真相大白——“铅锤距离”是个好概念(第二稿)

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曲线段相切且与封口直线平行的切线的横坐标.【适用于凹函数或凸函数】 那么,如何求g(������) = |������(������) − (������������ + ������)|(������, ������为参数,������ ∈ ,������, ������-)最大值中的最小值? 解决问题的方法,形象地说,就是用两条平行线去夹住曲线������(������),当两平行线间的铅锤距离最小时,其距离的一半,就 是g(������)最大值的最小值。这个方法我们称为“铅锤大法” 。它是通过直接确定取最大值的最小值状态之后,求出参数值(或 参数之间的制约关系) ,从而求得g(������)最大值的最小值. 如右图 1.从光学角度来看,������1 ,������2 就象夹住曲线的两条平行光线,当它们之间的铅锤距离最 小时, 它们之间的中位线������ 不就是取得������(������)最大值中的最小值时ℎ(������) = ������������ + ������的状态 吗?因此,当直线������ 为两条平行线������1 , ������2的中位线时,取得������(������)最大值中的最小值. 2.当直线������ = ������������ + ������为夹住曲线的两平行线间的“中位线”时,取得最大值中的最小 值,此时我们可以称为一个物理上的平衡状态。我们可以想象一下,当平衡状态破 坏,即直线������ = ������������ + ������无论是平移还是旋转,都会使最大值中的最小值变大,即函 数值之差的绝对值变大,又即在直线某一侧的曲线上的点到直线的铅锤距离变大。 ������ ������ ������1 ������2 ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������1 ������ ������2 ������
������
1
3.当������(������)取得最大值的最小值时, 直线������ = ������������ + ������是不是有点象统计学科里面散点图中的回归直线.从统计学的角度想一想, 既然是求������(������)最大值的最小值,那么直线������ = ������������ + ������就不是离曲线g(������)越远越好,而应该是越近越好,近到什么程度为好 呢?再仔细想一想,不应该是处于一种“水乳交融”的状态吗——直线位于曲线的“正中间” ,所以非常它类似于统计学 科里面散点图中的回归直线。 一、函数g(������) = |������(������) − (������������ + ������)|中������(������)为存在拐点的单调函数(即在定义域内不是凹函数或凸函数) 例 1.(2016 天津卷节选改编)设函数������(������) = |(������ − 1)3 − ������������ − ������|,其中������ > 0,������ ∈ ������,则������(������)在区间[0,2]上的最大值 中的最小值为______. 答案: .
������(������)−������(������) ������−������ ������(������)−������(������) ������−������
成立.
这个方程的解������0 ,本文称为������(������)在区间,������, ������-上的拉格朗日解。这里所谓的拉格朗日解,也就是与
4 1
������ ������
1 3 2 2 3 4 3 4

