指数与指数函数

说明：形如 y＝kax，y＝ax＋k(k∈R 且 k≠0，a>0 且 a≠1)的函数叫做指数型函数．
2．指数函数的图象和性质
底数
a>1
0<a<1
图象
[必会结论]
1．(n a)n＝a(n∈N*)．
n 2.
a，n为奇数， an＝|a|＝a－，aa，≥a0＜，0，
n 为偶数．
3．底数 a 的大小决定了图象相对位置的高低；不论是 a＞1，还是 0＜a＜1，在第一象限内底数越大，
(2)若曲线|y|＝2x＋1 与直线 y＝b 没有公共点，则 b 的取值范围是__[_－__1_,1_]_．
[解析] 曲线|y|＝2x＋1 与直线 y＝b 的图象如图所示，由图象可得：如果|y|＝2x＋1 与直线 y＝b 没有公 共点，则 b 应满足的条件是 b∈[－1,1]．
延伸探究 1 若将本例(2)中“|y|＝2x＋1”改为“y＝|2x－1|”，且与直线 y＝b 有两个公共点，求 b 的取值范围．
第5讲 指数与指数函数
1.了解指数函数模型的实际背景． 2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算． 3．理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数 为 2,3,10，12，13的指数函数的图象． 4．体会指数函数是一类重要的函数模型.
板块一 知识梳理·自主学习
指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． (5)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一.
5．函数 y＝2x－1 是指数函数．( × )
6．函数 y＝411－x 的值域是(0，＋∞)．( √ )
二、小题快练
1．[2014·陕西高考]下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)f(y)”的单调递增函数是( )
A．f(x)＝x3
B．f(x)＝3x
1
C．f(x)＝x 2
D．f(x)＝21x
解析 根据函数满足“f(x＋y)＝f(x)f(y)”可以推出该函数为指数函数，又函数为单调递增函数，所以底
函数图象越高．
[双基夯实] 一、疑难辨析 判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
1．(4 －4)4＝－4.( × )
2
1
2．(－1) 4 ＝(－1) 2 ＝ －1.( × )
3．函数 y＝a－x 是 R 上的增函数．( × )
4．函数 y＝ax2＋1(a＞1)的值域是(0，＋∞)．( × )
n a
n ±
a(a＞0)
备注 n>1且n∈N* 零的n次方根是零
负数没有偶次方根
2.分数指数幂 m
(1)a n ＝___n__a_m___ (a＞0，m、n∈N*，n＞1)；
1
1
－ (2)a
m n
＝__a_m_n__＝__n_a_m__ (a＞0，m、n∈N*，n＞1)．
(3)0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义．
3．有理数指数幂的运算性质
(1)ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
考点 2 指数函数及其性质
1．指数函数的概念 函数__y＝__a_x_(_a_>_0_且___a_≠__1_)__叫做指数函数，其中指数 x 是自变量，函数的定义域是 R，a 是底数．
【变式训练 1】 计算：
解
＝22×10－1×26×23－3 ＝28×110×323＝8625.
考向 例 2 (1)函数 f(x)＝1－e|x|的图象大致是(
指数函数的图象及应用 )
[解析] 将函数解析式与图象对比分析，因为函数 f(x)＝1－e|x|是偶函数，且过点(0,0)，只有 A 满足上 述两个性质．故选 A.
[必备知识]
考点1 指数及指数运算
1．根式的概念
根式的概念
符号表示
如果___x_n＝__a___，那么x叫做a的n次方根
—
当n为奇数时，正数的n次方根是一个 __正__数_____，负数的n次方根是一个_负__数______ 当n为偶数时，正数的n次方根有__两__个_____，它 们互为_相__反__数____
数大于 1，从而确定函数为 f(x)＝3x.
2．[2016·承德模拟]函数 f(x)＝ 1－2x＋ x1＋3的定义域为(
)
ห้องสมุดไป่ตู้
A．(－3,0]
B．(－3,1]
C．(－∞，－3)∪(－3,0]
D．(－∞，－3)∪(－3,1]
1－2x≥0，
x≤0，
解析 由题意，自变量 x 应满足x＋3＞0， 解得x＞－3，
所以－3＜x≤0.
3．[课本改编]函数 y＝ax－a(a>0，且 a≠1)的图象可能是( ) 解析 当 x＝1 时，y＝0，故函数 y＝ax－a(a>0，且 a≠1)的图象必过点(1,0)，显然只有 C 符合．
4．[2016·宁波模拟]设 y1＝40.7，y2＝80.45，y3＝21－1.5，则(
)
A．y3＞y1＞y2
B．y2＞y1＞y3
C．y1＞y2＞y3
D．y1＞y3＞y2
解析 因为 y1＝40.7＝21.4，y2＝80.45＝21.35，y3＝21－1.5＝21.5，
又函数 y＝2x 在 R 上为增函数，且 1.35＜1.4＜1.5，
所以 21.35＜21.4＜21.5，即 y2＜y1＜y3.故选 A.
5．[课本改编]计算：32－
1 3
1 ×－760＋84
×4
2－
－23
2
2
3 ＝________.
1
31
1
解析 原式＝233 ×1＋24 ×24 －323 ＝2.
板块二 典例探究·考向突破
例 1 求值与化简：
考向
指数幂的化简与求值
1
1
[解] (1)原式＝1＋14×94 2 －1010 2
＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1156.
解 曲线 y＝|2x－1|与直线 y＝b 的图象如图所示，由图象可得，如果曲线 y＝|2x－1|与直线 y＝b 有两个 公共点，则 b 的取值范围是(0,1)．
延伸探究 2 若将本例(2)改为：函数 y＝|2x－1|在(－∞，k]上单调递减，则 k 的取值范围是什么？