例析二元一次方程组新题型

夺目的二元一次方程组试题

近年来的方程组试题紧扣教材， 适度延伸，一改呆板单一的模式，呈现方式多样，突出创新，令人耳目一新，试题新颖活泼，格调清新，我们在解答此类问题的同时，既获得数学理解，又锻炼了思维能力，陶冶了情操，体验了美的情趣．现作如下分类，供同学们学习时参考．

一、诗歌类

例1 一群鹅来一群狗，鹅头狗头五十五，一百五十条腿齐步走，多少鹅来多少狗？

解：设鹅与狗分别有x 、y 只，由题意可列：，解之可得

答：鹅与狗分别有35、20只． 二、寓言故事类

例2 （呼和浩特市中考题）《一千零一夜》中有这样一段文字：有一群鸽子，其中有一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食，树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们

中飞上来一只，则树下的鸽子为整个鸽群的，若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子

就一样多．”你知道树上、树下各有多少只鸽子吗？

解：设树上有x 只鸽子，树下有y 只鸽子，由题意可列：，整理得：，解之可得 答：树上原有7只鸽子，树下原有5只鸽子． 三、开放类

例3 （烟台市中考试题）写出一个解为的二元一次方程组 ．

解：根据x ＝1，y ＝2逆向思考，代值反推，可知：x +y ＝1+2＝3，x －y ＝1－2＝－1．故解为的二元一次方程组可以是．

⎩⎨⎧=++1504255y x y x ＝⎩

⎨⎧==2035

y x 3

1

⎪⎩⎪

⎨⎧+=-+=-1

1)(3

11y x y x y ⎩⎨⎧-=-=-232x y x y ⎩

⎨

⎧==57

y x ⎩⎨

⎧==2

1

y x ⎩⎨

⎧==2

1

y x ⎩⎨⎧-=-=+13y x y x

点评：值得注意的是，本题容易想到xy ＝1×2＝2，构造出方程，但是它并

不是一个二元一次方程组而导致错误答案；同时本题的答案众多，结论开放，给了我们很多思考的空间，对培养思维的发散性、严密性、批判性大有裨益．

例 4 （贵阳市中考试题）已知二元一次方程（1）x +y ＝4，（2）2x －y ＝2，（3）x －2y ＝1，请你从这三个方程中选择你喜欢的两个方程组成一个方程组，并求出这个方程组的解．

解：选择（1）（2）组成的方程组，解得，选择（1）（3）组成的

方程组，解得，选择（2）（3）组成的方程组，解得．

点评：本题设计新颖，注重人文关怀，为我们答题时设置了更多的选择余地，我们可以从自己最熟悉，最有把握的角度选择组合，从而轻松过关．

四、图表类

例5 （吉林省中考试题）如图，在3×3的方格内， 填入一些代数式与数，若各行、各列及对角线上的三个数字之和都

相等，请你求出x ，y 的值．

解：由已知条件可知解得．

例6 （2006年哈尔滨市中考试题） 某工厂生长A 、B 两种产品，下表记录了 工人小赵的工作情况：根据提供的信息， 求小赵每生长一件A 产品，每生长一件 B 产品，分别用多长的时间？

解：设小赵每生长一件A 产品需要x 分钟， 每生长一件B 产品需要y 分钟，依题意有： 知，解得．

答：小赵每生长一件A 产品需要15分钟，每生长一件B 产品需要20分钟．

五、图形类

⎩⎨

⎧==+2

3

xy y x ⎩⎨

⎧=-=+224y x y x ⎩⎨⎧==2

2

y x ⎩⎨⎧=-=+124y x y x ⎩⎨⎧==13y x ⎩⎨⎧=-=1222y x y x －⎩

⎨⎧==01

y x ⎩⎨

⎧=+-=+543432y y y x ⎩

⎨⎧=-=11

y x ⎩⎨

⎧=+=+8523552y x y x ⎩

⎨⎧==2015

y x

例7 （贵阳市中考试题，略有改动）学校分两次购进一些实验仪器如下，根据下图的信息，求每盏酒精灯与每只漏斗的价格．

共计16元 共计12元

解: 设每盏酒精灯与每只漏斗的价格为x ，y 元，依题意可列：，求出

．答：每盏酒精灯与每只漏斗的价格分别为6，2元．

二元一次方程组应用新题型

图形信息题

例 1.(泰州课改)扬子江药业集团生产的某种药品包装盒的侧面展开图如图所示．如果长方体盒子的长比宽多4cm ，求这种药品包装盒的体积．

分析：要求包装盒的体积，必须先求出这种包装盒的长、宽、高，由于长方体盒子的长比宽多4cm ，因此可设宽为cm x ，高为cm y 后列二元一次方程组求解.

解：设这种药品包装盒的宽为cm x ，高为cm y ，则长为(4)cm x +， 根据题意得，22144213

x y x y +=⎧⎨++=⎩　

解这个方程组得5

2

x y =⎧⎨

=⎩

故长为9cm ，宽为5cm ，高为2cm ．

⎩

⎨⎧=+=+12316

22y x y x ⎩⎨

⎧=2

6

y x ＝13cm

14cm 高 长

宽

体积3

95290(cm )V =⨯⨯=

答：这种药品包装盒的体积为390cm ． 图画信息题

例2.（海南）某商场正在热销2008年北京奥运会吉祥物“福娃”玩具和徽章两种奥运商品，根据下图提供的信息，求一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格各是多少元？

分析：本题的条件由图画给出，形式新颖，这也是近几年二元一次方程组应用的常见题型.

解：设一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为x 元和y 元． 依题意，得2145

23280

x y x y +=⎧⎨

+=⎩

解这个方程组，得125

10x y =⎧⎨

=⎩

答：一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为125元和10元． 残缺信息题

例 3.（鄂尔多斯）国家为九年义务教育期间的学生实行“两免一补”政策，下表是我市某中学国家免费提供教科书补助的部分情况．

七

八

九

合计

每人免费补助金额（元） 110 90 50 ——

人数（人）

80 300 免费补助总金额（元）

4000

26200

如果要知道空白处的数据，可设七年级的人数为x ，八年级的人数为y ，根据题意列出方程组为（ ）

共计145元

共计280元

年

级

项

目