北京理工大学2017-2018工数上期末试题a及答案讲课稿

北京理工大学2017-2018学年工数上期末试题A及答案

课程编号：H0172103 北京理工大学2017-2018学年第一学期

工科数学分析（上）期末试题(A 卷)

座号 _______ 班级_____________ 学号_____________ 姓名_____________ (试卷共6页,十个大题. 解答题必须有过程. 试卷后面空白纸撕下做草稿纸. 试卷不得拆散.)

1．若 e

x x kx x 1

)2(

lim =-∞

→ ，则=k . 2．已知,arctan 2111ln 41x x x y --+=

则=dx

dy . 3. =-+⎰dx xe x e x x 1

02

)

1()

1( . 4 . =⎰

xdx x sin 2

.

5. 设x y y cos =+'，则=y .

二、计算题（每小题5分，共20分）

1.求极限 ).2

sin 211(sin lim 3n

n n n -∞→

2. 设x x y x

2sin sin +=，求dy .

3. 计算dx x

x x x ⎰

-++1

1

2

211cos 2-.

4.求)cos(y x dx

dy

+=的通解.

三、（8分）已知0)-1(lim 2

=-+-+∞

→b ax x x x ，试确定常数a 和b 的值.

四、（6分）已知,...).2,1)((21,0,011=+=

>>+n b b

b b b b n

n n 证明: 数列{}n b 极限存在；并求此极限.

五、（8分）求函数2)

1(42

-+=

x x y 的单调区间和极值，凹凸区间和拐点，渐近线.

六、（8分）设曲线2x y =，x y =围成一平面图形D . (1) 求平面图形D 的面积；

(2) 求平面图形D 绕y 轴旋转所得旋转体的体积.

七、（8分）设一长为l 的均匀细杆，线密度为μ,在杆的一端的延长线上有一质量为

m 的质点，质点与该端的距离为a . （1）求细杆与质点间的引力；

（2）分别求如果将质点由距离杆端a 处移到b 处(b a >)与无穷远处时克服引力所

做的功.

八、（8分）设)(x f 在]1,1[-上具有三阶连续导数，且,0)0(,1)1(,0)1('===-f f f

证明在开区间)1,1(-内至少存在一点ξ，使3)()3(=ξf .

九、（8分）设⎰-+

=x

x

dt t f t x xe x f 0)()()(, 其中)(x f 连续，求)(x f 的表达式.

十、（6分）已知)(x f 在闭区间[]6,1上连续，在开区间)6,1(内可导，且

，5)1(=f ，1)5(=f

.12)6(=f

证明：存在)6,1(∈ξ，使22)()(=-+'ξξξf f 成立.

北京理工大学2017-2018学年第一学期《工科数学分析》（上）期末试题(A 卷)

标准答案及评分标准 2018年1月12日

一、填空（每小题4分，共20分）

1．21

2．4

2

1x x -

3. )(，不收敛+∞∞

4 . C x x x x x +++-cos 2sin 2cos 2

5. x ce x x y -++=)cos (sin 2

1

二、计算题（每小题5分，共20分）

1. 解：)2

sin 211(sin lim 3x

x x x -∞→

3

12sin 211sin lim x x x x -=∞→ x

t 1=令 30)

2sin(21

sin lim

t t t t -=→ …………. 2分 20cos 1sin lim t t t t t -⋅=→21= …………. 4分

21

)2sin 211(sin lim 3=-∴∞→n n n n …………. 5分 注：此题也可以用泰勒公式。

2. 解：x x e dx dy

x x cos sin 2)('ln sin +=

…………. 2分 x x x e

x x 2sin )ln (sin '

ln sin +⋅= x x x x

x x x

2sin )ln (cos sin sin ++⋅= …………. 4分

因此，dx x x x x dy x

x

x

)2sin )ln (cos (sin sin ++⋅=. …………. 5分 3.解： 原式⎰⎰

---++-+=1

1

2

11

2

211cos 112dx x

x x dx x x

dx

x ⎰

=10

2

2

4…………. 2分

dx x x x ⎰----=1

0222)

1(1)114（ dx x ⎰--=1

2144

π

-=4

…………. 5分

4. 解: 令y x u +=，则

1-=dx du

dx dy …………. 2分 代入原方程，得：2cos 2cos 12u u dx du =+= 分离变量法得：

c x u +=2

tan …………. 4分 将y x u +=代入上式，

得通解为：c x y

x +=+2

tan . …………. 5分 三、解: 由条件知：01lim 2=--+-∞→x

b

ax x x x 得

11

1-1lim 1lim 22=+=+-=+∞→+∞→x

x x x x a x x …………. 4分 )1(lim 2

x x x b x -+-=∞

→ …………. 6分

)11

(

lim 2

x

x x x x ++-+-=∞

→

21)1

1

1111-(lim 2-=++-+

=∞→x

x x x …………. 8分

四、解: ,)(211

111b b b b b b b b n n n n n =⋅≥+=

---- …………. 2分 .1)1(21)1(2121=+≤+=+b

b

b b b b n n n 所以数列{}n b 单调递减有下界， n n b ∞

→lim 存在. …………. 4分

设,lim a b n

n =∞→则有),(21a

b

a a +=得,

b a = .b a -=（舍去） 所以，.lim b b n n =∞

→ …………. 6分