线代习题答案第一章

1
（5）
logba
logba 3
= 3 − logba logba
=2
0 xy (6) −x 0 z = 0 + xyz − xyz − 0 − 0 − 0 = 0
−y −z 0
1
31x 4. 当 x 取何值时 4 x 0 ≠ 0 ？
10x
31x
31x
解 因为 4 x 0 = 2x2 − 4x = 2x(x − 2) 所以当 x ≠ 0 且 x ≠ 2 时，恒有 4 x 0 ≠ 0
bf cf −ef 公因式
b c −e 公因式
1 1 −1
r1 + r2 → r2
−1 1 1 按第一列展开
02
abcdef 0 0 2
−abcdef
= 4abcdef
r1 + r3 → r3
0 20
20
0aba
2a + b 2a + b 2a + b 2a+ b
a
(6）
0
a
b r4 + r3 + r2 + r1 → r1
a4 b4 c 4 d 4 − c1 + c4 → c4
10
0
0
a b−a c−a d −a
a2 b2 − a2 c2 − a2 d 2 − a2
a4 b4 − a4 c4 − a4 d 4 − a4
按第一列展开 b − a b2 − a2
b2 (b2 − a2 )
c −a c2 − a2 c2 (c2 − a2 )
8. 用行列式性质计算下列行列式.
2
111 (1) 3 1 4
895
1234
2341
（2）
3412
4123
⎢ 4 1 2 4⎥
（3）
⎢ ⎢
1
2 0 2⎥⎥
⎢10 5 2 0⎥
⎢ ⎣
0
1
1
7
⎥ ⎦
⎢2 1 4 1⎥
（4） ⎢⎢3
−1
2
1
⎥ ⎥
⎢1 2 3 2⎥
⎢⎣5 0 6 2⎥⎦
−ab ac ae （5） bd −cd de
1
2
c1 + c2 + c3 + c4 → c1 10
4
1
= 10 21
4
1
2
4123
10 1 2 3 1 1 2 3
−r1 + r2 → r2
12 01
34 1 −3 按第一列展开
1 1 −3
−r1 + r3 → r3 10 0 2 −2 −2
20 1 −1 −1
−r1 + r4 → r4 0 −1 −1 −1
−y −z 0
－3 4
解（1）
= (−3)× 2 − (−1) × 4 = −2
－1 2
a-1
（2）
a2
a2
1 + a+1
=
(a
−1) (a2
+
a
+1)
− a2
=
a3
− a2
−1
cos x
（3）
− sin x = cos2 x + sin2 x = 1
sin x cos x
（4） a2 a3 = a3b2 − a3b2 = 0 b2 ab2
a4 b4 c4 d 4
证明 （1）左式 = a1b2c3 + b1c2a3 + c1a2b3 − a3b2c1 − a2b1c3 − a1b3c2
= a1(b3c3 − b3c2 ) − b1(a2c3 − a3c2 ) + c1(a2b3 − a3b2 )
=
a1
b2 b3
c2 c3
Hale Waihona Puke Baidu
− b1
a2 a3
=
a1
b2 b3
c2 c3
− b1
a2 a3
c2 c3
+ c1
a2 a3
b2 b3
4
a11 a12 0 0
(2) a21 a22 0
0 = a11 a12 b11 b12
c11 c12 b11 b12 a 21 a 22 b 21 b 22
c21 c22 b21 b22
ax + by ay + bz az + bx
a22 a32
a23 a33
a 24 a34
，写出同时含 a21和 a21 的那些项，并确定它们的正负号.
a41 a42 a43 a44
解 a12a21a34a43 a12a21a33a44 符号分别为正，负.
