【数字信号处理】Z变换

Z变换
Z变换
离散序列 x(n) 的频谱计算公式为
1
x(n)
2
X(f
1
)ei2nf df
2
X
(
f
)
x(n)ei2nf
n
(n 0,1,2, ) ( f [ 1 , 1 ])
2 2
记 Z ei2f
则有 X (Z ) x(n)Z n n
一般写成
X (Z ) x(n)Z百度文库n n
Z变换
y(n) h(k)x(n k) k
中的 x(n) 和 y(n) ，反过来求 h(n) 。
可以有两种方法：
1、
H(f ) Y(f ) X( f )
，然后又 H ( f ) 计算
h(n)
。
2、利用计算公式中的一一对应关系。
Z变换
已知表达式
y(n) 3x(n 3) 2x(n 2) x(n 1) x(n) x(n 1) 2x(n 2) 3x(n 3)
x(n) 1 (n)
n
n
Z
mn
x(m)
1
m
m
Z
X
(1 Z
)
Z变换 ：共轭性质
若 x(n) X (Z)
则有
证明：
x(n) X (Z)
x(n)Z n x(n)Z n X (Z )
n
n
Z变换 ：褶积性质
若 则有
x(n)
y(n)
X (Z ) Y (Z )
x(n) y(n) X (Z)Y (Z)
X (Z ) x(n)Z n n
(Z ) (n)Z n 1 n
Z变换 ：时移性质
若
x(n) X (Z)
则有
x((n m)) Z m X (Z )
证明：
x((n m))Z n x((n m))Z (nm)m
n
n
knm
x(k)Z km
k
Z m X (Z)
求系统的时间响应h(n)与频率响应H(Z)。
y(n) h(k)x(n k) k h(3)x(n 3) h(2)x(n 2) h(1)x(n 1)
h(0)x(n)
h(1)x(n 1) h(2)x(n 2) h(3)x(n 3)
3
2
1
h(k
)
1 1
2 3
0
k 3 k 2 k 1 k 0 k 1 k 2 k 3 其它
证明：
x(n) * y(n)Z n
x(k) y((n k )) Z n
n
n
k
x(k) y((n k ))Z n
k
n
x(k)Z kY (Z )
k
x(k)Z k
Y (Z )
k
X (Z )Y (Z )
Z变换
可以用来求滤波系统中所对应的时间响应，即已知系统
Z变换
已知表达式
y(n) 3x(n 3) 2x(n 2) x(n 1) x(n) x(n 1) 2x(n 2) 3x(n 3)
求系统的时间响应h(n)与频率响应H(Z)。
Y (Z ) 3Z 3 X (Z ) 2Z 2 X (Z ) Z 1X (Z ) X (Z) ZX (Z ) 2Z 2 X (Z ) 3Z 3 X (Z )
Z变换 ：频移性质
若 x(n) X (Z)
则有
证明：
ei2nf0 x(n) X (ei2f0 Z )
ei2nf0 x(n) Z n x(n) ei2f0 Z
n
n
n
X (ei2f0 Z )
Z变换 ：翻转性质
若 x(n) X (Z)
则有
x(n)
X
(
1 Z
)
证明：
x(n)Z n