探究椭圆的曲率半径随弧长的变化关系式

椭圆的曲率半径随着弧长的变化关系
通过收集了大量的数据后，利用Matlab 软件绘制了椭圆的弧长—曲率半径的图像，发现它们满足Fourier 二次展开式关系。

即
)
2sin()2cos()sin()cos(22110C w b C w a C w b C w a a R ××+××+×+×+=上式中：以椭圆与Y 轴的交点为起点算起；
C 为椭圆的某段弧的弧长；
R 为弧长为C 处的椭圆曲率半径；
a0、a1、b1、a2、b2、w 均为相关参数。

我们还发现，随着椭圆的离心率e 不同，这些参数也会发生相应的变化，同时在进行了大量的数据收集后，发现这些参数的变化与离心率的变化之间存在着一定的联系。

表1：相关参数随着离心率变化表
相关参数a0a1b1a2b2w e=0.2264.9240.763.9-6.814-24.130.03174e=0.3180.3157.138.62-4.761-14.660.03082e=0.4139.5114.123.51-4.009-9.1060.02936e=0.46124.696.1817.06-3.629-6.7070.02833e=0.48120.691.0115.15-3.508-5.9940.02797e=0.511786.1213.44-3.367-5.3480.0276e=0.52113.981.4811.87-3.218-4.7510.02724e=0.5411177.0510.42-3.062-4.1960.02687e=0.6104.364.83 6.795-2.548-2.7830.02578e=0.797.6446.8 2.78-1.614-1.170.02404e=0.895.2830.480.07787-0.7663-0.33640.02246e=0.9
96.25
15.05
0.08842
-0.1937
-0.03905
0.02111
注：上表中e=b/a，其中a=100。

利用Matlab 绘制a0关于e 的曲线图，通过不断的拟合实验，发现a0关于e 变化规律满足表达式
)
/()(14322310q e p e p e p e p a ++⨯+⨯+⨯=最佳拟合效果图如下所示：
图1：a0关于e 的曲线、拟合图
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
100
120140160180200220240260
a0 vs. e fit 2
从拟合的结果来看，比较理想，其中相应的参数结果如下：p1=141.7p2=-179.2p3=109.8p4=25.61q1=-0.04321得出了a0与e 之间的表达式为：
)
04321.0-/()61.258.1092.179-7.141(230e e e e a +⨯+⨯⨯=利用Matlab 绘制a1与e 之间的图像，拟合取最佳效果得出关系式为：
)
/()(14322311q e p e p e p e p a ++×+×+×=图2：a1关于e 的曲线、拟合图
0.2
0.30.40.50.60.70.80.9
50
100
150
200
250
a1 vs. e fit 3
其中相关参数的结果为：
p1=-49.79p2=-9.115p3=16.88p4=41.77q1=-0.01561
最终a1关于离心率e 的表达式为：
)
01561.0-/()77.4188.16115.9-79.49-(231e e e e a +⨯+⨯⨯=利用Matlab 绘制b1与e 之间的图像，拟合取最佳效果得出关系式为：
)
/()(14322311q e p e p e p e p b ++×+×+×=图3：b1关于e 的曲线、拟合图
0.2
0.30.40.50.60.70.80.9
010
20
30
40
50
60
b1 vs. e
fit 4
其中相关参数的计算结果为：
p1=49.19p2=-58.11p3=-12.03p4=22.19q1=0.07946
最终b1关于离心率e 的关系表达式为：
)
07946.0/()19.2203.12-11.58-19.49(231++⨯⨯⨯=e e e e b 利用Matlab 绘制a2与离心率e 之间的图像，拟合取最佳效果得出关系式为：
)
/()(1542332412q e p e p e p e p e p a ++×+×+×+×=
图4：a2关于e 的曲线、拟合图
0.2
0.30.40.50.60.70.80.9
-7-6
-5
-4
-3
-2
-1
a2 vs. e fit 5
相关参数的计算结果为：
p1=-53.045p2=-119.6p3=-86.93p4=24.53p5=-3.984q1=0.04715
最终a2关于离心率e 的关系表达式为：
)04715.0/()984.3-53.2493.86-6.11945.53-(2342+×+××+×=e e e e e a 利用Matlab 绘制b2与e 之间的图像，拟合取最佳效果得出关系式为：
)
/()(14322312q e p e p e p e p b ++×+×+×=图5：b2关于e 的曲线、拟合图
0.2
0.30.40.50.60.70.80.9
-25-20
-15
-10
-5
b2 vs. e
fit 6
其中相关参数的计算结果为：
p1=-25.13p2=38.91p3=-9.913p4=-4.338q1=0.005789
最终b2关于离心率e 的关系表达式为：
)005789.0/()338.4-913.9-91.3813.25-(232+⨯⨯+⨯=e e e e b 利用Matlab 绘制w 与e 之间的图像，拟合取最佳效果得出关系式为：
)
/()(1432231q e p e p e p e p w ++×+×+×=图6：w 关于e 的曲线、拟合图
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.90.0210.0220.0230.0240.0250.0260.0270.0280.0290.030.031
w vs. e fit 7
其中相关参数的计算结果为：
p1=0.02689p2=-0.06212p3=0.04939p4=0.01824q1=0.6147
最终w 关于离心率e 的关系表达式为：
)
6147.0/()01824.004939.006212.0-02689.0(23++×+××=e e e e w 同时研究发现，在离心率相同的情况下，不同的轴长，以下关系式的参数也会相应的改变。