7. 用行列式定义计算下列行列式.
a11 a12 a13 a14 a15 a21 a22 a23 a24 a25 (1) a31 a32 0 0 0 a41 a42 0 0 0 a51 a52 0 0 0
−1 −1 −1
r3 + r1 → r1
0 0 −4 按第一列展开
0 −4
20 0 −2 −2
−20
= 160
r3 + r2 → r2 −1 −1 −1
−2 −2
4 124
4 −1 2 −10
1
(3)
202
−c3 + c2 → c2
1
20
2
10 5 2 0 − 7c3 + c4 → c4 10 3 2 −14
0 + (−1)4 5
0 = 1 −11− 6 − 10 = −26
21
21
2 −2
2 −2
30 40
22 22
11. 设行列式 D =
,求第四行各元素余子式之和的值是多少?
0 −7 0 0
5 3 −2 2
解 第四行各元素余子式之和的值为
M 41 + M 42 + M 43 + M 44
6
0 40 340 3 0 0 3 0 4 = 2 2 2+2 2 2+2 2 2+2 2 2
列，则必有一个取自 3, 4, 5 列中之一的零元素，故该行列式的值为零，即原式 = 0
（2）行列式中只有一项 (−1)τ (3241) a13a22a34a41 = 16 不为零，所以原式 = 16 （3）行列式的展开项中只有 (−1)τ (2,3,4⋯n) a12a23a34 ⋯an−1,nan1 = (−1)n−1n! 一项不为 零，所以原式 = (−1)n−1n!
b11 b21
b12 b22
− a12a21
b11 b21
b12 = a11 b22 a21
a12 b11 a22 b21
b12 b22
ax + by ay + bz az + bx (3) ay + bz az + bx ax + by
az + bx ax + by ay + bz
按第一行分开 x ay + bz az + bx
(4)
1 2 32
1 2 30
1 2 30
5 0 62
5 0 62
2 1 40
2 1 40 −r1 + r4 → r4 3 −1 2 2
=0 1 2 30 0 0 00
(5)
−ab ac ae 每列都提取 −b c e 每列都提取
−1 1 1
bd −cd de
adf b −c e
adfbce 1 −1 1
0 117
0 01 0
按第四行展开
4 −1 −10
(−1)4+3 1 2 2
10 3 −14
4 −1 10 c3 + c2 → c2 9 9 10
= 1 2 −2
0 0 −2 = 0
10
3
14
1 2
c3
+
c1
→
c1
17
17
14
3
2 1 41
2 1 40
2 1 40
3 −1 2 1 − c2 + c4 → c4 3 −1 2 2 − r2 + r4 → r4 3 −1 2 2
xyz
(3) ay + bz az + bx ax + by = (a3 + b3 ) y z x
az + bx ax + by ay + bz
zxy
1111
abcd
(4)
a2
b2
c2
d 2 = (a − b)(a − c)(a − d )(b − c)(b − d ) ⋅(c − d )(a + b + c + d )
z ax + by y
x y ay + bz
5
分别再分 x y z
yzx
xyz
xyz
a3 y z x + b3 z x y = a3 y z x + b3 y z x (−1)2 = 右边
zxy xyz zxy zxy
1 1 1 1 −c1 + c2 → c2
abcd
(4)
a2
b2
c2
d 2 −c1 + c3 → c3
一、习题 1 参考答案
1. 求下列排列的逆序数,并说明它们的奇偶性.
（1）41253；
（2）3712456； （3）57681234；
解（1）τ (41253) = 3+ 0+ 0+ 1= 4 偶排列
（4）796815432
（2）τ (3712456) = 2 + 5 + 0 + 0 + 0 + 0 = 7 奇排列
c−b
d −b
−c1 + c3 → c3
b2 (b + a) c2(c + a) − b2(b + a) d2( d + a) − b2( b + a)
按第一
1
1
列展开 (b − a)(c − a)(d − a)(c − b)(d − b) (c2 +bc +b2) +a(c +b) (d2 +bd +b2) +a(d +b)
y ay + bz az + bx
a y az + bx ax + by +b z az + bx ax + by
z ax + by ay + bz x ax + by ay + bz
分别再分 x ay + bz z
y z az + bx
a2 y az + bx x + 0 + 0 + b z x ax + by
10x
10x
5. 下列各项，哪些是五阶行列式 aij 中的一项；若是，确定该项的符号.
