高考专题复习不等式及应用、三元不等式

基本不等式及其应用
新课标要求: 掌握基本不等式2
a b
+（0,0≥≥b a ）；能用基本不等式证明简单不等式（指只用一次基本不等式即可解决的问题）；能用基本不等式求解简单的最大（小）值问题（指只用一次基本不等式即可解决的问题）. 考试说明要求:C 级 ● 主要知识：
1.基本不等式：若0,0≥≥b a ，则
a b
+a b =时成立）;
2.平方平均不等式：如果,a b R ∈≥2a b +;
3.最值定理：当两个正数的和一定时，其乘积有最大值；当两个正数的乘积一定时，其和有最小值.
一．基本不等式
1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22
2
≥+ (2)若R b a ∈,，则2
2
2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）
2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2
(2)若*
,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”
） (3)若*
,R b a ∈，则2
2⎪⎭
⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +
≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x
+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a
b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则
22-2a b a b a b
b a b a b a
+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”
） 4.若R b a ∈,，则2
)2(2
22b a b a +≤
+（当且仅当b a =时取“=”） 注：⑴当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，
正所谓“积定和最小，和定积最大”． ⑵求最值的条件“一正，二定，三取等”
(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． ●主要方法：
1.使用基本不等式求最值的前提：“一正、二定、三相等”，如果没有满足前提，则应根据题目创设条件(加项变换，系数变换，平方变换，拆项变换，常量代换，三角代换等)；还要注意选择恰当的公式；
2. 基本不等式具有放缩功能，如果有多处用到，请注意每处取等号的条件是否一致;
3.当使用基本不等式求最值等号不能成立时，应考虑函数的单调性.
应用一：求最值
例1：求下列函数的值域：（1）y ＝3x 2＋1
2x 2 ;
（2）y ＝x ＋1
x
解题技巧： 技巧一：凑项 5
1
技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。

评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。

变式：设2
3
0<
<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。

技巧三： 分离
例3. 求2710
(1)1
x x y x x ++=
>-+的值域。

技巧四：换元
评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。

即化为
()(0,0)()
A
y mg x B A B g x =+
+>>，g (x )恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。

技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a
f x x x =+的单调性。

例：求函数2
y =
的值域。

练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.
（1）231
,(0)x x y x x
++=
> （2）12,33y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈
2．已知01x <<，求函数y =.；3．2
03
x <<
，求函数y =.
条件求最值
1.若实数满足2=+b a ，则b
a 33+的最小值是
变式：若44log log 2x y +=，求11
x y
+的最小值.并求x ,y 的值
技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。

2：已知0,0x y >>，且19
1x y
+=，求x y +的最小值。

变式： （1）若+
∈R y x ,且12=+
y x ，求y
x
11+的最小值
(2)已知+
∈R y x b a ,,,且1=+y
b x a ，求y x
+的最小值
技巧七、已知x ，y 为正实数，且x 2
＋y 2
2 ＝1，求x 1＋y 2 的最大值.
技巧八：已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1
ab 的最小值.
分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。

变式：1.已知a >0，b >0，ab －(a ＋b )＝1，求a ＋b 的最小值。

2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。

技巧九、取平方
5、已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，求函数W ＝3x ＋2y 的最值.
变式: 求函数15
()2
2
y x =<<的最大值。

应用二：利用基本不等式证明不等式
1．已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++222
1）正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc
例6：已知a 、b 、c R +
∈，且1a b c ++=。

求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥
⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“2”连乘，又111a b c a a a -+-==≥可由此变形入手。

应用三：基本不等式与恒成立问题 例：已知0,0x y >>且
19
1x y
+=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围。

