材料力学 第十章组合变形(1,2,3)
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C 10kN
1.2m
解：求支反力,由平衡方程
FB B
FA
' FA
F ' A 0,
FA FB 5kN
A
1.6m 1.6m
m g f A
10kN C
m FAy
作折杆的受力图,折杆及 受力对称，只需分析一半 即杆AC 将FA分解, 得杆的轴力 FN、弯矩M (x)
B
FAx
FN FAx 3kN
3 10 8 10 t 81.1 2 3 c d / 4 d / 32 81.9
3 3
M W
[例10-2]圆截面杆的偏心压缩时不产生拉 力的载荷作用范围
P
y
P
y
Pa
a
z
z
CL11TU12
P
y
Pa
y
P
y
Pa
z
z
z
P
y y
Pa
y
P
z
Pa
z P
y y
z
Pa
y
P
CL11TU10
解： X A 3kN, A 4kN Y
任意横截面x上的内力:
FN X A 3kN FS YA 4kN M ( x) YA x 4 x
1 1截面上危险截面， 其上：FN 3kN，M 8kN m
FN A
M W
t FN M c A W
CL11TU5
y0 Iz tg tg z0 Iz
为中性轴与z轴夹角
3.强度计算：
1）危险截面：当x=0时 M Z , M y 同时取最大,固定端处为危险面 2）危险点：危险面上 D1 , D2点 3)最大应力
t ,max
c ,max
y1 cos z1 sin M ( ) Iz Iy
z
Pa
z
z
N P ， M Pa N M t A Wz
P Pa 0 2 3 d d 4 32
d a 8
作業：8-1，8-4，8-8
§8-3 拉伸(压缩)与弯曲的组合变形
Ⅰ. 横向力与轴向力共同作用
图a为由两根槽钢组成的杆件，受横向力F和 轴向力Ft作用时的计算简图，该杆件发生弯曲与拉 伸的组合变形。
例题 8-1
(e)
y
z
z
D1
z
MyA
y
MzA
y
D2
M yA M zA 0.642q (12 ) 0.266q (12 ) ( max ) A 6 Wy Wz 31.5 10 237 10 6 3 (21.5 10 ) q M yD M zD 0.444q (12 ) 0.456q (12 ) ( max ) D 6 6 Wy Wz 31.5 10 237 10 (16.02 103 ) q 由于( max ) A ( max ) D，可见A截面为危险截面。由 图e可见A截面上的外棱角D1和D2处分别为c,max和 t,max 。
例题 8-1
4. 求许可荷载集度[q]。
根据强度条件( max ) A [ ]，有
（21.5×10-3)q ≤160×106 Pa
解得 于是
160 106 q 7.44 103 N/m 21.5 10 3
[q]=7.44×103 N/m =7.44 kN/m
现在的问题是，如果梁的横截面只有一个对称轴 （图a）而荷载作用在与对称轴垂直的方向，或者横 截面根本就没有对称轴（图b），那么还会发生平面 弯曲吗？荷载沿什么方向的形心轴时才会发生平面弯 曲呢？这就要分析梁发生平面弯曲的条件。
若I z I y , 则
发生斜弯曲
CL11TU8
z
挠曲线平面 y 载荷平面
CL11TU9
讨论：
1）中性轴垂直于挠度f所在平面；
2）若 I y I z , 则 即挠曲线与外力 F不在同一平面 --称为斜弯曲
若 I y I z , 则 则为平面弯曲
因圆、正方形，其 I y I z 故不会产生斜弯曲
0
33cos15 31.9kN 查表得： Wy 692106 m4 Wz 70.8 106 m4
M y max Wy M z max 31900 8540 167106 MPa Wz 692106 70.8 106
[ ]
0 max 47.7MPa
[例10-1]跨度L=4m的简支梁截面为32a工字钢， 中点受集中力P=33kN,它与对称轴称15度角。 若 [ ] 170MPa ，按正应力校核强度。
解：作梁的弯距图
M z max M max sin 33sin 15 8.54 kN M y max M max cos
求最大应力
强度条件
求最大位移
刚度条件
§10-2
在两垂直平面内的弯曲（斜弯曲）
纵向对称面：梁的轴线与横截面纵向对称轴所构成的平面