(1)a12a25a32a41a54; 解 (1) 不是
(2)a31a12a 43a 52a 24 ; (2) 不是
(3)a42a21a35a12a54 (3) 不是
a11 a12 a13 a14
6. 已知行列式 a21 a31
= (a − b)(a − c)(a − d )(b − c)(b − d ) (c − d )(a + b + c + d )
−3 0 4 10.设行列式 5 0 3 ,求含有元素 2 的代数余子式的和.
2 −2 1
解 含有元素 2 的代数余子式是 A12 + A22 + A23 + A13
= (−1)3 5 3 + (−1)4 −3 4 + (−1)5 −3
（3）τ (57681234) = 4+ 5+ 4+ 4+ 0+ 0+ 0+ 0 = 17 奇排列
（4）τ (796815432) = 6+ 7+ 5+ 5+ 0+ 3+ 2+ 1= 29 奇排列
2. 确定 i 和 j 的值,使得 9 级排列.
(1)1274i56 j9 成偶排列;
(2) 3972i15 j4成奇排列.
a
0
a
b
ba0a
b
a
0
a
aba0
a
b
a
0
1 1 1 1 −ar1 + r2 → r2
11 1 1
= (2a + b) a
b
0 a
a 0
b a
−br1 + r3
→ r3
(2a + b) 0
0
−a a−b
0 −b
b−a a−b
a b a 0 −ar1 + r4 → r4
0 b − a 0 −a
按第一列展开
c2 c3
+ c1
a2 a3
b2 b3
= 右式
（2）
a11 a21 c11 c21
a12 a22 c12 c22
0 0 b11 b21
0
0 按第一行展开 a22
b12 b22
a11 c12 c22
0 b11 b21
0
a21
b12 − a12 c11
b22
c21
0 b11 b21
0 b12 b22
=
a11a22
0020
0200
(2)
0002
2000
0 1 0⋯ 0
0 0 2⋯ 0
(3) ⋮ ⋮ ⋮
⋮
0 0 0 ⋯ n −1
n 0 0⋯ 0
解 （1）行列式的一般项为 (−1)τ ( j1 j2 j3 j4 j5 ) a1 aj1 2 j2a3 j3a4 j4 a5 j5 若 j3, j4, j5 中有两个取1, 2
d −a d 2 − a2 d 2 (d 2 − a2 )
每列都提取
1
1
1
(b − a)(c − a)(d − a) b + a
c+a
d+a
公因式
b2 (b + a) c2 (c + a) d 2 (d + a )
−c1 + c2 → c2
1
0
0
(b − a)(c − a)(d − a) b + a
解 (1) i = 8, j = 3 3.计算下列行列式.
(2) i = 8, j = 6
－3 4
（1）
－1 2
a-1 1
（2）
a2 a2 + a +1
cos x − sin x
（3）
sin x cos x
（5） a2 a3 b2 ab2
（6） 1 logba logba 3
0 xy （7） −x 0 z
−a
(2a + b) a − b
0 −b
b−a a −b
按第二列展开
(2a + b)(−b)
−a
b−a
b − a −a
b − a 0 −a
[ ] = (2a + b)(− b) a2 − (b − a)2 = b4 − 4a2b2
9. 证明下列等式.
a1 (1) a2
a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
−7 0 0 0 0 0 0 −7 0 0 −7 0
= −7 × 8 + 0 + 3 ×14 + (−7) × (−1) × (−2) = −28
bf cf −ef
0aba
a0ab
（6）
ba0a
aba0
解
1 (1) 3
1 1
1 −3r1 + r2 → r2 1
4
0
1 −2
1 −2
1=
1 =5
8 9 5 −3r1 + r3 → r3 0 1 −3 1 −3
1234
10 2 3 4 1 2 3 4
2341
10 3 4 1 1 3 4 1
(2)
3
4