应用四：均值定理在比较大小中的应用： 例：若)2
lg(),lg (lg 21,lg lg ,1b a R b a Q b a P b a +=+=
⋅=>>，则R Q P ,,的大小关系是 .
●夯实基础
1.已知下列四个结论：①当2lg 1lg ,10≥+≠>x x x x 时且；②21,0≥+>x
x x 时当；③x x x 1
,2+≥时当的最小值为2；
④当x x x 1
,20-
≤<时无最大值.则其中正确命题的序号为 . 2.已知,x y R +
∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为 .
3.已知lg lg 1x y +=，则52
x y
+的最小值是 .
4.设a ＞1,且2log (1),log (1),log (2)a a a m a n a p a =+=-=,则p n m ,,的大小关系为 .
5.ca bc ab a c c b b a ++=+=+=+则,2,2,12
2
2
2
2
2
的最小值为 . ●典型例题 例1.（1）已知54x <
，求函数14245
y x x =-+-的最大值. 4
变式练习: (1)求函数y ＝x ＋1
2x (x <0)的最大值；
(2)求函数y ＝1
x －3
＋x (x >3)的最小值；
(3)求函数y ＝x (a －2x )(x >0，a 为大于2x 的常数)的最大值．
例2.（1）已知a ，b 为正常数，x 、y 为正实数，且
1a b
+=x y
，求x+y 的最小值. （2） 已知00>>y x ，，且302=++xy y x ，求xy 的最大值．
变式练习: 1.函数1(01)x
y a
a a -=>≠，的图象恒过定点A ，若点A 在直线10(0)mx ny mn +-=>上，则
11
m n
+的最小值为 .
2．(2008·江苏)设x ，y ，z 为正实数，且满足x －2y ＋3z ＝0，则y 2
xz
的最小值是________．
●反馈练习
1．函数y ＝x 2＋2
x －1
(x >1)的最小值是 .
2．已知a ＞b ＞c ，则(a －b )(b －c )与a －c
2
的大小关系是________．
3．设x ＋y ＝1，x 、y ∈(0，＋∞)，则x 2＋y 2＋xy 的最小值是____________．
4．设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝2 3，则1x ＋1
y
的最大值为 .
热点二 利用基本不等式求最值 [微题型1] 基本不等式的简单应用
【例2－1】 (2015·武汉模拟)已知两个正数x ，y 满足x ＋4y ＋5＝xy ，则xy 取最小值时，x ，y 的值分别为________． [微题型2] 带有约束条件的基本不等式问题
【例2－2】 (2015·四川卷改编)如果函数f (x )＝12(m －2)x 2＋(n －8)x ＋1(m ≥0，n ≥0)在区间⎣⎡⎦⎤12，2上单调递减，那么mn
的最大值为________．
[微题型3] 基本不等式在实际问题中的应用
【例2－3】 如图，在C 城周边已有两条公路l 1，l 2在点O 处交汇．已知OC ＝(2＋6)km ，∠AOB ＝75°，∠AOC ＝45°，现规划在公路l 1，l 2上分别选择A ，B 两处为交汇点(异于点O )直接修建一条公路通过C 城．设OA ＝x km ，OB ＝y km.
(1)求y 关于x 的函数关系式并指出它的定义域； (2)试确定点A ，B 的位置，使△OAB 的面积最小．
探究提高 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．
【训练2】 (1)(2015·广州模拟)若正实数x ，y 满足x ＋y ＋1＝xy ，则x ＋2y 的最小值是________． (2)已知关于x 的不等式2x ＋
2
x －a
≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________． 8．(2015·苏、锡、常、镇调研)已知x ，y ∈R ，满足2≤y ≤4－x ，x ≥1，则x 2＋y 2＋2x －2y ＋2
xy －x ＋y －1的最大值为________．
10．(2015·苏北四市调研)某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O 的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x 米，圆心角为θ(弧度)． (1)求θ关于x 的函数关系式；
(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，求y 关于x 的函数关系式，并求出x 为何值时，y 取得最大值？
一、基本不等式应用技巧
一、问题背景
关于基本不等式
(0,0)2
a b
a b +≤
≥≥，除了直接套用结论外，在应用时往往有一定的技巧性，是近几年高考中的常考题型． 二、常见的思想方法: 主要思想：等价转化思想、化归思想等．具体方法包括常数“1”代换、换元法等． 例 （1）已知x 、y 为正实数，且1x y +=，则y
x 1
21+的最小值为 ． 变式1、已知x 、y 为正实数，且1x y +=，则y
x
x +21的最小值为 ； 变式2、已知x 、y 为正实数，且1x y +=，则1
121++y x 的最小值为 ； 变式3、已知x 、y 为正实数，且1x y +=，则
121
x x y ++的最小值为 ； 变式4、将变式1～4中的条件和结论互换，如何求解
（2）已知00>>y x ，，且302=++xy y x ，则xy 的最大值为 ． 变式5、若实数,x y 满足221x y xy ++=，则x y +的最大值 ； 变式6、已知,x y 为正数，且13
310x y x y
+
++=，则3x y +的最大值为 ； （3）设,x y 是正实数，且3x y +=，则1
122
+++y y x x 的最小值是 ． 变式7、已知x 、y 为正实数，且24x y +=，则22
221x y x y +
++的最小值为 ； 变式8、设,x y 是正实数，且3x y +=，则22
11
y x x y +++的最小值是 ． （4）设a b c ，，都是正数，且满足
14
1a b
+=则使a b c +>恒成立的c 的取值范围是 ． （5）设实数a ，x ，y ，满足222
2123x y a x y a a +=-⎧
⎨+=+-⎩
则xy 的取值范围是 ． （6）已知a b ∈R ，， 4522
2=+-b ab a ，则a b +的取值范围为 ． 变式9、已知a b ∈R ，，4522
2=+-b ab a ，则ab 的最小值为 .
练习：
1．已知2
230x -+>对x R ∈恒成立，则a 的范围为 .
