土木工程力学 作者 王长连 第十章 轴向拉压杆应力

第二节 轴向拉压杆的变形及位移
一、轴向拉压杆的变形 1．轴向拉压杆变形的度量 轴向拉压杆的变形主要是纵向伸长或缩短。由实验不难发现，在杆件纵向伸长或 缩短的同时也伴随着横截面尺寸的缩小或增大，如图10-4所示。 设杆件原长为l，变形后的长度为 l1，则杆件的纵向变形为 ∆l= l1 -l ∆l为正时，表示拉伸量；为负时，表示压缩量。∆l的常用单位毫米（mm）。 ∆l表示了杆件纵向的总变形量，但不能反映杆件的纵向变形程度。通常，对于长为 l的杆段，若纵向变形为∆l，则平均单位长度的纵向变形为 l （10-4） l 称之为杆段的平均线应变，用来描述杆件的纵向变形程度。 当l→0时，杆段成为一点，所取极限值，称为该点的线应变，用 ε表示。即有 l lim （10-5） l 0 l 对于轴力为常数的等直杆段，各横截面处纵向变形程度相同，则平均线应变与各 点的线应变相同。 显然，杆件纵向线应变的正负与纵向变形∆l的正负是一致的，因此ε为正时表示拉 应变，为负时表示压应变。线应变ε是无量纲数，因此无单位，常用小数、百分 数或千分数来表示。
DE段 轴力为FN3=-80kN 横截面积为A2=a2=900mm2，故

DE
FN 4 80 103 88.89N / m m2 88.89MPa（压） A2 900
全杆绝对最大正应力是AB段的拉应力
最大拉应力位于AB段，
max 141.47MPa
max | | 141 .47 MPa
N lim
A0
FN A
（10-2）
应力的常用单位有牛顿/米2（N/m2，1N/m2称为1帕斯卡，简称1帕，代号Pa）。 几种单位间的换算关系为： 1千帕（kPa）＝103帕（Pa） 1兆帕（MPa）＝103千帕（kPa）＝106帕（Pa） 1吉帕（GPa）＝103兆帕（MPa）＝106千帕（kPa）＝109帕（Pa） 由于轴向拉压杆横截面上只有均匀分布的拉或压力，故横截面上各点只有正应力且大小相 等。设杆件横截面上轴力为，截面积为A，则横截面上任一点的正应力为
轴向拉压杆横截面上的应力
分布内力的大小，用单位截面积上的内力值来度量，称为应力，它反映内力分布的密集程 度（分布集度）。由于内力是矢量，因而应力也是矢量，其方向就是分布内力的方向。 如图10-1d所示，设轴向受拉杆横截面上某点K周围的一个微小面积∆A上分布内力是∆FN ， 则∆A上的平均应力（即内力的平均分布集度）为∆FN /∆A。图中∆FN与截面垂直，因而 应力∆FN/∆A也与截面垂直，这种应力称为法向或正向应力，简称正应力，用希腊字母 表示。∆A上的正应力用б表示，于是


BC
CD段 轴力为FN3=-80kN，横截面积为A1=706.86mm2，故，
CD
FN 2 70 103 99.03N/m m2 99.03MPa（拉） A1 706.86
FN 3 80103 113.18N / m m2 113.18MPa（压) A1 706.86
实测表明，在被削弱横截面上，靠近“削弱”位置的正应力出现了局部急剧增大 的现象。这种因杆件横截面尺寸突然变化而引起杆件局部应力急剧增大的现 象，叫做应力集中。 杆件应力集中部位的纵向纤维拉或压变形程度要比没有应力集中处更大，更易破 坏，因而更危险。日常生活中，零售布料的工作人员先用剪刀在布匹上剪一 小口再撕布，就很易把布撕开，就是利用了应力集中的现象。 标准轴向拉伸钢试件两端的夹持段比中部的工作段要粗，因此常将这一粗一细两 段的连接部位加工成平缓过渡形状，以避免出现应力集中。 杆件上应力集中部位附近一定范围内的杆件横截面上正应力呈非均匀分布。按理， 这些部位横截面上正应力的计算不能用式（10-3），而需要更高级的力学理 论来分析计算。因此，我们在计算时都应避开这些部位。不过，建筑力学并 不需要精确分析计算这些部位，所以也就常常不仔细区分。 在离应力集中部位稍远的地方，则可认为杆件横截面上正应力又趋于均匀分布， 因而可用式（10-3）计算。
第十章 轴向拉压杆应力和强度条件
第一节 第二节 第三节 第四节 轴向拉压杆横截面上的应力与应力集中 轴向拉压杆的变形及位移 土木工程中常用材料在拉伸和压缩时的力学性能 轴向拉压杆的强度条件及应用
第一节 轴向拉压杆横截面上的应力与应力集中
一、轴向拉压杆横截面上的应力 轴向拉压的等截面直杆（简称等直杆）轴力在横截面上是均匀分布的，且方向都 沿杆轴方向。 用橡胶棒制作一根等截面直杆，并在其表面均匀地画上一些与杆轴平行的纵线和 与之垂直的横线（图10-1a）。当在杆上施加轴向拉力后（图10-1b），可以 看到所有纵线都伸长了，且伸长量相等；所有横线仍保持与杆轴线垂直，但 间距增大了。 我们可以用这个模型解释观察到的等直杆轴向拉伸变形现象：等直杆在轴向拉力 作用下，所有纵向纤维都伸长了相同的量；所有横截面仍保持为平面且与杆 轴垂直（此即所谓的平截面假设），只不过相对离开了一定的距离。 由此可以认为：轴向受拉杆件横截面上任一点都受到且只受到平行于杆轴方向 （即与杆横截面正交方向，称为横截面法向或正向）的拉力作用，各点拉力 大小相等。即杆横截面实际上是受到连续均匀分布的正向拉力作用，这些分 布拉力的合力就是轴力。
AB
最大压应力位于CD段，

max
113.18MPa
全杆绝对最小正应力是DE段的压应力
min | | 88 .89 MPa
DE
Hale Waihona Puke Baidu
二、应力集中
等直杆不论是受轴向拉力还是受轴向压力作用，其横截面上都只产生均匀分布的 正应力。当然前者是拉应力，后者是压应力。但是，若等直杆横截面有局部 削弱（如开槽，钻孔等），即使外力仍沿杆轴线作用，被削弱横截面上的正 应力也不再均匀分布，如图10-3所示。
例10-1
A1

故由式（10-3）知，各横截面上正应力相同，记为σAB：
4
d2

4
30 2 706 .86 mm 2

AB
FN 1 100 103 141.47N / m m2 141.47Pa（拉） A1 706.86
BC段 同理，轴力为FN2=70kN，横截面积为A1=706.86mm2 ，故

FN A
（10-3）
轴力为拉力时，正应力为拉应力，σ取正号；为压力时，正应力为压应力，σ取负号。即正 应力取正号时为拉应力，取负号时为压应力。式（10-3）就是轴力对应的截面应力计 算公式。其适用条件是杆件横截面不变或变化缓慢，外力沿杆轴线。
例10-1 计算图10-2所示轴向受力杆横截面上的应力，已知AD段横截面为圆形，直径d=30mm。DE段横截面 为方形，边长a=30mm。 解： 作出杆的轴力图如图10-2b所示。由图知，AB、BC段均受拉，CE段受压。但值得注意的是：CE段轴力 虽然是常数，但CD段与DE段横截面形状和面积都不一样，故应将CE段分成CD与DE两段分别计算。 AB段 轴力为常数kN，横截面面积亦为常数：