第一章行列式(学生题目简单答案版)

第二部分 线性代数
第一章 行列式
题型1.1 行列式的计算
（88年，数学一）设4阶矩阵234234(,,,)(,,,)A B αγγγβγγγ==,,其中，
234,,,,αβγγγ均为4维列向量，且已知行列式41A B ==,,则行列式A B += ．
【答案】40.
（88年，数学三/数学四）
11101
101
10110
111
= ． 【答案】3-．
（89年，数学五）行列式
11111111
11111111
x x x x ---+-=--+-- ． 【答案】4
x ．
（90年，数学五）设A 为1010⨯矩阵 100
10000
0100000011000
00A ⎛⎫
⎪
⎪
⎪= ⎪
⎪ ⎪⎝
⎭
，
计算行列式A E λ-，其中E 为10阶单位矩阵，λ为常数．
【解析】10
10
10A E λλ-=-．
（91年，数学五）n 阶行列式
000000
0000000000a b a b a a b b a
=
．
【答案】1(1)n n n a b ++-．
（96年，数学一）四阶行列式
1122334
4
000
0000
a b a b b a b a 的值等于()． （A ）12341234a a a a b b b b -． （B ）12341234a a a a b b b b +．
（C ）12123434()()a a b b a a b b --． （D ）23231414()()a a b b a a b b --． 【答案】（D ）．
（96年，数学五）5阶行列式10001100
011000110
1
1a a
a
a D a a a a a
---=
=------ ． 【答案】2345
1a a a a a -+-+-．
（97年，数学四）设n 阶矩阵01111101111
10111110111110A ⎛⎫
⎪
⎪ ⎪
=
⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎪⎝⎭
，则A = ．
【答案】1(1)(1)n n ---．
（99年，数学二）记行列式212322212223
333245354435743
x x x x x x x x x x x x x x x x ---------------为()f x ，则方程()0
f x =的根的个数为(
)．
（A ）1． （B ）2． （C ）3． （D ）4． 【答案】（B ）．
（00年，数学四）设(1,0,1)T α=-，矩阵T A n αα=,为正整数，则n aE A -= ． 【答案】2(2)n a a -．
（01年，数学四）设行列式304
0222
2
0700532
2
D =
--，则第四行各元素余子式之和的值为 ．
【答案】28-．
（14年，数学一/数学二/数学三）行列式
00000000a b a
b
c d c d
=()． （A ）2()ad bc -．（B ）2
()ad bc --．（C ）2222a d b c -．（D ）2222b c a d -．
【答案】（B ）．
（15年，数学一）n 阶行列式20021202
002
2
012
-=-
． 【答案】122n +-．
（16年，数学一/数学三）行列式
10001
=0014
32
1
λλλ
λ---+ . 【答案】43223 4.λλλλ++++
题型1.2 行列式的计算（二）矩阵的性质
（87年，数学一）设A 为n 阶方阵，且A 的行列式0A a =≠，而*A 是A 的伴随矩阵，则*
A =(
)．
（A ）a ． （B ）1a
． （C ）1n a -． （D ）n
a ． 【答案】（C ）．
（87年，数学四）设A 为n 阶方阵，k 为常数，则kA k A =．()
【答案】（×）．
（88年，数学四）设A 是三阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，A 的行列式1
2
A =．求行列式1*(3)2A A --的值．
【解析】3
1*
12(3)23A A A --⎛⎫-=- ⎪⎝⎭
1627=-．
（90年，数学五）设A 为n 阶可逆矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，则*A =()．
（A ）1
n A
-． （B ）A ． （C ）n A ． （D ）1
A
-．
【答案】（A ）．
（92年，数学四）设A 为m 阶方阵，B 为n 阶方阵，且00A A a B b C B ⎛⎫
=== ⎪⎝⎭
,,，
则C = ．
【答案】(1)mn ab -．
（92年，数学五）已知实矩阵33()ij A a ⨯=满足条件：