3．2()log (2)f x x =-，若m ,n 满足()(2)3f m f n +=，则m +n 最小值为 . 4．已知41
2,0,0=+>>y
x y x 且
，则y x 2+最小值是 ． 5．已知正数,x y 满足22x y +=，则
8x y
xy
+的最小值为 ． 6．已知正数y x ,满足
111=+y
x ，则1914-+-y y
x x 的最小值为 ． 7．若0,y 0x >>,且
13
22x y x y
+=++,则65x y +的最小值为 ． 8．已知,(0,)x y ∈+∞，3
1
2
()2x y -=，则14x y +的最小值为 ． 9．若,20<<x 则函数)24(x x y -=
的最大值为 ．
10．当0<x 时，函数x x x y 4
22++=的最大值为 .
11．若f (x )＝x ＋
1
a
x -在x ≥3时有最小值4，则a ＝_________． 12．设0,0,1a b a b >>+=，求证：111
8a b ab
++
≥ 二、多元变量的最值与范围问题
一、考题再现 考点热身:2016届高三三模T13：设实数,x y 满足2214
x y -=，则2
32x xy -的最小值为 ． 二、热点追踪 方法探究
例1 设,a b 为正实数，且2a b +=则（1）13a b +的最小值为 ；（2）22
21
a b a b +++的最小值为
变式（1）设,a b 为正实数，且
14
1a b
+=则a b +的最小值为 ． （2）设,a b 为正实数，且40a b ab +-=则a b +的最小值为 ．
练习：常数,a b 和正变量,x y 满足16ab =，
212
a b x y +=，若2x y +的最小值为64，则b a = ． 例2：设正实数,x y 满足22
340x xy y z -+-=，则当
xy z 取得最大值时，212
x y z
+-的最大值为 ．
变式．（08年江苏高考11题）已知z y x ,,为正数，满足032=+-z y x ，则xz
y 2
的最小值为
13.已知y x ,为正实数，则
x
y
y x x ++22的最小值为 14.设0))(3(2≤-+b x ax 对任意),0[+∞∈x 恒成立，其中b a ,是整数，则b a +的取值的集合为
13．已知函数f (x )＝ax 2＋x －b (a ，b 均为正数)，不等式f (x )＞0的解集记为P ，集合Q ＝{x |－2－t ＜x ＜－2＋t }．若对于任意正数t ，P ∩Q ≠∅，则1a －1
b 的最大值是
14．若存在两个正实数x 、y ，使得等式x ＋a (y －2e x )(ln y －ln x )＝0成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围为
13. 已知函数f (x )＝2x －
1＋a ，g (x )＝bf (1－x )，其中a ，b ∈R ，若关于x 的不等式f (x )≥g (x )的解的最小值为2，则a 的取值范
围是________．
14. 若实数x ，y 满足x 2
－4xy ＋4y 2
＋4x 2
y 2
＝4，则当x ＋2y 取得最大值时，x y
的值为________．
14.已知函数),(32)(2R b a b ax x f ∈+=.若对于任意]1,1[-∈x ，都有1|)(|≤x f 成立，则ab 的最大值是
13（2016南通二模T13）设实数,x y 满足2
214
x y -=，则232x xy -的最小值是 ． 13（2016南通二模T14）若存在,R αβ∈，使得3
cos cos 2
5cos t t αββ
ααβ
⎧=+⎪⎨⎪≤≤-⎩，则实数t 的取值范围是 ．
三、不等式之三元条件最值的求解
1．（08年江苏高考11题）已知z y x ,,为正数，满足032=+-z y x ，求xz
y 2
的最小值．
2．已知实数c b a ,,满足0>>a b ，ac b 42≤；求a
b c
b a -++的最小值．
3．已知正数c b a ,,满足a c b a 3≤+≤，225)(3b c a a b ≤+≤；求a
c
b 2-的最小值．
4．若向量,,均为单位向量，且0=⋅b a ，0)()(≤-⋅-c b c a 求++的最大值．
5．对于实数0>c ,当非零实数b a ,满足052222=-+-c b ab a 且使b a +最大时，求c b a +-8的最小值．
6．已知实数c b a ,,均为正数，求bc
ab c b a 32
22+++的最小值．
7．已知实数c b a ,,满足0ln 422=--b a a ，R c ∈，求22)6()(c b c a ++-的最小值．
8．已知z y x ,,为正数，求y
x z z x y z y x +++++的最小值．
9．已知实数c b a ,,满足0=++c b a ，1222=++c b a ；求实数a 的取值范围．
10．已知22=+++bc ac ab a ，求c b a 23++的最小值．
基本不等式答案
新课标要求: 掌握基本不等式2
a b
+（0,0≥≥b a ）；能用基本不等式证明简单不等式（指只用一次基本不等式即可解决的问题）；能用基本不等式求解简单的最大（小）值问题（指只用一次基本不等式即可解决的问题）. 考试说明要求:C 级 ● 主要知识：
1.基本不等式：若0,0≥≥b a ，则
2
a b
+a b =时成立）;
2.平方平均不等式：如果,a b R ∈≥2a b +;
3.最值定理：当两个正数的和一定时，其乘积有最大值；当两个正数的乘积一定时，其和有最小值.
●主要方法：
1.使用基本不等式求最值的前提：“一正、二定、三相等”，如果没有满足前提，则应根据题目创设条件(加项变换，系数变换，平方变换，拆项变换，常量代换，三角代换等)；还要注意选择恰当的公式；
2. 基本不等式具有放缩功能，如果有多处用到，请注意每处取等号的条件是否一致;
3.当使用基本不等式求最值等号不能成立时，应考虑函数的单调性. ●夯实基础
1.已知下列四个结论：①当2lg 1lg ,10≥+≠>x x x x 时且；②21,0≥+>x
x x 时当；③x x x 1
,2+≥时当的最小值为2；
④当x
x x 1
,20-
≤<时无最大值.则其中正确命题的序号为 . ② 2.已知,x y R +
∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为 . 16
1
3.已知lg lg 1x y +=，则52
x y
+的最小值是 . 2
4.设a ＞1,且2log (1),log (1),log (2)a a a m a n a p a =+=-=,则p n m ,,的大小关系为 . m ＞p ＞n
5.ca bc ab a c c b b a ++=+=+=+则,2,2,12
2
2
2
2
2
的最小值为 . 1
2
-●典型例题