平面弯曲：当作用在梁上的载荷和支反力均 位于纵向对称面内时，梁的轴线由直线弯成 一条位于纵向对称面内的曲线。 F' F'
F
纵向对称面
F'
轴线
CL7TU1
一.定义：斜弯曲—荷载不作用在构件的纵向对称 面内，梁的轴线变形后不在位于外力所在平面内。
轴向拉力会因杆件有弯曲 变形而产生附加弯矩，但它与 横向力产生的弯矩总是相反的， 故在工程计算中对于弯一拉组 合变形的构件可不计轴向拉力 产生的弯矩而偏于安全地应用 叠加原理来计算杆中的应力。
至于发生弯曲与压缩组合变形的杆件，轴向压力引 起的附加弯矩与横向力产生的弯矩为同向，故只有杆的 弯曲刚度相当大（大刚度杆）且在线弹性范围内工作时 才可应用叠加原理。
一.力的分解
Fy F cos Fz F sin
z
C
( y, z )
Fz
F
Fy
y
CL11TU3
M z Fy (l x) 以z为中性轴弯曲 M y Fz (l x) 以y为中性轴弯曲 M z F cos (l x) M cos
M y F sin (l x) M sin
图a所示发生弯一拉组合变形的杆件，跨中截面 为危险截面，其上的内力为FN=Ft， M max 1 Fl 。该 4 横截面上与轴力FN对应的拉伸正应力t为均匀分布 FN Ft (图b)， t ，而与最大弯矩Mmax对应的弯曲 A A 正应力在上、下边缘处(图c)，其绝对值 M max Fl b 。
根据已知的截面尺寸
π 2 A ( D d 2 ) 40.8 10 4 m 2 4
π 4 4 I (D d ) 64 I W 124 10 6 m3 D/2
代入应力表达式得
t ,max 63.8 MP a c,max 65.2
[例10-1]一折杆由两根圆杆焊接而成，已知圆 杆直径d=100mm，试求圆杆的最大拉应力σ t和 最大压应力 σ c 。
§10-3
一.引例
拉伸(压缩)与弯曲的组合变形
q
B xF
l
A
F
y 二.应力分析
1.拉伸（压缩）
2.弯曲
3.总应力
Mz y Iz
F A
例8-4 一折杆由两根无缝钢管焊接而成，已知两钢 管的外径均为140mm，壁厚均为10mm。试求折杆 危险截面上的最大拉应力和最大压应力。
例题 8-1
解:1. 将集中荷载F 沿梁横截面的两个对称轴y、z分解为
qa Fy F cos 40 cos 40o 0.383qa 2 qa o Fz F sin 40 sin 40o 0.321qa 2
o
例题 8-1
2. 梁的计算简图如图b所示，并分别作水平弯曲和 竖直弯曲的弯矩My图和Mz 图（图c ,d）。
W 4W
在FN 和Mmax共同作用下， 危险截面上正应力沿高度的变 化随b和t的值的相对大小可能 有图d 、e 、f 三种情况。危险 截面上的最大正应力是拉应力：
t ,max
Ft Fl A 4W
注意到危险截面最大拉应力作用点（危险点）处为单 向应力状态，故可把t,max直接与材料的许用正应力 进行比较来建立强度条件。
FB
M(x) FAy x (4kN) x
最大弯矩在 C 处的m-m横截面，m-m 截面为 危险截面
M max FAy 2m 8kN m
按叠加原理，最大拉应力t和最大压应力c分 别在杆下边缘的 f 点和上边缘的 g 点处，其值 分别为
t ,max
FN M c,max A W
Mz sin Iy
Hale Waihona Puke y0 z0 M ( cos sin ) 0 Iz Iy
故中性轴的方程为：
cos sin y0 z0 0 Iz Iy
CL11TU4
中性轴是一条通过截面形心的直线。
D2
F
D1
中性轴
注： 1）中性轴仍过截面形心；
2）中性轴把截面分为拉、压两个区域； 3）同一横截面 max 发生在离中性轴最远处D1 ,D 2 点
3. 分析梁的危险截面，并求max A截面上My最大，MyA=0.642 qa2,该截面上Mz虽 不是最大，但因工字钢Wy<<Wz ，故A截面是可能的 危险截面，MzA=0.226qa2。 D 截面上Mz 最大： MzD=0.456 qa2 ， 且 MyD= 0.444 qa2，
例题 8-1
故D 截面也是可能的危险面。为确定危险截面， 需比较A截面和D 截面上的最大弯曲正应力。
第十章
组合变形
§10-1
一.引例
组合变形的概念
CL11TU1,2
二.组合变形的定义
前面几章研究了构件的基本变形： 轴向拉（压）、剪切、扭转、平面弯曲。 定义： 构件发生两种或两种以上基本变形 情况称为组合变形。 所有由基本变形组合产生的杆件内力称 为复合内力。
