高中数学抽象函数专题打印

例1.若函数y = f （x ）的定义域是[－2，2]，则函数y = f （x+1）+f （x －1）的定义域为 。

练习：已知函数f(x)的定义域是[]2,1- ，求函数()⎪

⎪⎭

⎫ ⎝

⎛-x f 3log 2

1 的定义域。

例2：已知函数()x f 3log 的定义域为[3，11]，求函数f(x)的定义域 。

练习：定义在(]8,3上的函数f(x)的值域为[]2,2-，若它的反函数为f -1(x)，则y=f -1(2-3x)的定义域为 ，值域为 。 二、求值问题-----抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。

例3.①对任意实数x,y ，均满足f(x+y 2)=f(x)+2[f(y)]2

且f(1)≠0,则f(2001)=_______.

② R 上的奇函数y=f(x)有反函数y=f -1(x),由y=f(x+1)与y=f -1(x+2)互为反函数，则f(2009)= .

例4.已知f(x)是定义在R 上的函数，f(1)=1,且对任意x ∈R 都有f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1.若g(x)=f(x)+1-x,则g(2002)=_________.

练习： 1. f(x)的定义域为(0,)+∞，对任意正实数x,y 都有f(xy)=f(x)+f(y) 且f(4)=2 ，则f = 2.的值是则

且如果)

2001(f )

2000(f )5(f )6(f )3(f )4(f )1(f )2(f ,2)1(f ),y (f )x (f )y x (f ++++==+ 。 2(1)(2)(1)f f f ++222(2)(4)(3)(6)(4)(8)

(3)(5)(7)

f f f f f f f f f +++++= .

3、对任意整数y x ,函数)(x f y =满足：1)()()(+++=+xy y f x f y x f ，若1)1(=f ，则=-)8(f A.-1 B.1 C. 19 D. 43

4、函数f(x)为R 上的偶函数，对x R ∈都有(6)()(3)f x f x f +=+成立，若(1)2f =，则(2005)f =（ ） A . 2005 B. 2 C.1 D.0

5、定义在R 上的函数Y=f(x)有反函数Y=f -1(x)，又Y=f(x)过点（2，1），Y=f(2x)的反函数为Y=f -1(2x)，则Y=f -1(16)为（ ）

A ）18

B ）1

16

C ）8

D ）16

的值

求的值求均有对所有上的函数，满足，是定义在为实数，且、已知)7

1

()2()1()

()()1()2

(,,1)1(,0)0(]10[)(,106f a y af x f a y x f y x f f x f a a +-=+≤==<<

三、值域问题

例4.设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x 、y ，f(x+y)=f(x)f(y)总成立，且存在21x x ≠,使得)()(21x f x f ≠，求函数f(x)的值域。

四、求解析式问题（换元法，解方程组，待定系数法，递推法，区间转移法， 例5. 已知f(1+sinx)=2+sinx+cos 2x, 求f(x)

例6、设对满足x ≠0,x ≠1的所有实数x ，函数f(x)满足,()x x x f x f +=⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+11 ,求f(x)的解析

式。

例7.已知f(x)是多项式函数，且f(x+1)+f(x-1)=2x 2-4x,求f(x).

例8.是否存在这样的函数f(x),使下列三个条件:

①f(n)>0,n ∈N;②f(n 1+n 2)=f(n 1)f(n 2),n 1,n 2∈N*;③f(2)=4同时成立? 若存在,求出函数f(x)的解析式；若不存在，说明理由.

例9、已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且)2

1

()23(+=-x f x f 恒成立，当[]3,2∈x 时，x x f =)(，

则)0,2(-∈x 时，函数)(x f 的解析式为（ ） A ．2-x B ．4+x C ．12++x D ． 13+-x

练习：1、.23

2

|)x (f :|,x )x

1

(f 2)x (f ),)x (f ,x ()x (f y ≥

=-=求证且为实数即是实数函数设

2.（重庆）已知定义域为R 的函数f(x)满足f (f (x )-x 2+x )=f (x )-x 2

+x. （Ⅰ）若f (2)=3，求f (1)；又若f (0)=a ，求f (a )；（Ⅱ）设有且仅有一个实数x 0，使得f (x 0)=x 0，求函数f (x )的解析表达式。

3、函数f (x )对一切实数x ,y 均有f (x +y)-f (y)=(x +2y+1)x 成立，且f (1)=0， （1）求(0)f 的值；

（2）对任意的11(0,)2x ∈，21

(0,)2

x ∈，都有f (x 1)+2

五、单调性问题 （抽象函数的单调性多用定义法解决）

例10.设函数f(x)对任意实数x,y ，都有f(x+y)=f(x)+f(y),若x>0时f(x)<0,且f(1)= -2,求f(x)在[-3，3]上的最大值和最小值.

练习：设f(x)定义于实数集上，当x>0时，f(x)>1,且对于任意实数x 、y ，有f(x+y)=f(x)f(y)，求证：f(x)在R 上为增函数。

例11、已知偶函数f (x )的定义域是x ≠0的一切实数，对定义域内的任意x 1,x 2都有1212()()()f x x f x f x ⋅=+，且当1x >时()0,(2)1f x f >=， （1）f (x )在(0,+∞)上是增函数； （2）解不等式2(21)2f x -<

练习：已知函数f (x )的定义域为R ，且对m 、n ∈R,恒有f (m +n )=f (m )+f (n )－1,且f (－2

1)=0,当x >－2

1时，f (x )>0.求证：f (x )是单调递增函数；