例1.（1）已知54x <
，求函数14245
y x x =-+-的最大值. （2）求函数1
422
++=x x y 的最小值，并求出取得最小值时的x 值．
分析：问题（1）中由于450x -<，所以首先要调整符号；问题（2）中要注意利用基本不等式时等号成立条件.
解： （1）∵54x <∴540x ->∴y =4x -2+145x -=154354x x ⎛
⎫--++ ⎪-⎝⎭≤-2+3=1
当且仅当1
5454x x
-=-，即x =1时，上式成立，故当x =1时，max 1y =.
（2）求2
2242y x x =--+的最大值.
解:2
2
26(2)2y x x =-+++ (若由2222262(2)22
y x x x ≤-+=+=+则即无解“=”不成立)
令2
222,6()u x y u u
=+≥=-+则,可以证明26()y u u =-+在)+∞递减∴u=2,即x =0时, max 3y =.
变式练习: (1)求函数y ＝x ＋1
2x (x <0)的最大值；
(2)求函数y ＝1
x －3
＋x (x >3)的最小值；
(3)求函数y ＝x (a －2x )(x >0，a 为大于2x 的常数)的最大值．
解：(1)∵x <0，∴－x ＞0，∴y ＝x ＋12x ＝－[(－x )＋1(－2x )]≤－2(－x )·1
(－2x )
＝－ 2.
当且仅当x ＝－
2
2
时，取等号，∴y max ＝－ 2. (2)∵x >3，∴x －3＞0，∴y ＝1x －3＋x ＝1x －3＋(x －3)＋3≥5，当且仅当x －3＝1
x －3
，即x ＝4时，取等号，∴y min ＝5.
(3)∵x >0，a >2x ，∴a －2x ＞0，
∴y ＝x (a －2x )＝12×2x ·(a －2x )≤12×[2x ＋(a －2x )2]2＝a 28，当且仅当2x ＝a －2x 即x ＝a
4时，取等号．
∴y max ＝a
28
.
例2.（1）已知a ，b 为正常数，x 、y 为正实数，且
1a b
+=x y
，求x+y 的最小值. （2） 已知00>>y x ，，且302=++xy y x ，求xy 的最大值．
分析：问题（1）可以采用常数代换的方法也可以进行变量代换从而转化为一元函数再利用基本不等式求解；问题（2）既可以直接利用基本不等式将题目中的等式转化为关于xy 的不等式，也可以采用变量代换转换为一元函数再求解.
解:(1)法一：直接利用基本不等式：a b bx ay x +y =(x +y)(+)=a +b++x y y x
≥ay bx
=x y a b +=1
x y
⎧⎪⎪
⎨
⎪⎪⎩，
即x =a y =b ⎧⎪⎨⎪⎩ 法二：由a b +=1x y 得ay
x =y -b
ay a(y b )ab ab ab
x y y y a y (y b )a b y b y b y b y b
-++=
+=+=++=+-++----∴ ∵ x>0，y>0，a>0 ∴ 由ay
y -b
>0得y-b>0, ∴
x+y≥
当且仅当ab
=y -b y -b a b +=1x y
⎧⎪⎪
⎨⎪⎪⎩
，即y =b x =a ⎧⎪⎨⎪⎩
（2）法一：由302=++xy y x ，可得，)300(230<<+-=
x x
x
y ． x x x x x x xy +-+++-=+-=264)2(34)2(23022⎥⎦⎤⎢⎣
⎡+++-=264)2(34x x 注意到16264
)2(2264)2(=+⋅+≥++
+x x x x ．可得，18≤xy ． 当且仅当2
64
2+=+x x ，即6=x 时等号成立，代入302=++xy y x 中得3=y ，
故xy 的最大值为18．
法二：+
∈R y x , ，xy xy y x ⋅=≥+∴22222， 代入302=++xy y x 中得：3022≤+⋅xy xy
解此不等式得180≤≤xy ．下面解法见解法一，下略．
点拨：求条件最值的问题，基本思想是借助条件化二元函数为一元函数，代入法是最基本的方法，也可考虑通过变形直接利用基本不等式解决. 变式练习:1.函数1(01)x
y a
a a -=>≠，的图象恒过定点A ，若点A 在直线10(0)mx ny mn +-=>上，则
11
m n
+的最小值为 . 4
2．(2008·江苏)设x ，y ，z 为正实数，且满足x －2y ＋3z ＝0，则y 2
xz
的最小值是________．3
解：由x －2y ＋3z ＝0得y ＝x ＋3z 2，代入y 2xz 得x 2＋9z 2
＋6xz 4xz ≥6xz ＋6xz
4xz
＝3，当且仅当x ＝3z 时取“＝”．
●反馈练习
1．函数y ＝x 2＋2
x －1
(x >1)的最小值是 .
解：∵x >1，∴x －1>0，∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3
x －1
＝x －1＋3x －1
＋2≥2·
(x －1)·3x －1＋2＝23＋2，当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝1＋3时，取等号．
2．已知a ＞b ＞c ，则(a －b )(b －c )与a －c
2
的大小关系是________．
解：∵a ＞b ＞c ，∴a －b ＞0，b －c ＞0，∴a －c 2＝(a －b )＋(b －c )
2
≥(a －b )(b －c ).
3．设x ＋y ＝1，x 、y ∈(0，＋∞)，则x 2＋y 2＋xy 的最小值是____________．3
4
解：由x ＋y ≥2 xy ，知xy ≤(x ＋y 2)2＝1
4
，当且仅当x ＝y 时等号成立．
x 2＋y 2＋xy ＝(x ＋y )2－xy ＝1－xy ≥1－14＝3
4
.
4．(2009年高考天津卷)设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝2 3，则1x ＋1
y
的最大值为 .
解：因为a >1，b >1，a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝2 3，所以x ＝log a 3，y ＝log b 3.
1x ＋1y ＝1log a 3＋1log b 3＝log 3a ＋log 3b ＝log 3(ab )≤log 3(a ＋b 2)2＝log 3(2 32
)2
＝1，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 基本不等式作业
1.已知下列四个结论：
①若,,R b a ∈则22=⋅≥+b
a a
b b
a a
b ；②若+∈R y x ,,则y x y x lg lg 2lg lg ≥+；
③若,-∈R x 则4424-=⋅-≥+x
x x x ；④若,-∈R x 则222222=⋅≥+--x x x x 。