在复合内力的计算中，通常都是由力作用的独 立性原理出发的。在线弹性范围内，可以假设 作用在体系上的诸载荷中的任一个所引起的变 形对其它载荷作用的影响可忽略不计。
例题 8-1
图a所示悬臂梁，由20a号工字钢制成，梁上的 qa 均布荷载集度为q (N/m)，集中荷载为 F ( N ) 。 2 试求梁的许用荷载集度[q]。 已知：a =1 m; 20a号工字钢：Wz=237×10-6 m3， Wy=31.5×10-6 m3；钢的许用弯曲正应力[ ]=160 MPa。
实验表明，在小变形情况下，这个原理是足够 精确的。因此，可先分别计算每一种基本变形情 况下的应力和变形，然后采用叠加原理计算所有 载荷对弹性体系所引起的总应力和总变形。
三.求解组合变形的步骤
1.简化荷载：用静力等效的载荷，使每一组力 只引起一种基本变形。 2.按基本变形求解每组载荷作用下的应 力、位移。 3.按叠加原理叠加求出组合变形的解。 四.求解框图 基 力 本 系 变 的 叠加 形 转 分 化 析
Fy
Fy l 3
xz平面内：
3 Fz l 3 Fl fz sin 3EI y 3EI y
f f y2 f 2 z
CL11TU7
f与y轴的夹角：
fz Iz tg tg fy Iy
若I z I y , 则
tg tg
fz
F
总挠度f与中性轴垂直
f y 中性轴
二.基本变形分析
1.应力计算
z
M z的应力
Mz y My cos Iz Iz
y
M y的应力
C点总应力：
Myz Iy
y z M ( cos sin ) Iz Iy 2.中性轴的位置
中性轴上某一点的坐标为 y0 、 z0’ 由 0，即
c
y 2 cos z 2 sin M ( ) Iz Iy
max
D2
F
D1
中性轴
注意：若截面为曲线周边时，可作平行于中性轴 之切线，切点应力最大。
CL11TU6
三.位移计算 为了计算梁在斜弯曲时的挠度，仍应用叠加法. xy平面内：
Fz
F
Fl 3 fy cos 3EI Z 3EI Z
例题 8-2
图a所示折杆 ACB由两根钢管焊接 而成，A和B处为铰 支座，C 处作用有集 中荷载F=10 kN。试 求折杆危险截面上的 最大拉应力和最大压 应力。已知钢管的外 直径D =140 mm，壁 厚d =10 mm。
1.2m
解：求支反力,由平衡方程
FB B
FA
' FA
F ' A 0,
FA FB 5kN
A
1.6m 1.6m
m g f A
10kN C
m FAy
作折杆的受力图,折杆及 受力对称，只需分析一半 即杆AC 将FA分解, 得杆的轴力 FN、弯矩M (x)
B
FAx
FN FAx 3kN
3 10 8 10 t 81.1 2 3 c d / 4 d / 32 81.9
3 3
M W
[例10-2]圆截面杆的偏心压缩时不产生拉 力的载荷作用范围
P
y
P
y
Pa
a
z
z
CL11TU12
P
y
Pa
y
P
y
Pa
z
z
z
P
y y
Pa
y
P
z
Pa
z P
y y
z
Pa
y
P
CL11TU10
解： X A 3kN, A 4kN Y
任意横截面x上的内力:
FN X A 3kN FS YA 4kN M ( x) YA x 4 x
1 1截面上危险截面， 其上：FN 3kN，M 8kN m
FN A
M W
t FN M c A W
CL11TU5
y0 Iz tg tg z0 Iz
为中性轴与z轴夹角
3.强度计算：
1）危险截面：当x=0时 M Z , M y 同时取最大,固定端处为危险面 2）危险点：危险面上 D1 , D2点 3)最大应力
t ,max
c ,max
y1 cos z1 sin M ( ) Iz Iy
z
Pa
z
z
N P ， M Pa N M t A Wz
P Pa 0 2 3 d d 4 32
d a 8
作業：8-1，8-4，8-8
§8-3 拉伸(压缩)与弯曲的组合变形
Ⅰ. 横向力与轴向力共同作用
图a为由两根槽钢组成的杆件，受横向力F和 轴向力Ft作用时的计算简图，该杆件发生弯曲与拉 伸的组合变形。
例题 8-1
(e)
y
z
z
D1
z
MyA
y
MzA
y
D2
