利用极坐标计算二重积分教材课程

求F(z).
解 区域D可以表示为
D{(x,y)|yzx,x},故
zx
F( z)
dx
f(x, y)dy
zx
dx (x) (y)dy
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z x
(x )d x (y )dy
例题
所 以F (z) (x)(zx)dx
1 2a
a (z a
x )dx
令 t z x ,则 有 F (z)1z a 2 az a
解 在 极 坐 标 系 下
D ： 0 r a ， 0 2 .
ex2y2dxdy
2
d
aer2rdr
0
0
D
(1ea2).
例题
例3 求 广 义 积 分ex2dx. 0
解 D 1 {x ,( y )|x 2 y 2 R 2 }
D2 S
D 2 {x ,( y )|x 2 y 2 2 R 2 } DSD1 2
利用极坐标计算二重积分
教学目的：利用极坐标计算二重积分 教学重点：二重积分化为极坐标形式 教学难点：用极坐标表示平面区域
利用极坐标计算二重积分
设
x
y
r cos , r sin.
，则
由扇形面积公式可知其中第i个小区域的面积为
i1 2 (ri ri)2i 1 2 ri2i
1 2(2ri ri)rii
S { x , y ) ( | 0 x R , 0 y R } R 2R
{x0,y0} 显 然 有 D 1 S D 2
ex2y2 0,
ex2y2dxdy ex2y2dxdy ex2y2dxd.y
D1
S
D2
例题
又 Ie x 2 y 2 dxdy
S
Rex2dxRey2dy( Rex2dx)2;
4
0
4
当 R 时 , I1
4
,
I2
4
,
故 当 R 时 ,I ,
4
即( ex2dx)2 ,
0
4
所 求 广 义 积 分ex2dx .
0
2
例题
例4 计算(x2 y2)dxdy，其D为由圆
D
x2 y2 2y，x2 y2 4y及直线x 3y 0 ，
y 3x 0 所围成的平面闭区域.
r
d 0
0 (1r2) dr
1
1 (1R2)1
1
当 1 时 liI m (R ) 则 I
R
1
1
当 1 时 liI ( m R ) 则 原 积 分 发 散 R
例题
例2 设(x)21a |x|a, f(x,y)(x)(y),
0 |x|a
F(z)f(x, y)d, 其中D{(x,y)|xyz}, D
直 线 方 程 为 r 1 , xy1
sin cos
f(x, y)dxd y 2d1 1 f(rco ,rssin )rd . r
D
0 sin co s
例题
例 2 计 算ex2y2dx， d其 y中 D是 由 中 心 在
D
原 点 ， 半 径 为 a的 圆 周 所 围 成 的 闭 区 域 .
0
0
极坐标系下区域的面积 rdrd. D
例题
例1写 出 积 分 f(x,y)dx的 d极 y坐 标 二 次 积 分 形
D
式 ， 其 中 积 分 区 域
D{(x,y)| 1xy 1x2,0x1}.
解
在 极 坐 标 系 下 xy
r cos r sin
x2 y2 1
所 以 圆 方 程 为 r 1 ,
a2( 3). 3
广义二重积分
基本解法： 先在有界区域内积分，然后令有界区域趋于原无 界区域时取极限求解.
例1 求 广 义 二 重 积 分ID(1xd2y2),1.
D是 整 个xO平 y面 解 先考虑圆域 D {x ,(y )|x 2 y 2 R 2 }
I(R)D(1xd2y2)
例题
2
R
解
y
3x02
3
x2y24y r 4 sin
x
3y01
6
x2y22y r2sin
(x2y2)dxdy
3d
4sinr2rdr15(
3).
D
6
2sin
2
例题
例5 计算二重积分 sin(x2y2)dxd, y
D
x2y2
其中积分区域为D{(x,y)|1x2y24}.
解 由 对 称 性 ， 可 只 考 虑 第 一 象 限 部 分 ，
区域特征如图
r()
,
D
0r().
o
A
f(rco,srsin)rdrd
D
d ()f(rc o ,rs s i)n rd . r 0
二重积分化为二次积分
区域特征如图
D
02, 0r(). o
r()
A
f(rco,srsin)rdrd
D 2 ()
d f(rco ,rs si)n rd . r
D1
D4D1
注 意 ： 被 积 函 数 也 要 有 对 称 性 .
sin( x2y2)dxdy4 sin( x2y2)dxdy
D
x2 y2
D1
x2 y2
4
2d
2sinrrdr4.
0 1r
例题
例 6求 曲 线 (x 2 y 2 )2 2 a 2 (x 2 y 2 ) 和 x 2 y 2 a 2 所 围 成 的 图 形 的 面 积 .
rri ri r ri
ri (ri2ri)rii
D
ri ri i,
o
i i
i
i
A
例题
二重积分化为二次积分的公式（１）
区域特征如图
r1()
,
D
1 () r 2 ().
o
f(rco,srsin)rdrd
D
d
2()f(rco,rs si)n rd . r
1()
r2()
A
二重积分化为二次积分
解 根 据 对 称 性 有 D 4 D 1
在 极 坐 标 系 下
D1
x2y2a2 ra ,
(x 2 y 2 )2 2 a 2 (x 2 y 2 )ra2co 2,s
例题
由ra
2co2s
,
ra
得 交 点 A(a,), 6
所 求 面 积 d xd4ydxdy
D
D1
4
6d
a
2co2s
rdr
0a
(t)dt
于 是 有 :
(1) z2a时 , F(z)0
( 2 ) 2 a z 0 时 , F ( z ) z 2 a
4 a 2
( 3 ) 0 z 2 a 时 , F ( z ) 2 a z
4 a 2
( 4 ) z 2 a 时 ,F ( z ) 0
0
0
0
I 1 e x 2 y 2 dxdy
D 1
2d
Rer2rdr
(1eR2
);
00
4
同 理 I2 D 2e x 2 y 2 dx 4(d 1ey 2R2 );
例题
I1 I I2 ,
( 1 e R 2 ) (R e x 2 d ) 2 x ( 1 e 2 R 2 );