其中正确的是 . ④
2．(2010·南京模拟)若log m n ＝－1，则3n ＋m 的最小值是________．2 3
解：∵log m n ＝－1，∴m －
1＝n ，∴mn ＝1，∵n ＞0，m ＞0且m ≠1，∴3n ＋m ≥23mn ＝2 3.
当且仅当3n ＝m ，即n ＝3
3
，m ＝3时等号成立．
3．(1)若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是______．
解：由基本不等式得xy ≥22xy ＋6，令xy ＝t 得不等式t 2－22t －6≥0，解得t ≤－2(舍去)或者t ≥32，故xy 的最小值为18.
(2)(2010年高考重庆卷)已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是 . 4
解：∵2xy ＝x ·(2y )≤(x ＋2y 2
)2
，∴原式可化为(x ＋2y )2＋4(x ＋2y )－32≥0.
又∵x >0，y >0.∴x ＋2y ≥4.当x ＝2，y ＝1时取等号．
(3)若a 、b 、c 为正实数，且a (a +b +c )+bc =4-23,则2a +b +c 的最小值为 .2
4.若a ,b 是正常数，a ≠b ,x ,y ∈(0,+∞)，则x
a 2+y
b 2
≥()y x b a ++2,当且仅当x a =y b 时上式取等号.利用以上结论，可以得到函数
f (x )=
x 2+ x
219
-⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∈210,x 的最小值为 ，取最小值时x 的值为 .答案 25 51 5.若x ,y 是正数，则2
21⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+y x +2
21⎪⎭⎫ ⎝⎛
+x y 的最小值是 .答案 4
6.若a 是正实数，2a 2+3b 2=10，则的最大值等于 . 63
4
7.已知不等式1()()9a
x y x y
++
≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为 . 4 解：不等式(x ＋y )(1x ＋a y )≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则1＋a ＋y x ＋ax
y
≥a ＋2a ＋1≥9，
∴a ≥2或a ≤－4(舍去)．所以正实数a 的最小值为4.
热点二 利用基本不等式求最值
[微题型1] 基本不等式的简单应用
【例2－1】 (2015·武汉模拟)已知两个正数x ，y 满足x ＋4y ＋5＝xy ，则xy 取最小值时，x ，y 的值分别为________． 解析 ∵x ＞0，y ＞0，∴x ＋4y ＋5＝xy ≥24xy ＋5，即xy －4xy －5≥0，可求xy ≥25. 当且仅当x ＝4y 时取等号，即x ＝10，y ＝52.答案 10，52
[微题型2] 带有约束条件的基本不等式问题
【例2－2】 (2015·四川卷改编)如果函数f (x )＝1
2(m －2)x 2＋(n －8)x ＋1(m ≥0，n ≥0)在区间⎣⎡⎦⎤12，2上单调递减，那么mn 的最大值为________．
解析 令f ′(x )＝(m －2)x ＋n －8＝0，∴x ＝－n －8m －2，当m ＞2时，对称轴x 0＝－n －8m －2，由题意，－n －8m －2≥2，∴2m ＋n ≤12，
∵2mn ≤2m ＋n 2≤6，∴mn ≤18，由2m ＋n ＝12且2m ＝n 知m ＝3，n ＝6，当m ＜2时，抛物线开口向下，由题意－
n －8
m －2≤12，即2n ＋m ≤18，∵2mn ≤2n ＋m 2≤9，∴mn ≤81
2，由2n ＋m ＝18且2n ＝m ，得m ＝9(舍去)，∴mn 最大值为18. [微题型3] 基本不等式在实际问题中的应用
【例2－3】 如图，在C 城周边已有两条公路l 1，l 2在点O 处交汇．已知OC ＝(2＋6)km ，∠AOB ＝75°，∠AOC ＝45°，现规划在公路l 1，l 2上分别选择A ，B 两处为交汇点(异于点O )直接修建一条公路通过C 城．设OA ＝x km ，OB ＝y km.
(1)求y 关于x 的函数关系式并指出它的定义域； (2)试确定点A ，B 的位置，使△OAB 的面积最小．
解 (1)因为△AOC 的面积与△BOC 的面积之和等于△AOB 的面积，所以12x (2＋6)sin 45°＋12y (2＋6)·sin 30°＝
12xy sin 75 °，即
22x (2＋6)＋12y (2＋6)＝6＋24xy ，所以y ＝22x
x －2
(x ＞2)． (2)△AOB 的面积S ＝12xy sin 75°＝6＋28xy ＝3＋12×x 2x －2＝3＋12(x －2＋4
x －2＋4)≥3＋12×8＝4(3＋1)．
当且仅当x ＝4时取等号，此时y ＝4 2.故OA ＝4 km ，OB ＝4 2 km 时，△OAB 面积的最小值为4(3＋1) km 2. 探究提高 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误． 【训练2】 (1)(2015·广州模拟)若正实数x ，y 满足x ＋y ＋1＝xy ，则x ＋2y 的最小值是________． (2)已知关于x 的不等式2x ＋
2
x －a
≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________． 解析 (1)由x ＋y ＋1＝xy ，得y ＝x ＋1x －1，又y ＞0，x ＞0，∴x ＞1.∴x ＋2y ＝x ＋2×x ＋1
x －1＝x ＋2×⎝⎛⎭⎫1＋2x －1
＝x ＋2＋4x －1＝3＋(x －1)＋4
x －1
≥3＋4＝7，当且仅当x ＝3时取“＝”．
(2)∵x ∈(a ，＋∞)，∴x －a ＞0，∴2x ＋2x －a ＝2(x －a )＋2x －a ＋2a ≥2·2（x －a ）·2
x －a ＋2a ＝4＋2a ，
由题意可知4＋2a ≥7，得a ≥32，故实数a 的最小值为3
2
.
8．(2015·苏、锡、常、镇调研)已知x ，y ∈R ，满足2≤y ≤4－x ，x ≥1，则x 2＋y 2＋2x －2y ＋2
xy －x ＋y －1
的最大值为________．