M yA M zA 0.642q (12 ) 0.266q (12 ) ( max ) A 6 Wy Wz 31.5 10 237 10 6 3 (21.5 10 ) q M yD M zD 0.444q (12 ) 0.456q (12 ) ( max ) D 6 6 Wy Wz 31.5 10 237 10 (16.02 103 ) q 由于( max ) A ( max ) D，可见A截面为危险截面。由 图e可见A截面上的外棱角D1和D2处分别为c,max和 t,max 。
例题 8-1
4. 求许可荷载集度[q]。
根据强度条件( max ) A [ ]，有
（21.5×10-3)q ≤160×106 Pa
解得 于是
160 106 q 7.44 103 N/m 21.5 10 3
[q]=7.44×103 N/m =7.44 kN/m
现在的问题是，如果梁的横截面只有一个对称轴 （图a）而荷载作用在与对称轴垂直的方向，或者横 截面根本就没有对称轴（图b），那么还会发生平面 弯曲吗？荷载沿什么方向的形心轴时才会发生平面弯 曲呢？这就要分析梁发生平面弯曲的条件。
若I z I y , 则
发生斜弯曲
CL11TU8
z
挠曲线平面 y 载荷平面
CL11TU9
讨论：
1）中性轴垂直于挠度f所在平面；
2）若 I y I z , 则 即挠曲线与外力 F不在同一平面 --称为斜弯曲
若 I y I z , 则 则为平面弯曲
因圆、正方形，其 I y I z 故不会产生斜弯曲
0
33cos15 31.9kN 查表得： Wy 692106 m4 Wz 70.8 106 m4
M y max Wy M z max 31900 8540 167106 MPa Wz 692106 70.8 106
[ ]
0 max 47.7MPa
[例10-1]跨度L=4m的简支梁截面为32a工字钢， 中点受集中力P=33kN,它与对称轴称15度角。 若 [ ] 170MPa ，按正应力校核强度。
解：作梁的弯距图
M z max M max sin 33sin 15 8.54 kN M y max M max cos
求最大应力
强度条件
求最大位移
刚度条件
§10-2
在两垂直平面内的弯曲（斜弯曲）
纵向对称面：梁的轴线与横截面纵向对称轴所构成的平面
平面弯曲：当作用在梁上的载荷和支反力均 位于纵向对称面内时，梁的轴线由直线弯成 一条位于纵向对称面内的曲线。 F' F'
F
纵向对称面
F'
轴线
CL7TU1
一.定义：斜弯曲—荷载不作用在构件的纵向对称 面内，梁的轴线变形后不在位于外力所在平面内。
轴向拉力会因杆件有弯曲 变形而产生附加弯矩，但它与 横向力产生的弯矩总是相反的， 故在工程计算中对于弯一拉组 合变形的构件可不计轴向拉力 产生的弯矩而偏于安全地应用 叠加原理来计算杆中的应力。
至于发生弯曲与压缩组合变形的杆件，轴向压力引 起的附加弯矩与横向力产生的弯矩为同向，故只有杆的 弯曲刚度相当大（大刚度杆）且在线弹性范围内工作时 才可应用叠加原理。
一.力的分解
Fy F cos Fz F sin
z
C
( y, z )
Fz
F
Fy
y
CL11TU3
M z Fy (l x) 以z为中性轴弯曲 M y Fz (l x) 以y为中性轴弯曲 M z F cos (l x) M cos
M y F sin (l x) M sin
图a所示发生弯一拉组合变形的杆件，跨中截面 为危险截面，其上的内力为FN=Ft， M max 1 Fl 。该 4 横截面上与轴力FN对应的拉伸正应力t为均匀分布 FN Ft (图b)， t ，而与最大弯矩Mmax对应的弯曲 A A 正应力在上、下边缘处(图c)，其绝对值 M max Fl b 。
根据已知的截面尺寸
π 2 A ( D d 2 ) 40.8 10 4 m 2 4
π 4 4 I (D d ) 64 I W 124 10 6 m3 D/2
代入应力表达式得
t ,max 63.8 MP a c,max 65.2
[例10-1]一折杆由两根圆杆焊接而成，已知圆 杆直径d=100mm，试求圆杆的最大拉应力σ t和 最大压应力 σ c 。
§10-3
一.引例
拉伸(压缩)与弯曲的组合变形
q
B xF
l
A
F
y 二.应力分析
1.拉伸（压缩）
2.弯曲
3.总应力
Mz y Iz
F A
例8-4 一折杆由两根无缝钢管焊接而成，已知两钢 管的外径均为140mm，壁厚均为10mm。试求折杆 危险截面上的最大拉应力和最大压应力。
例题 8-1
解:1. 将集中荷载F 沿梁横截面的两个对称轴y、z分解为
qa Fy F cos 40 cos 40o 0.383qa 2 qa o Fz F sin 40 sin 40o 0.321qa 2
