泰勒公式的推导思路
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2 n
令 p n (x)=f(x0 )+ a1 (x - x0 )+a2 (x - x0 ) + +an (x - x0 ) （很多人会问： 你怎么就知道用 n 次方来组合呢？我感觉是首先我们推导这个过程是看 到其上面一次多项式出现 p1 (x0 )=f(x0 ) 和 p1 (x 0 )=f(x0 ) 也就是说组合的过程要考虑到函数 的导数，因为 n 次函数才能有 n+1 阶导数。其次指数 n 采用的是自然数的排列而不是奇数 或者是等比数列等等的方式呢？因为这样排列在求导数时的计算比较简单） 现在的 a1 ,a2 an 均不知道，怎么求呢？既然在一次项中 p1 (x 0 )=f(x0 ) ，那么当 x =x0 时 f (x0 )和p n (x 0 ) 也应该有这样类似的效果，于是得出如下过程
接下来如果能证明当 x x0 时 Rn (x)=
f (n+1) ( )(x-x 0 ) n+1 (n +1)!
Baidu Nhomakorabea
f (n+1) ( )(x-x 0 ) n+1 0 就能证明 (n +1)!
f(x)= pn (x) ，该步骤用的是柯西中值定理和罗比达法则，不在一一赘述
p1(x)= f(x0 )+ f(x0 )(x - x0 ) ，
当 x =x0 时， f(x) 与 p1(x) 有以下的关系：
p1 (x0 )=f(x0 ) ；
p1 (x 0 )=f (x0 )+ [f(x0 )(x - x0 )]=0+f(x0 ) 1=f(x0 )
即函数值和 1 阶导数均相等 现在我们使用 n 次多项式来构筑 f(x) 的表达式 设 f(x) f(x0 )+ a1 (x - x0 )+a2 (x - x0 ) + +an (x - x0 ) ，
现在多项式已经构造完成，但是 f (x) p n (x) 中间仍然为约等，也就是还不能完全相等， 那么他们之间的差值是多少呢？ f(x)= pn (x)+ Rn (x) ，其中 Rn (x) 即为他们之间的差值。
根据拉格朗日中值定理可知：
f (x)-f(x 0 )=f ( )(x-x 0 ); (x,x 0 ),于是有Rn (x)=
求得：
a1 =f (x0 ) 1 f (x0 ) 2 1 a3 = f (x0 ) 3 2 a2 = an =
则
1 (n) f (x0 ) n!
p n (x)=f(x0 )+ f (x0 )(x - x0 )+
1 1 1 f (x0 )(x - x0 )2 + f (x0 )(x - x0 )3 + f (n) (x0 )(x - x0 )n 2 3 2 n!
泰勒公式的推导思路
引：已知 e 0 = 1 ，求如 f ( x )= e 0.1 此类的函数值是比较困难的，那么是否有一种比较简 单的方法求解呢？泰勒公式正式为此而出现的。 在学习微分的时候我们曾经使用过，当 x比接近于x0 时 f(x) f(x0 )+ f(x0 )(x - x0 ) ， 这样用一次多项式来表达函数 f(x) 的值，在计算时就相对简单了。但是其精度就比较大， 那么如何构造一个多项式使其计算比较简单， 且精度又很高呢？设想如果将该式的右边变成 n 次多项式会不会使其精度得到明显的提高呢？这就是泰勒公式要解决的问题。 从 f(x) f(x0 )+ f(x0 )(x - x0 ) 该 式 出 发 ， 此 为 关 于 x 的 一 次 多 项 式 ， 设
2
n
p n (x 0 )=f (x0 ) p n (x)=(f(x0 )+ a1 (x - x0 )+a2 (x - x0 )2 +a3 (x - x0 )3 +an (x - x0 )n ) ……… =0 + a1 1+2a2 (x - x0 )+3a3 (x - x0 )3-1 +nan (x - x0 )n -1 ……… x =x0 ……… p n (x0 )=a1 =f (x0 ) p n (x)=(0 + a1 1+2a2 (x - x0 )+3a3 (x - x0 )3-1 +nan (x - x0 )n -1 ) =0 + 0+2a2 1+3 2a3 (x - x0 )+ +n （n-1)an (x - x0 )n -2 x =x0 p n (x0 )=2a2 =f (x0 ) p n (x)=(0 + 0+2a2 1+3 2a3 (x - x0 )+ +n （n-1)an (x - x0 )n -2 ) =0 + 0+0+3 2a3 + +n （n-1) （n-2)an (x - x0 )n -3 x =x0 p n (x0 )=3 2a3 =f (x0 ) p n (x0 )=n!an =f
即：
(n) (n)
(x0 )
p n (x 0 )=f (x0 ) p n (x0 )=a1 =f (x0 ) p n (x0 )=2a2 =f (x0 ) p n (x0 )=3 2a3 =f (x0 ) p n (n) (x0 )=n!an =f (n) (x0 )
令 p n (x)=f(x0 )+ a1 (x - x0 )+a2 (x - x0 ) + +an (x - x0 ) （很多人会问： 你怎么就知道用 n 次方来组合呢？我感觉是首先我们推导这个过程是看 到其上面一次多项式出现 p1 (x0 )=f(x0 ) 和 p1 (x 0 )=f(x0 ) 也就是说组合的过程要考虑到函数 的导数，因为 n 次函数才能有 n+1 阶导数。其次指数 n 采用的是自然数的排列而不是奇数 或者是等比数列等等的方式呢？因为这样排列在求导数时的计算比较简单） 现在的 a1 ,a2 an 均不知道，怎么求呢？既然在一次项中 p1 (x 0 )=f(x0 ) ，那么当 x =x0 时 f (x0 )和p n (x 0 ) 也应该有这样类似的效果，于是得出如下过程
接下来如果能证明当 x x0 时 Rn (x)=
f (n+1) ( )(x-x 0 ) n+1 (n +1)!