解析 画出不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧2≤y ≤4－x ，
x ≥1对应的平面区域，它是以点(1，2)，(1，3)，(2，2)为顶点的三角形区域．
x 2＋y 2＋2x －2y ＋2xy －x ＋y －1＝（x ＋1）2＋（y －1）2（x ＋1）（y －1）＝x ＋1y －1＋y －1x ＋1，令y －1x ＋1＝t ∈⎣⎡⎦⎤13，1(经过点(2，2)时取得最小值，经过点(1，3)时取得最大值)，则x 2＋y 2＋2x －2y ＋2xy －x ＋y －1＝1t ＋t ，又⎝⎛⎭⎫1t ＋t ′＝1－1t 2＝（t ＋1）（t －1）t 2
≤0，t ∈⎣⎡⎦⎤13，1，所以函数y ＝1t ＋t 在t ∈⎣⎡⎦⎤13，1上单调递减，所以当t ＝13时，x 2
＋y 2
＋2x －2y ＋2xy －x ＋y －1
取得最大值为10
3. 10．(2015·苏北四市调研)某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O 的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x 米，圆心角为θ(弧度)． (1)求θ关于x 的函数关系式；
(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，求y 关于x 的函数关系式，并求出x 为何值时，y 取得最大值？ 解 (1)设扇环的圆心角为θ，则30＝θ(10＋x )＋2(10－x )，所以θ＝10＋2x
10＋x
.
(2)花坛的面积为1
2θ(102－x 2)＝(5＋x )(10－x )＝－x 2＋5x ＋50(0＜x ＜10)．装饰总费用为9θ(10＋x )＋8(10－x )＝170＋10x ，
所以花坛的面积与装饰总费用的比y ＝－x 2＋5x ＋50170＋10x ＝－x 2－5x －5010（17＋x ），令t ＝17＋x ，则y ＝3910－110⎝⎛⎭⎫t ＋324t ≤3
10， 当且仅当t ＝18时取等号，此时x ＝1，θ＝12
11
.答：当x ＝1时，花坛的面积与装饰总费用的比最大．
13.已知y x ,为正实数，则
x
y
y x x ++22的最小值为 3/2 14.设0))(3(2≤-+b x ax 对任意),0[+∞∈x 恒成立，其中b a ,是整数，则b a +的取值的集合为 -2或8
13．已知函数f (x )＝ax 2＋x －b (a ，b 均为正数)，不等式f (x )＞0的解集记为P ，集合Q ＝{x |－2－t ＜x ＜－2＋t }．若对于任意正数t ，P ∩Q ≠∅，则1a －1b 的最大值是 .1
2
14．若存在两个正实数x 、y ，使得等式x ＋a (y －2e x )(ln y －ln x )＝0成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围为 .a ＜0或a ≥1
e
13. 已知函数f (x )＝2x －
1＋a ，g (x )＝bf (1－x )，其中a ，b ∈R ，若关于x 的不等式f (x )≥g (x )的解的最小值为2，则a 的取值范
围是________．⎣⎡⎦
⎤3，25627 14. 若实数x ，y 满足x 2－4xy ＋4y 2＋4x 2y 2＝4，则当x ＋2y 取得最大值时，x y
的值为________． (－∞，－2]∪⎝⎛⎭
⎫－14，＋∞
14.已知函数),(32)(2R b a b ax x f ∈+=.若对于任意]1,1[-∈x ，都有1|)(|≤x f 成立，则ab 的最大值是
1/24
（2016南通二模T13）设实数,x y 满足2
214
x y -=，则232x xy -的最小值是 ．624+
（2016南通二模T14）若存在,R αβ∈，使得3
cos cos 2
5cos t t αββααβ⎧=+⎪⎨⎪≤≤-⎩
，则实数t 的取值范围是 ．]1,32
[-
不等式之三元条件最值的求解
1．已知z y x ,,为正数，满足032=+-z y x ，求xz
y 2
的最小值．
2．已知实数c b a ,,满足0>>a b ，ac b 42≤；求a
b c
b a -++的最小值．
3．已知正数c b a ,,满足a c b a 3≤+≤，225)(3b c a a b ≤+≤；求a
c
b 2-的最小值．
4．若向量,,均为单位向量，且0=⋅b a ，0)()(≤-⋅-c b c a
求b ++的最大值．
5．对于实数0>c ,当非零实数b a ,满足052222=-+-c b ab a 且使b a +最大时，求c b a +-8的最小值．
6．已知实数c b a ,,均为正数，求bc
ab c b a 32
22+++的最小值．
7．已知实数c b a ,,满足0ln 422=--b a a ，R c ∈，求22)6()(c b c a ++-的最小值．
8．已知z y x ,,为正数，求y
x z z x y z y x +++++的最小值．
9．已知实数c b a ,,满足0=++c b a ，1222=++c b a ；求实数a 的取值范围．
10．已知22=+++bc ac ab a ，求c b a 23++的最小值．
练习探究
1．已知实数c b a ,,满足0>a ，ac b a 442
2
≤+；求2
22
c a b +的最大值．
2．已知在ABC ∆中，A C B sin 3sin 2sin ≤+，B A C sin 3sin 2sin ≤+，求A
B
sin sin 的取值范围．
3．已知A,B,C 是同一平面内的三个点，AB =c ，BC =a ，CA =b ，求
c
b
b a
c ++的最小值．
4．已知在无穷数列{a n }中，a 1≥1，a 2≥2，a 3≤4.求实数a 2015的取值范围．
5．若实数c b a ,,满足b a b a +=+222，c b a c b a ++=++2222，求c 最大值．
6．已知z y x ,,均为正数，且xy y x =+，xyz z y x =++，求z 的取值范围．
7．已知222c b a =+，c ≠0；求c
a b
2-的取值范围．
8．已知2
2
b a +≤22
c ，c ≠0；求c
b a c
b a 22---+的取值范围．
9．已知12
2
2
=++z y x ，求xyz
z 2)1(2
+的最小值．
10．已知1)(=++z y x xyz ，求))((z y y x ++的最小值．
圆锥曲线中综合问题
