-2中直观感受梯子的倾斜程度，再让学生理性思考该如何寻找方法判断图1-3中梯子的倾斜程度.这样学生会感到知识上的匮乏，从而对数学产生好奇心和求知欲.让他们从实例中体会不同情况下比较梯子的倾斜程度只靠直观感受是不够的，还需要其他方法——用边的比进行比较.

活动效果：学生可以很快用不同的方法从图1—1和图1—2中分辨出哪个梯子更陡.但对于图1—3，学生则普遍感到有一定难度.教师通过运用几何画板的演示活动，引导学生比较对边与邻边的比，来比较梯子的倾斜程度.学生会发现这是个新的知识，需要利用这个新的知识来认识梯子的倾斜程度，

这为引入本节课图1—

1 图1—2

图1—

3 表

1

的知识点——正切值埋下了伏笔.

第二环节 探求新知

活动内容1：在小明家的墙角处放有一架较长的梯子，墙很高，又没有足够长的尺来测量，你有什么巧妙的方法得到梯子的倾斜程度呢？

如图1-4，小明想通过测量11B C 及1AC ，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为通过测量22B C 及2AC ，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度.你同意小亮的看法吗？

（1）11Rt AB C ∆和22Rt AB C ∆有什么关系？

（2）2

22AC C B 和111AC C B 有什么关系？ （3）如果改变2B 在梯子上的位置呢？ 由此你得出什么结论？

活动目的：通过对前面问题的讨论，学生已经知道可以用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度.这个活动旨在说明，当倾斜角确定时，其对边与邻边之比也随之确定.这一比值只与倾斜角度有关，而与直角三角形的大小无关.

教学效果：学生能借助三角形相似的知识理解两个比的关系，通过简单推理获得结论：221121B C B C AC AC =，并能发现如果改变2B 在梯子上的位置，仍有221121B C B C AC AC =.能理解这个关系之所以不变，是由于锐角11B AC ∠不变的原因，为学生理解下面的知识：用对边与邻边的比来定义正切，奠定了基础.

图1—

4

活动内容2：结合活动内容1，请同学们思考：既然直角三角形中，一个锐角一旦确定，它的对边与邻边的比也随之确定.那么这个确定的比我们能不能用一个数学符号来表示呢？

数学上，我们把这个确定的比叫做一个锐角的正切.如图1—5，我们把A ∠的对边与A ∠的邻边的比，叫做A ∠的正切（tangent ），记作tan A .即

tan A A A ∠=∠的对边的邻边

对于正切的定义，同学们必须明确以下几点：

1.tan A 中常省略角的符号“∠”.用希腊字母表示角时也可省略如：tan α、tan β等.但用三个字母表示角和用阿拉伯数字表示角时，不能省略角的符号“∠”，要写成tan BAC ∠或tan 1∠、tan 2∠等；

2、tan A 没有单位，它表示一个比值；

3、tan A 是一个完的整数学符号，不可分割，不表示“tan ”乘以“A ”；

4、一个角的正切是在直角三角形中定义的，因此，tan A A A ∠=

∠的对边的邻边

只能在直角三角形中适用；

请同学们思考，梯子的倾斜程度与tan A 的值有关吗？ tan A 的值越大，梯子越陡

活动目的：通过对直角三角形中边角关系的探索，合理的引出正切的定义；通过对定义的辨析，发展学生的符号感；通过探究梯子的倾斜程度与tan A 的值的关系，渗透数形结合的数学思想；进一步体会正切的意义和与现实生活的联系.

教学效果：通过观察、探索梯子的倾斜程度自然的引出了正切的定义，能理

图1—5 A ∠的邻边

A 的对边