交错级数敛散性判别法

00
:例7判断级数勺敛散性，若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛?
解lim un+l
n—8 un
=lim
MT8
xn+1 n n+1 xn
=|x|
|X| < 1时，级数〉绝对收敛;
ixi > 1时，级数2 :发散；
V^00 vn X =1时，级数〉，发散；
V^00 vn
=T时，级数）土条件收敛.
X
^n=l n
定理若交错级数2：二(一1)”—侦如，un > 0, (n = L 2,…)满足
(1)"孔 2 Un+dO = 1, 2,…)；
(2) limun = 0.
71—00
贝U级数U攵敛， 旦其禾口s三 , 其余项I—兀| < 以兀+■•
证明取交错交错级数前2m项之和
Szm = “1 — “2 + “3 — “4 +----!" u2m-l _ u2m —("1 一 “2)+(“3 一 “4)----!■ (u2m-l 一 u2m)
(2)当I > 1 (或I = oo)时，级数竺u兀发散;
(3)当I =丄时，级数、言旨“兀的敛散性不能判别.
♦ 例5判断级数2：］苧*］敛散性.
P > 1时，级数5 绝对收敛； »n=l n
00 ( 一 1
0<p< 1时，级数〉 条件收敛; 厶」71 = 1 n
P < 0时，级数发散
（_1）"一12
moo lUTOO
综上所述，UmSn = S,级数收敛，且S V ”1. n—>oo
余项|R兀 I = Un + 1 — (Un+2 — U兀+3)—…< Un+r.
♦ 例1判别级数2： '-Di :的敛散性.
♦解
Un = n > 51
limun
“T8
Um -=0, n^oo n
(—1)1，攵敛.
例2判别级数2°° (1 + 9”的敛散性.
解
燃（-1尸（1 +：）” A 0
级数2： 1(T)" (1 + 9”发n 散
任意项级数的绝对收敛和条件收敛
任意项级数
un, un为任意实数.
பைடு நூலகம்
正项级数、交错级数是任意项级数的特殊情况.
定理1若级娄攵£岸丄|口兀I收:佥攵，则兀也一定收佥攵.
证明设些
包亍也，0 < < |un|
Zoo
丄发散
n=l«
所以级数〉[[(-ITT剽发散
_ V"*00 Znn _ 乙 n=l n
而交错级数2： '-ITT平收敛(由莱布尼茨判别法)
所以级数2" (—1)1平条件收敛.
定理2若任意项级数旨“冗满足
lim\
I = 1或£奧勺|”“| = l,则有
n— un
>oo ⑴当I < 1时，级数£壬之以丸绝对收敛;
由条件(1) un > wn+i知$2以单倜递增目■有
^2m — ul~(就2 — M3) -----(^2m-2 — u2m-l)— u2m 三 U1
由极限存在准则知limS2m = S,且S < u± m—8
+ l = Szm + w2m + l 由条件(2) limun = 0有：limS2m+1 = lim (S2m + u2m+i) = S
§10.1无穷级数的概念 §10.2无穷级数的基=本性质 §10.3数项级数的敛散性判别法 §10.4数项级数与幂级数 §10.5函数的幂级数展开
交错级数敛散性判别法
交错级数
交错级数的概念 交错级数：1）"—侦”，叫1 ＞。,（九=L 2,…） 即正负项相间的数项级数为交错级数.
2>交错级数敛散性的莱布尼茨判别法
；♦ 例3判断2： j響的敛散性，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛?
♦解
取绝对值后对应的正项级数为｝
00
sin
显然，m< %
n=l
n n2
而级数2：制敛.
根据比较判别法，»|翌|
收敛,
因此原级数X）1 8 皿 __湛__绝对收敛.
例4判断级数乎的敛散性，若收敛，是绝对收敛还是
条件收敛？
解
取绝对值后对应的正项级数为＞8 平
I
"兀I收佥攵，由比车交判别法，贝HER. u兀也收佥攵.
又5 = 2 27兀
所以ZMd 口兀也收敛.
❷绝对收敛和条件收敛
(1)若£泛丄Ifl收敛,
则称£旗丄血兀为绝对收敛；
(2)若£之工5收敛，但疝旨1心|发散,
£8 (—1)就T柵对收敛;
¥°°(-i)m 条件收敛. 厶」
n=l
"
则称2片=d 为条件收敛.