o
例题 8-1
2. 梁的计算简图如图b所示，并分别作水平弯曲和 竖直弯曲的弯矩My图和Mz 图（图c ,d）。
W 4W
在FN 和Mmax共同作用下， 危险截面上正应力沿高度的变 化随b和t的值的相对大小可能 有图d 、e 、f 三种情况。危险 截面上的最大正应力是拉应力：
t ,max
Ft Fl A 4W
注意到危险截面最大拉应力作用点（危险点）处为单 向应力状态，故可把t,max直接与材料的许用正应力 进行比较来建立强度条件。
FB
M(x) FAy x (4kN) x
最大弯矩在 C 处的m-m横截面，m-m 截面为 危险截面
M max FAy 2m 8kN m
按叠加原理，最大拉应力t和最大压应力c分 别在杆下边缘的 f 点和上边缘的 g 点处，其值 分别为
t ,max
FN M c,max A W
Mz sin Iy
Hale Waihona Puke y0 z0 M ( cos sin ) 0 Iz Iy
故中性轴的方程为：
cos sin y0 z0 0 Iz Iy
CL11TU4
中性轴是一条通过截面形心的直线。
D2
F
D1
中性轴
注： 1）中性轴仍过截面形心；
2）中性轴把截面分为拉、压两个区域； 3）同一横截面 max 发生在离中性轴最远处D1 ,D 2 点
3. 分析梁的危险截面，并求max A截面上My最大，MyA=0.642 qa2,该截面上Mz虽 不是最大，但因工字钢Wy<<Wz ，故A截面是可能的 危险截面，MzA=0.226qa2。 D 截面上Mz 最大： MzD=0.456 qa2 ， 且 MyD= 0.444 qa2，
例题 8-1
故D 截面也是可能的危险面。为确定危险截面， 需比较A截面和D 截面上的最大弯曲正应力。
第十章
组合变形
§10-1
一.引例
组合变形的概念
CL11TU1,2
二.组合变形的定义
前面几章研究了构件的基本变形： 轴向拉（压）、剪切、扭转、平面弯曲。 定义： 构件发生两种或两种以上基本变形 情况称为组合变形。 所有由基本变形组合产生的杆件内力称 为复合内力。
在复合内力的计算中，通常都是由力作用的独 立性原理出发的。在线弹性范围内，可以假设 作用在体系上的诸载荷中的任一个所引起的变 形对其它载荷作用的影响可忽略不计。
例题 8-1
图a所示悬臂梁，由20a号工字钢制成，梁上的 qa 均布荷载集度为q (N/m)，集中荷载为 F ( N ) 。 2 试求梁的许用荷载集度[q]。 已知：a =1 m; 20a号工字钢：Wz=237×10-6 m3， Wy=31.5×10-6 m3；钢的许用弯曲正应力[ ]=160 MPa。
实验表明，在小变形情况下，这个原理是足够 精确的。因此，可先分别计算每一种基本变形情 况下的应力和变形，然后采用叠加原理计算所有 载荷对弹性体系所引起的总应力和总变形。
三.求解组合变形的步骤
1.简化荷载：用静力等效的载荷，使每一组力 只引起一种基本变形。 2.按基本变形求解每组载荷作用下的应 力、位移。 3.按叠加原理叠加求出组合变形的解。 四.求解框图 基 力 本 系 变 的 叠加 形 转 分 化 析
Fy
Fy l 3
xz平面内：
3 Fz l 3 Fl fz sin 3EI y 3EI y
f f y2 f 2 z
CL11TU7
f与y轴的夹角：
fz Iz tg tg fy Iy
若I z I y , 则
tg tg
fz
F
总挠度f与中性轴垂直
f y 中性轴
二.基本变形分析
1.应力计算
z
M z的应力
Mz y My cos Iz Iz
y
M y的应力
C点总应力：
Myz Iy
y z M ( cos sin ) Iz Iy 2.中性轴的位置
中性轴上某一点的坐标为 y0 、 z0’ 由 0，即
c
y 2 cos z 2 sin M ( ) Iz Iy
max
D2
F
D1
中性轴
注意：若截面为曲线周边时，可作平行于中性轴 之切线，切点应力最大。
CL11TU6
三.位移计算 为了计算梁在斜弯曲时的挠度，仍应用叠加法. xy平面内：
Fz
F
Fl 3 fy cos 3EI Z 3EI Z
例题 8-2
图a所示折杆 ACB由两根钢管焊接 而成，A和B处为铰 支座，C 处作用有集 中荷载F=10 kN。试 求折杆危险截面上的 最大拉应力和最大压 应力。已知钢管的外 直径D =140 mm，壁 厚d =10 mm。