章末复习课2019版 新高一word讲义

章末复习课

[网络构建]

[核心归纳]

1.指数函数的图象和性质

一般地，指数函数y＝a x(a>0且a≠1)的图象与性质如下表所示.

a>10

图象

定义域R

值域(0，＋∞)

性

质

过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1

当x>0时，y>1；

当x<0时，0

当x>0时，0

当x<0时，y>1

在(－∞，＋∞) 上是增函数在(－∞，＋∞) 上是减函数

注意(1)对于a>1与0

(2)a>1时，a值越大，图象向上越靠近y轴，递增速度越快；0

(3)在同一坐标系中有多个指数函数图象时，图象的相对位置与底数大小有如下关系：在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小，即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大.这一性质可通过令x＝1时，y＝a去理解，如图.

2.对数函数的图象和性质

a>10

图象

定义域(0，＋∞)

值域R

性

质

当x＝1时，y＝0，即图象过定点(1，0)

当x>1时，y>0；

当0

当x>1时，y<0；

当00

在(0，＋∞) 上是增函数在(0，＋∞) 上是减函数

对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)与指数函数y＝a x(a>0且a≠1)互为反函数，其图象关于直线y＝x对称(如图).

4.函数的零点与方程的根的关系

函数f(x)的零点就是方程f(x)＝0的解，函数f(x)的零点的个数与方程f(x)＝0的解的个数相等，也可以说方程f(x)＝0的解就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，即函数f(x)的函数值等于0时自变量x的取值.

因此方程的解的问题可以转化为函数问题来解决.讨论方程的解所在的大致区间可以转化为讨论函数的零点所在的大致区间，讨论方程的解的个数可以转化为讨论函数的零点的个数.

5.函数零点存在定理

(1)该定理的条件是：①函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的；②f(a)·f(b)<0，即f(a)和f(b)的符号相反.这两个条件缺一不可.

(2)该定理的结论是“至少存在一个零点”，仅仅能确定函数零点是存在的，但是不能确定函数零点的个数.

6.函数模型的应用

(1)要解决函数应用问题，首先要增强应用函数的意识.一般来说，解决函数应用问

题可分三步：第一步，理解题意，弄清关系；第二步，抓住关键，建立模型；第三步，数学解决、检验模型.其中第二步尤为关键.

(2)在解题中要充分运用数形结合、转化与化归、函数与方程等数学思想及策略，寻求解题途径.

(3)根据已知条件建立函数解析式是函数应用的一个重要方面.一般分为两类：一类是借助于生活经验、函数知识等建立函数模型，以二次函数模型为主，一般是求二次函数的最值.另一类是根据几何、物理概念建立函数模型.

要点一 指数、对数的运算

指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的.对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式、换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧.

【例1】 (1)化简：

a 4

3－8a 1

3b

4b 23

＋23

ab ＋a

23

÷⎝ ⎛

⎭

⎪⎫1－23

b a ×3

ab ； (2)求值：lg 14－2lg 7

3＋lg 7－lg 18.

解 (1)原式＝

a 1

3（a －8b ）

（2b 1

3）2＋2a 13b 1

3＋（a 13）2×a 1

3

a 1

3－2b

13

×a 13b 13＝

a 1

3（a －8b ）a －8b

×a 13×a-b 1

3＝a 3

b .

(2)法一 原式＝lg(2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(32×2) ＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0. 法二 原式＝lg 14－lg ⎝ ⎛⎭

⎪⎫732

＋lg 7－lg 18

＝lg 14×7⎝ ⎛⎭

⎪⎫

732×18＝lg 1＝0.

【训练1】 (1)化简：(8)－2

3×(3

102)9

2÷105； (2)计算：2log 32－log 332

9＋log 38－25log 53. 解 (1)原式＝⎝ ⎛

⎭

⎪

⎫2

32－

23×⎝ ⎛⎭⎪⎫

10239

2÷1052＝2－1×103×10－52

＝2－1×1012＝10

2.

(2)原式＝log 34－log 332

9＋log 38－5log 59 ＝log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫4×932×8－9＝2－9＝－7. 要点二 指数函数、对数函数的图象问题 函数图象的画法

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