Baidu Nhomakorabea
f (n+1) ( )(x-x 0 ) n+1 0 就能证明 (n +1)!
f(x)= pn (x) ，该步骤用的是柯西中值定理和罗比达法则，不在一一赘述
p1(x)= f(x0 )+ f(x0 )(x - x0 ) ，
当 x =x0 时， f(x) 与 p1(x) 有以下的关系：
p1 (x0 )=f(x0 ) ；
p1 (x 0 )=f (x0 )+ [f(x0 )(x - x0 )]=0+f(x0 ) 1=f(x0 )
即函数值和 1 阶导数均相等 现在我们使用 n 次多项式来构筑 f(x) 的表达式 设 f(x) f(x0 )+ a1 (x - x0 )+a2 (x - x0 ) + +an (x - x0 ) ，
现在多项式已经构造完成，但是 f (x) p n (x) 中间仍然为约等，也就是还不能完全相等， 那么他们之间的差值是多少呢？ f(x)= pn (x)+ Rn (x) ，其中 Rn (x) 即为他们之间的差值。
根据拉格朗日中值定理可知：
f (x)-f(x 0 )=f ( )(x-x 0 ); (x,x 0 ),于是有Rn (x)=
求得：
a1 =f (x0 ) 1 f (x0 ) 2 1 a3 = f (x0 ) 3 2 a2 = an =
则
1 (n) f (x0 ) n!
p n (x)=f(x0 )+ f (x0 )(x - x0 )+
1 1 1 f (x0 )(x - x0 )2 + f (x0 )(x - x0 )3 + f (n) (x0 )(x - x0 )n 2 3 2 n!
泰勒公式的推导思路
引：已知 e 0 = 1 ，求如 f ( x )= e 0.1 此类的函数值是比较困难的，那么是否有一种比较简 单的方法求解呢？泰勒公式正式为此而出现的。 在学习微分的时候我们曾经使用过，当 x比接近于x0 时 f(x) f(x0 )+ f(x0 )(x - x0 ) ， 这样用一次多项式来表达函数 f(x) 的值，在计算时就相对简单了。但是其精度就比较大， 那么如何构造一个多项式使其计算比较简单， 且精度又很高呢？设想如果将该式的右边变成 n 次多项式会不会使其精度得到明显的提高呢？这就是泰勒公式要解决的问题。 从 f(x) f(x0 )+ f(x0 )(x - x0 ) 该 式 出 发 ， 此 为 关 于 x 的 一 次 多 项 式 ， 设
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n
p n (x 0 )=f (x0 ) p n (x)=(f(x0 )+ a1 (x - x0 )+a2 (x - x0 )2 +a3 (x - x0 )3 +an (x - x0 )n ) ……… =0 + a1 1+2a2 (x - x0 )+3a3 (x - x0 )3-1 +nan (x - x0 )n -1 ……… x =x0 ……… p n (x0 )=a1 =f (x0 ) p n (x)=(0 + a1 1+2a2 (x - x0 )+3a3 (x - x0 )3-1 +nan (x - x0 )n -1 ) =0 + 0+2a2 1+3 2a3 (x - x0 )+ +n （n-1)an (x - x0 )n -2 x =x0 p n (x0 )=2a2 =f (x0 ) p n (x)=(0 + 0+2a2 1+3 2a3 (x - x0 )+ +n （n-1)an (x - x0 )n -2 ) =0 + 0+0+3 2a3 + +n （n-1) （n-2)an (x - x0 )n -3 x =x0 p n (x0 )=3 2a3 =f (x0 ) p n (x0 )=n!an =f
即：
(n) (n)
(x0 )
p n (x 0 )=f (x0 ) p n (x0 )=a1 =f (x0 ) p n (x0 )=2a2 =f (x0 ) p n (x0 )=3 2a3 =f (x0 ) p n (n) (x0 )=n!an =f (n) (x0 )