（Ⅰ）(,1,2,3)ij ij a A i j ==，其中ij A 是ij a 的代数余子式； （Ⅱ）110a ≠． 计算行列式A ．
【解析】1A =．
（93年，数学五）若12312,,,,αααββ都是四维列向量，且四阶行列式
1231,,,,m αααβ=
1223,,,,n ααβα=则四阶行列式32112,,,()αααββ+等于()．
（A ）m n +． （B ）()m n -+． （C ）n m -． （D ）m n -． 【答案】（C ）．
（94年，数学一）设A 为n 阶非零方阵，*A 是A 的伴随矩阵，T A 是A 的转置矩阵，当*T A A =时，证明0A ≠．
【证明】略. ．
（95年，数学一）设A 是n 阶矩阵，满足T AA E =（E 是n 阶单位矩阵，T A 是A 的
转置矩阵），0A <，求A E +．
【解析】0A E +=．
（98年，数学四）设,A B 均为n 阶矩阵，23A B ==-,,则*12A B -= ．
【答案】21
23
n --．
（03年，数学二）设三阶方阵,A B 满足2A B A B E --=，其中E 为三阶单位矩阵，若
101020201A ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪-⎝⎭
，则B = ．
【答案】12
．
（04年，数学一/数学二）设矩阵210120001A ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，矩阵B 满足**2ABA BA E =+，其
中*A 为A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，则B = ．
【答案】1
9
．
（05年，数学一/数学二/数学四）设123,,ααα均为三维列向量，记矩阵123(,,)A ααα=，
123123123(2439)B ααααααααα=++++++，，．如果1A =，那么B = ．
【答案】2．
（06年，数学一/数学二）设矩阵2112A E ⎛⎫
=
⎪-⎝⎭
，
为二阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则B = ．
【答案】2．
（06年，数学四）已知12,αα为二维列向量，矩阵1212(2,)A αααα=+-,
12(,)B αα=．若行列式，6A =，则B = ．
【答案】2-．
（10年，数学二/数学三）设,A B 为3阶矩阵，且1322A B A B -==+=,,，则
1A B -+= ．
【答案】3．
（12年，数学二/数学三）设A 为3阶矩阵，且*
3A A =,为A 的伴随矩阵，若交换A 的第一行与第二行得矩阵B ，则*BA = ．
【答案】27-．
（13年，数学一/数学二/数学三）设()ij A a =是3阶非零矩阵，A 为A 的行列式，ij
A 为ij a 的代数余子式．若0(123)ij ij a A i j +==，
，，，则A = . 【答案】1-．
题型1.3 行列式的计算（三）秩数，特征值的性质
（91年，数学一）设A 是n 阶正定矩阵，E 是n 阶单位矩阵，证明A E +的行列式大于1． 【证明】略.
（98年，数学三）齐次线性方程组212312312
3000x x x x x x x x x λλλλ⎧++=⎪
++=⎨⎪++=⎩，
，，
的系数矩阵记为A ，若存在3
阶矩阵B O ≠，使得AB O =，则(
)．
（A ）2λ=-且0B =． （B ）2λ=-且0B ≠． （C ）1λ=且0B =． （D ）1λ=且0B ≠． 【答案】（C ）．
（99年，数学一/数学二）设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，则(
)．
（A ）当m n >时，必有行列式0AB ≠． （B ）当m n >时，必有行列式0AB =．
（C ）当n m >时，必有行列式0AB ≠． （D ）当n m >时，必有行列式0AB =． 【答案】（B ）．
（00年，数学三）若四阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为
1111
,,,2345
，则行列式1B E --= ．
【答案】24．
（00年，数学四）已知四阶矩阵A 相似于,B A 的特征值为2,3,4,5.E 为四阶单位矩阵，则B E -= ．
【答案】24．
（08年，数学三）设3阶矩阵A 的特征值是1,2,2,E 为3阶单位矩阵，则
14A E --= ．
【答案】3．
（15年，数学二/数学三）设3阶矩阵A 的特征值为2
221B A A E -=-+,,
,，其中E 为3阶单位矩阵，则行列式B = ．
【答案】21．。