1．定值、定点问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点，就是要求的定点．解决这类问题的关键就是引进参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量． 2．圆锥曲线中最值问题主要是求线段长度的最值、三角形面积的最值等． (1)椭圆中的最值
F 1、F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为椭圆上的任意一点，B 为短轴的一个端点，O 为坐标原点，
则有①OP ∈[b ，a ]；②PF 1∈[a －c ，a ＋c ]；③PF 1·PF 2∈[b 2，a 2]；④∠F 1PF 2≤∠F 1BF 2. (2)双曲线中的最值
F 1、F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，P 为双曲线上的任一点，O 为坐标原点，则有
①OP ≥a ；②PF 1≥c －a .
3．求解圆锥曲线中的范围问题的关键是选取合适的变量建立目标函数和不等关系．该问题主要有以下三种情况： (1)距离型：若涉及焦点，则可以考虑将圆锥曲线定义和平面几何性质结合起来求解；若是圆锥曲线上的点到直线的距离，则可设出与已知直线平行的直线方程，再代入圆锥曲线方程中，用判别式等于零求得切点坐标，这个切点就是距离取得最值的点，若是在圆或椭圆上，则可将点的坐标以参数形式设出，转化为三角函数的最值求解．
(2)斜率、截距型：一般解法是将直线方程代入圆锥曲线方程中，利用判别式列出对应的不等式，解出参数的范围，如果给出的只是圆锥曲线的一部分，则需要结合图形具体分析，得出相应的不等关系．
(3)面积型：求面积型的最值，即求两个量的乘积的范围，可以考虑能否使用不等式求解，或者消元转化为某个参数的函数关系，用函数方法求解.
热点一 定点与定值问题 [微题型1] 定点的探究与证明
【例1－1】 (2015·苏、锡、常、镇模拟)如图，以原点O 为圆心的两个同心圆的半径分别为3和1，过原点O 的射线交大圆于点P ，交小圆于点Q ，P 在y 轴上的射影为M .动点N 满足PM →＝λPN →且PM →·QN →＝0. (1)求点N 的轨迹方程；
(2)过点A (0，3)作斜率分别为k 1，k 2的直线l 1，l 2，与点N 的轨迹分别交于E ，F 两点，k 1·k 2＝－9.求证：直线EF 过定点．
(1)解 由PM →＝λPN →且PM →·QN →＝0可知，N ，P ，M 三点共线且PM ⊥QN .过点Q 作QN ⊥PM ，垂足为N ，设N (x ，y )． 因为OP ＝3，OQ ＝1，由相似比可知P (3x ，y )．因为P 在圆x 2
＋y 2
＝9上，所以(3x )2
＋y 2
＝9，即y 29
＋x 2
＝1，
所以点N 的轨迹方程为y 29
＋x 2
＝1.
(2)证明 设E (x E ，y E )，F (x F ，y F )，依题意，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1
x ＋3，y 29＋x 2
＝1得(k 21＋9)x 2
＋6k 1x ＝0，① 解得x ＝0或x ＝－6k 1k 21＋9，所以x E ＝－6k 1k 21＋9，y E ＝k 1⎝⎛⎭⎫－6k 1k 21＋9＋3＝27－3k 21k 21＋9
，
所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6k 1k 21＋9，27－3k 21k 21＋9.因为k 1k 2＝－9，所以k 2＝－9k 1，用－9k 1替代①中的k 1
，同理可得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫6k 1k 21＋9，3k 2
1－27k 21
＋9.
显然E ，F 关于原点对称，所以直线EF 必过原点O .
探究提高 如果要解决的问题是一个定点问题，而题设条件又没有给出这个定点，那么，我们可以这样思考：由于这个定点对符合要求的一些特殊情况必然成立，那么我们根据特殊情况先找到这个定点，明确解决问题的目标，然后进行推理探究，这种先根据特殊情况确定定点，再进行一般性证明的方法就是由特殊到一般的方法． [微题型2] 定值的探究与证明
【例1－2】 (2014·南京、盐城模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F 2(1，0)，点H (1，3
2)在椭圆上．
(1)求此椭圆方程；
(2)点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝b 2上，M 在第一象限，过M 作圆x 2＋y 2＝b 2的切线交椭圆于P ，Q 两点，问F 2P ＋F 2Q ＋PQ 是否为定值？如果是，求出定值；如不是，说明理由．
解 (1)∵右焦点为F 2(1，0)，∴c ＝1，∴左焦点为F 1(－1，0)．又点H (1，3
2)在椭圆上，
∴2a ＝HF 1＋HF 2＝
（1＋1）2＋（3
2）2＋
（1－1）2＋（3
2
）2＝4，
∴a ＝2，b ＝a 2
－c 2
＝3，故所求椭圆方程为x 24＋y 2
3
＝1.
(2)如图所示：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，∴x 214＋y 21
3
＝1(|x 1|≤2)，
∴PF 22＝(x 1－1)2＋y 21＝(x 1－1)2
＋3(1－x 214
)＝14
(x 1－4)2，∴PF 2＝12
(4－x 1)＝2－12
x 1.
连接OM ，OP ，由相切条件知：PM 2
＝OP 2
－OM
2
＝x 21＋y 21－3＝x 2
1＋3(1－x 214
)－3＝14
x 21，
∴PM ＝12x 1，∴PF 2＋PM ＝2－12x 1＋12x 1＝2.同理可求：QF 2＋QM ＝2－12x 2＋1
2x 2＝2.
所以F 2P ＋F 2Q ＋PQ ＝2＋2＝4为定值．
探究提高 定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的．定值问题同证明问题类似，在求定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定值显现．
【训练1】 (2015·江苏高考命题原创卷)如图，过点C (0，3)的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为1