)
2sin()2cos()sin()cos(22110C w b C w a C w b C w a a R ××+××+×+×+=这种变化与轴长的变化基本呈现着线性的变化关系，相关统计的数据详见表2。

表2：表达式参数随轴长变化数据统计表
相关参数a0a1b1a2b2w a=513.2512.06 3.108-0.3708-1.1840.6328a=2023.4317.21 2.709-0.6751-1.0880.1382a=4046.8534.42 5.425-1.346-2.180.06914a=8093.7168.8510.84-2.701-4.3520.03456a=10011786.1213.44-3.367-5.3480.0276a=140164120.518.96-4.726-7.6150.01975a=200
234.3
172.1
27.29
-6.699
-10.94
0.01364
从统计结果来看，a0、a1、b1、a2、b2与轴长a 保持着正比例的关系，而w 则与轴长a 是反比例关系。

综上所得，不同类离心率下，椭圆的曲率半径随弧长的变化关系式为：
)
2sin()2cos()sin()cos(22110C w b C w a C w b C w a a R ××+××+×+×+=其中：
)
04321.0-/()61.258.1092.179-7.141(100
230e e e e a
a +×+×××=)
01561.0-/()77.4188.16115.9-79.49-(100
231e e e e a a +×+×××=)07946.0/()19.2203.12-11.58-19.49(100
231++××××=
e e e e a
b )
04715.0/()984.3-53.2493.86-6.11945.53-(100
2342+×+××+××=e e e e e a a )
005789.0/()338.4-913.9-91.3813.25-(100
232+××+××=e e e e a b )
6147.0/()01824.004939.006212.0-02689.0(10023++×+×××=e e e e a
w
根据以上公式，下面通过几组实例来检验公式计算结果的准确性，
a=40b=30的椭圆
弧长为9.0545处，实际的曲率半径为：R1=51.5713，公式计算得：R=51.0566，
R1-R=0.5147
弧长为25.1449处，实际的曲率半径为：R1=41.2433，公式计算得：R=40.5900，R1-R=0.6533
弧长为42.3616处，实际的曲率半径为：R1=27.6675，公式计算得：R=26.4581，R1-R=1.2093
a=60b=20的椭圆
弧长为12.0091处，实际的曲率半径为：R1=170.4858，公式计算得：R=170.6359，R1-R=-0.1501
弧长为33.2264处，实际的曲率半径为：R1=112.5206，公式计算得：R=112.8231，R1-R=-0.2985
弧长为52.3115处，实际的曲率半径为：R1=38.5206，公式计算得：R=38.3666，
R1-R=0.1539
a=90b=40的椭圆
弧长为21.0389处，实际的曲率半径为：R1=189.3752，公式计算得：R=189.5868，R1-R=-0.2116
弧长为51.6664处，实际的曲率半径为：R1=129.5121，公式计算得：R=129.8844，R1-R=-0.3724
弧长为90.0081处，实际的曲率半径为：R1=33.4340，公式计算得：R=33.8184，R1-R=-0.3844
a=100b=75的椭圆
弧长为27.1918处，实际的曲率半径为：R1=127.0057，公式计算得：R=125.7193，R1-R=1.2864
弧长为87.5934处，实际的曲率半径为：R1=81.4587，公式计算得：R=80.0590，R1-R=1.3997
弧长为116.6456处，实际的曲率半径为：R1=61.4727，公式计算得：R=60.0929，R1-R=1.3798。