1 ������
������ ������2 2
������
显然,取得������(������)最大值中的最小值时的������ = 0, , , 2,������ = ,������ = − . 解法 2(四点控制+绝对值不等式性质):令g(������) = (������ − 1)3 − ������������ − ������ . 设������(������) = |g(������)|的最大值为������, 则������ ≥ ������(0) = |1 + ������| = |g(0)|,������ ≥ ������ . / = | ������ + ������ + | = |g . /|,
真相大白——“铅锤距离”是个好概念(第二稿)
湖南常德 陈永清
摘要:本文通过利用“铅锤距离”这个概念,以及数形结合的思想、函数与方程的思想,用初等数学的知识与方法,探索出 一种更易理解和掌握求|������(������) − (������������ + ������)|最大值中的最小值的方法(而不必专门学习切比雪夫多项式及最佳逼近直线 等理论) ,并由此可以解决与绝对值相关的这一类函数问题。 关键词:铅锤距离;封口直线;切线;平行直线;中位线。 正文: 求函数g(������) = |������(������) − (������������ + ������)|(������, ������为参数,������ ∈ ,������, ������-)最大值中的最小值问题,高考题、自主招生、竞赛题中都不乏 它的身影。由于含有两个参数,分类讨论感觉无从说起。于是有很多人,从不同的角度,用不同的方法去解决它;于是有了 (构造)平口单峰、三点控制、切比雪夫最佳逼近直线、绝对值不等式配凑等各种方法。最近我研究发现,利用铅锤距离这 个概念,求g(������) = |������(������) − (������������ + ������)|(������, ������为参数,������ ∈ ,������, ������-)最大值中的最小值,这种问题就可以轻松破解了,尤其是在客 观题中。 首先,要搞清楚为什么要求g(������) = |������(������) − (������������ + ������)|(������, ������为参数,������ ∈ ,������, ������-)最大值中的最小值? 我们可以借助命题“对于任意实数������, ������ ,总存在������0 ∈ ,������,������-(������, ������ 为常数),使得������(������0 ) ≥ ������.”来理解: ①总存在������0 ∈ ,������,������-(������, ������为常数),使得������(������0 ) ≥ ������,则������ ≤ ������(������)������������������ ; ②对于任意实数������, ������ ,������ ≤ ������(������)������������������ ,则������ ≤ ,������(������)������������������ -������������������ . 先我们简单定义三个概念: 1.铅锤距离: 我们把|������(������0 ) − ������(������0 )|称为������(������)与������(������)在������ = ������0 处的铅锤距离; 显然, |������(������0 ) − ������(������0 )|的代数意义就是������(������) 与������(������)在������ = ������0 处的函数值之差的绝对值。 2.封口直线:经过一条曲线段(凹函数或凸函数图象)的两个端点的直线,我们形象地称为封口直线。 3.中位线:若三条直线������1 , ������, ������2满足������1 //������//������2 ,且������1 、������ 间的距离等于������ 、������2 间的距离,我们就称直线������ 为两平行直线������1 , ������2 的中 位线。 为了解决后面某些问题叙述解答过程的方便,先介绍一下拉格朗日中值定理. 拉格朗日中值定理 如果函数������(������)满足: (1)在闭区间,������, ������-上连续; (2)在开区间(������, ������)内可导;那么在开区间(������, ������)内 至少有一点������0 (������ < ������0 < ������)使等式������ ′ (������0 ) = 满足������ ′ (������0 ) =
4
1
解法 3(三角换元法):问题中的函数等价于������(������) = |������ 3 − ������������ − ������ − ������|,������ ∈ ,−1,1-. 令������ = cos ������ , 则������(������) = |cos3 ������ − ������ cos ������ − ������| = |4 cos3 ������ − 3 cos ������ + (3 − 4������) cos ������ − 4������ − 4������|
2 2 8 2 1 1 1 1
−1 ������
������ ≥ ������ . / = | ������ + ������ − | = |g . /|,������ ≥ ������(2) = |2������ + ������ − 1| = |g(2)|.
2 2 8 2
3
3
1
3
则6������ ≥ |g(0)| + 2 |g . /| + 2 |g . /| + |g(2)|
3 2 (������2 −1)3 +1 ������2
������
− 1)3 ),
������
������1 ������ ������2 ������

3 4
解得������2 = ,此时g ′ . / = .
2
3
������1 ������
3 4
则直线������ 的方程为������ = ℎ(������) = (������ − 1). 则������(������)在区间[0,2]上的最大值中的最小值为g(2) − ℎ(2) = .
4 1
= | cos 3������ + (3 − 4������) cos ������ − 4(������ + ������)|.
4
1
当������ = , ������ = −������时,������(������) = | cos 3������ |,������(������)������������������ = 。
4 3 4 4 4
3
1
1
当������ ≠ 或������ ≠ −������时,������(������) ≤ |cos 3������| + |(3 − 4������) cos ������| + |������ − ������|,
4 4
1
1
显然 |cos 3������| + |(3 − 4������) cos ������| + |������ − ������|的最大值大于或等于 。
4 1
解法 1(铅锤大法) :如图,令g(������) = (������ − 1)3 , ������ ∈ ,0,2-,ℎ(������) = ������������ + ������, 设直线������2 过点������(0, −1)且与曲线g(������)相切与点(������2 , (������2 则由g ′ (������2 ) =
2 2
1
3
≥ |(g(2) − g(0)) − (2g(2) − 2g . /)| = |(2������ − 2) − .2������ − /| = ,
2 2 2
1
1
3
所以������ ≥ ,当������ = ,������ = − 时等号成立。
4 4 4
1
3
3
即������(������)在区间[0,2]上的最大值不小于 .
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