2，椭圆与x 轴交于
A (a ，0)和
B (－a ，0)两点，过点
C 的直线l 与椭圆交于另一点
D ，并与x 轴交于点P ，直线AC 与直线BD 交于点Q . (1)当直线l 过椭圆的右焦点时，求线段CD 的长； (2)当点P 异于点B 时，求证：OP →·OQ →
为定值．
(1)解 由已知得b ＝3，c a ＝12，得a ＝2，所以椭圆的方程为x 24＋y 2
3
＝1.椭圆的右焦点为F (1，0)，
此时直线l 的方程为y ＝－3x ＋ 3.由⎩⎨⎧y ＝－3x ＋3，3x 2＋4y 2＝12
解得x 1＝0，x 2＝8
5， 所以CD ＝（1＋k 2）|x 1－x 2|＝4×85＝165
.
(2)证明 当直线l 与x 轴垂直时，与题意不符，所以直线l 与x 轴不垂直，即直线l 的斜率存在． 设直线l 的方程为y ＝kx ＋3(k ≠0且k ≠
3
2
)．将其代入椭圆的方程，化简得(3＋4k 2)x 2＋83kx ＝0， 解得x 1＝0，x 2＝－83k 3＋4k 2.将其代入直线l 的方程，得y 1＝3，y 2＝3（3－4k 2）
3＋4k 2
.
所以D 点的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－83k 3＋4k 2，3（3－4k 2
）3＋4k 2
.因为B (－2，0)，k BD ＝y 2－0x 2＋2＝－32·2k ＋32k －3， 所以直线BD 的方程为y ＝－
3（2k ＋3）2（2k －3）(x ＋2)．又直线AC 的方程为x 2＋y
3
＝1，
联立直线AC 与直线BD 的方程解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4k 3，y ＝2k ＋3，即Q ⎝⎛⎭⎫－4k 3，2k ＋3.而P ⎝⎛⎭⎫－3k ，0，
所以OP →·OQ →＝⎝⎛⎭⎫－3k ，0·⎝⎛⎭⎫－4k 3，2k ＋3＝4＋0＝4.所以OP →·OQ →为定值4.
热点二 最值与范围问题
[微题型1] 求线段长度、三角形面积的最值
【例2－1】 (2014·新课标全国Ⅰ卷)已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为3
2，F 是椭圆E 的右焦
点，直线AF 的斜率为23
3，O 为坐标原点．
(1)求E 的方程；
(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点．当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程． 解 (1)设F (c ，0)，由条件知2c ＝233，得c ＝ 3.又c a ＝3
2，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1.
故E 的方程为x 24＋y 2
＝1.
(2)当l ⊥x 轴时不合题意，
故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．将y ＝kx －2代入x 24＋y 2
＝1，得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0.
当Δ＝16(4k 2
－3)>0，即k 2
>34时，x 1，2＝8k ±24k 2－34k 2＋1.从而PQ ＝k 2
＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1
.
又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1
.所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝1
2d ·PQ ＝44k 2－34k 2＋1.
设4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t 2＋4
＝4t ＋4t .因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±7
2时等号成立，且满足Δ>0.所以当
△OPQ 的面积最大时，l 的方程为y ＝
72x －2或y ＝－7
2
x －2. 探究提高 若一个函数式的分母中含有一次式或二次式、分子中含有一次式或二次式的二次根式，则可以通过换元的方法把其转化为分母为二次式、分子为一次式的函数式，这样便于求解此函数式的最值． [微题型2] 求几何量、某个参数的取值范围
【例2－2】 (2015·青岛模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点M ⎝⎛⎭⎫1，32，其离心率为1
2. (1)求椭圆C 的方程；
(2)设直线l ：y ＝kx ＋m (⎝⎛⎭⎫|k |≤1
2与椭圆C 相交于点A ，B 两点，以线段OA ，OB 为邻边作平行四边形OAPB ，其中顶点P 在椭圆C 上，O 为坐标原点，求OP 的取值范围．
解 (1)由已知可得e 2
＝a 2－b 2a 2＝14，所以3a 2＝4b 2.又点M ⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆C 上，所以1a 2＋9
4b
2＝1.由以上两式联立，解得a 2
＝4，b 2
＝3.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2
3
＝1.
(2)当k ＝0时，P (0，2m )在椭圆C 上，解得m ＝±3
2
，所以OP ＝ 3.
当k ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2
3＝1，
消去y 并化简整理，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，
Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＝48(3＋4k 2－m 2)＞0，设A ，B ，P 点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 0，y 0)，由题意得x 1，x 2为上述一元二次方程的两根，解方程得x 1，2＝－4km ±212k 2－3m 2＋9
4k 2＋3
，。