平面弯曲梁的强度和刚度计算

第八章平面弯曲梁的强度与刚度计算§8-1 纯弯曲时横截面的正应力

一．纯弯曲试验：

纯弯曲：内力只有弯矩，而无剪力的弯曲变形。

剪切弯曲：既有弯矩，又有剪力的弯曲变形。

为了研究梁横截面上的正应力分布规律，取一矩形截面等直梁，在表面画些平行于梁轴线的纵线和垂直干梁轴线的横线。在梁的两端施加一对位于梁纵向对称面内的力偶，梁则发生弯曲。梁发生弯曲变形后，我们可以观察到以下现象：

①横向线仍是直线且仍与梁的轴线正交，只是相互倾斜了一个角度；

②纵向线（包括轴线）都变成了弧线；

③梁横截面的宽度发生了微小变形，在压缩区变宽了些，在拉伸区则变窄了些。

根据上述现象，可对梁的变形提出如下假设：

①平面假设：梁弯曲变形时，其横截面仍保持平面，且绕某轴转过了一个微小的角度。

②单向受力假设：设梁由无数纵向纤维组成，则这些纤维处于单向受拉或单向受压状态。

可以看出，梁下部的纵向纤维受拉伸长，上部的纵向纤维受压缩短，其间必有一层纤维既不伸长也木缩短，这层纤维称为中性层。中性层和横截面的交线称为中性轴，即图中的Z轴。梁的横截面绕Z轴转动一个微小角度。

二．梁横截面上的正应力分布：

图中梁的两个横截面之间距离为dx，变形后中性层纤维长度仍为dx且dx=ρdθ。距中性层为y的某一纵向纤维的线

应变ε为：

对于一个确定的截面来说，其曲率半径ρ是个常数，因此上式说明同

一截面处任一点纵向纤维的线应变与该点到中性层的距离成正比。由单向受力假设，当正应力不超过材料的比例极限时，将虎克定律代入上式，得：

由上式可知，横截面上任一点的弯曲正应力与该点到中性轴的距离成正比，即正应力沿截面高度呈线性变化，在中性轴处，y=0，所以正应力也为零。

三．梁的正应力计算：

在梁的横截面上任取一微面积dA，作用在这微面积上的微内力为σdA，在整个横截面上有许多这样的微内力。微面积上的微内力σdA 对z轴之矩的总和，组成了截面上的弯矩

则

式中仅与是截面图形的几何性质，称为横截面对中性轴的惯性矩，截面形状和尺寸有关。应上式是梁纯弯曲时横截面上任一点的正应力计算公式。

至于所求点的正应力是拉应力y均可用绝对值代入，用时M及即由纤维的伸缩来确定，还是压应力，可根据梁的变形情况，靠凹的一侧受梁变形后靠凸的一侧受拉应力，以中性轴为界，中性轴也可根据弯矩的正负来判断，当弯矩为正时，压应力。则相反。弯矩为负时，以下部分受拉应力，以上部分受压应力，

横截面上最大正应力发生在距中性轴最远的各点处。即

令

则

，也是衡量截面抗弯强度的一个几何量，称为抗弯截面模量W Z其值与横截面的形状和尺寸有关。对弯曲正应力计算公式是梁在纯弯曲的

情况下导出来的。

这样的弯横截面上除弯矩外还有剪力存在，于一般的梁来说，平截面横截面将发生翘曲，曲称为剪切弯曲。在剪切弯曲时，与截面高度l 但较精确的分析证明，对于跨度假设不再成立。在工程的梁，计算其正应力所得结果误差很小。h之比 l/h>5，因此，计算式可足够精确地上常用的梁，其跨高比远大于5 推广应用于剪切弯曲的情况。

平行移轴公式常用截面二次矩§8-2

一、常用截面二次矩： 1、矩形截面：

2、圆形截面与圆环形截面：

4 /64＝ΠdI①圆形截面：Z3 /32Πd W＝Z

44）/64Π（D－dI＝②圆环形截面：Z43 }/32＝Πd{1-(d/D) W Z3、型钢的截面：查表，见附录。

二．组合截面二次矩平行移轴公式：

计算弯曲正应力时需要截面对中性轴的惯性矩，截面的中性轴又是截

面的形心主轴。在截面上任一点K，取邻域dA，K22dAz为微元对dA、

y轴的距离分别为y、z，定义y点到z轴、z轴、y轴的惯性矩，分

别记作：

22dA dA dI=zdI=y yz上式对整个截面积分，得截面对z轴、y

轴的惯性矩：

2?dAyI?Z A2?dAzI?yA

轴通过截面z轴、yA图所示的截面形心为C，面积为，cc轴平行，yz

轴、y轴分别与轴、z形心C，现有不通过形心的cc轴、轴以及对y轴、、

两轴之间的距离分别为ab，截面对zz c轴的惯性矩有以下关系：y c

2AI=I+a ZcZ．

2A+bI=I YcY

的惯即截面对任一轴z上式称为惯性矩的平行移轴公式，轴的惯性矩加上轴的z性矩等于该截面对过形心而平行于z c两轴之间的距离的平方与截面面积的乘积。P146例题8.1见教材弯曲正应力强度计算§8-3

为保证梁安全地工作，危险点处的正应力必须小于梁的弯，这是梁的正应力强度条件。对于塑性材料，]曲许用应力[σ其宜选用中性轴为截面对称轴的梁，其抗拉和抗压强度相同，M正应力强度条件为：??max????max W Z

宜选用中性轴不对于脆性材料，其抗拉和抗压强度不同，是截面对称

轴梁，并分别对抗拉和抗压应力建立强度条件： ???????max

???????max

对于中性轴不是截面的对称梁，其最大拉应力值与最大压最大拉应力和最大压T形截面梁，应力值不相等。如图所示的应力分别为：yM?yM???1max2max????,maxmax II ZZ

强度条件可解决三类强度计算问题：

①强度校核：验算梁的强度是否满足强度条件，判断梁在工作时是否安全。

②截面设计：根据梁的最大载荷和材料的许用应力，确定梁截面的

尺寸和形状，或选用合适的标准型钢。

③确定许用载荷：根据梁截面的形状和尺寸及许用应力，确定梁可承受的最大弯矩，再由弯矩和载荷的关系确定梁的许用载荷。

注：对于非对称截面，需按公式

分别计算三类问题。

【例】图示T形截面铸铁外伸梁，其许用拉应力[σ]＝30MPa，许用压应力[σ]＝60MPa，截面尺寸如图。截面对形心轴z的惯性矩Iz＝763mm4，且y1=52cm。试校核梁的强度。