Chapter 4. 格林函数法

33
China University of Petroleum
34
Step 3. 确定函数值.
China University of Petroleum
35
China University of Petroleum
36
China University of Petroleum
37
M1
P
R
M0
4
China University of Petroleum
5
China University of Petroleum
6
China University of Petroleum
7
China University of Petroleum
8
China University of Petroleum
O
China University of Petroleum
38
因此，球域上的格林函数为
China University of Petroleum
39
从而，球面上
Step 3. 确定函数值.
China University of Petroleum
40
China University of Petroleum
20
为此，在第二Green公式
Hale Waihona Puke Baidu
与调和函数的积分表达式相加
China University of Petroleum
21
其中
称为Laplace方程第一边值问题的格林函数/影响函数
China University of Petroleum
22
China University of Petroleum
16
在上一节的基础上，我们直接给出平面域上的一些结论。
China University of Petroleum
17
第一格林公式
第二格林公式
China University of Petroleum
18
4. Green公式的应用
China University of Petroleum
19
China University of Petroleum
格林函数代表一个点源在一定的边界条件和初始条件下所产 生的场，知道了点源的场就可以用迭加的方法计算出任意源 所产生的场。 格林函数方法提供了物理问题的积分形式的解。
China University of Petroleum 2
主要内容
1. 拉普拉斯方程边值问题的提法 2. 格林公式与格林函数 3. 特殊区域上的格林函数及狄氏问题的解
China University of Petroleum
12
China University of Petroleum
13
China University of Petroleum
14
China University of Petroleum
15
China University of Petroleum
23
China University of Petroleum
24
II. 对于某些特殊区域，如球域、半球域、半空间、圆域、半平面 等，可用初等方法求得。后面会加以分析。
China University of Petroleum
25
6. Green函数的性质
China University of Petroleum
China University of Petroleum
3
Laplace方程描述稳恒状态下的物理现象，没有初始条件。
故这里讨论边值问题的几种提法。
1. 定义 .（调和函数） 称拉普拉斯方程的连续解，即具有二阶连续偏导且满足拉普
拉斯方程的连续函数，称为调和函数。
China University of Petroleum
9
为了建立三维拉普拉斯方程解的积分表达式，需要用到格林公
式。而格林公式实际上是高斯公式的直接推论。
China University of Petroleum
10
第一格林公式
第二格林公式
China University of Petroleum
11
4. Green公式的应用
利用格林公式可以推出调和函数的一些基本性质。
30
China University of Petroleum
31
China University of Petroleum
32
z
M 0 ( x0 , y0 , z0 )
M ( x, y, z )
o
y
x
M1 ( x0 , y0 , z0 )
China University of Petroleum
26

M
M 0
China University of Petroleum
27
China University of Petroleum
28
什么是电象法？
M
M0
China University of Petroleum
29
q M1
China University of Petroleum
41
China University of Petroleum
42
数学物理方法
Mathematical Physics Equations
计算与应用数学系
China University of Petroleum
1
第四章 格林函数法
格林函数，又称点源影响函数，由英国数学物理学家George Green于1828年提出，是求解数学物理问题的一个有力的数
学工具。