北师大版高中数学(选修1-1)《第四章导数应用综合小结》word教案

第四章 导数应用

4．1．1函数的单调性与导数（一）

一、教学目标：了解可导函数的单调性与其导数的关系.掌握利用导数判断函数单调性的方法. 二、教学重点：利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性.

教学难点：判断复合函数的单调区间及应用；利用导数的符号判断函数的单调性. 三、教学过程 （一）复习引入

1．增函数、减函数的定义

一般地，设函数 f (x ) 的定义域为I ：如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2)，那么就说 f (x )在这个区间上是增函数． 当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)，那么就说 f (x ) 在这个区间上是减函数． 2．函数的单调性

如果函数 y ＝f (x ) 在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数 y ＝f (x ) 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做 y ＝f (x ) 的单调区间．

在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的． 例1讨论函数y ＝x 2

－4x ＋3的单调性．

解：取x 1＜x 2，x 1、x 2∈R， 取值

f (x 1)－f (x 2)＝(x 12－4x 1+3)－(x 22

－4x 2+3) 作差

＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2－4) 变形 当x 1＜x 2＜2时，x 1＋x 2－4＜0，f (x 1)＞f (x 2)， 定号

∴y ＝f (x )在(－∞, 2)单调递减． 判断

当2＜x 1＜x 2时， x 1＋x 2－4＞0，f (x 1)＜f (x 2)，

∴y ＝f (x )在(2, ＋∞)单调递增．综上所述y ＝f (x )在(－∞, 2)

单调递增。 能否利用导数的符号来判断函数单调性？

一般地，设函数y ＝f (x )在某个区间内可导，

如果f (x )

'＞0，则f (x )为增函数； 如果f (x )'＜0，则f (x 例2．教材P24面的例1。

例3．确定函数f(x)＝x 2

－2x ＋4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数． 解： f(x)'＝2x －2． 令2x －2＞0，解得x ＞1． 因此，当x ∈(1, +∞)时，f (x )是增函数． 令2x －2＜0，解得x ＜1． 因此，当x ∈(－∞, 1)时，f (x )是减函数．

例4．确定函数f (x )＝2x 3－6x 2

＋7数．

解：f (x )'＝6x 2

－12x ． 令6x 2

－12x ＞0，解得x ＜0或x ＞2．

因此，当x ∈(－∞, 0)时，函数f(x)是增函数，

当x ∈(2, ＋∞)时， f (x )也是增函数．

令6x 2

－12x ＜0，解得0＜x ＜2．

因此，当x ∈(0, 2)时，f (x )是减函数． 利用导数确定函数的单调性的步骤： (1) 确定函数f (x )的定义域；

(2) 求出函数的导数；

(3) 解不等式f '(x )＞0，得函数的单调递增区间；解不等式f '(x )＜0，得函数的单调递减区间． 练习1：教材的例2

利用导数的符号来判断函数单调性: 设函数y ＝f (x )在某个区间内可导

(1)如果f '(x )＞0 ，则f (x )为严格增函数； (2)如果f '(x )＜0 ，则f (x )为严格减函数． 思考：（1）若f '(x )＞0是f (x )在此区间上为增函数的什么条件？

若f '(x )＞0是f (x )在此区间上为增函数的充分而非必要条件．

例如 f (x )＝x 3，当x =0，f '(x )=0，x ≠0时，f '(x )>0，函数 f (x )＝x 3

在(－∞,＋∞)上

是增函数．

（2）若f '(x ) ＝0在某个区间内恒成立，f (x )是什么函数 ？

若某个区间内恒有f '(x )＝0，则f (x )为常数函数．

教科书练习(1) （三）课堂小结

1．判断函数的单调性的方法； 2．导数与单调性的关系； 3．证明单调性的方法. （四）《习案》作业七

4．1．1函数的单调性与导数（二）

一、教学目标：了解可导函数的单调性与其导数的关系.掌握利用导数判断函数单调性的方法. 二、教学重点：利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性.

教学难点：判断复合函数的单调区间及应用；利用导数的符号判断函数的单调性. 三、教学过程 （一）复习

1．确定下列函数的单调区间：

⑴ y ＝x 3－9x 2＋24x ； ⑵ y ＝x －x 3．（4）f (x )＝2x 3－9x 2

＋12x －3

2．讨论二次函数y ＝ax 2

＋bx ＋c (a ＞0)的单调区间．

3．在区间(a , b )内f'(x )＞0是f (x )在(a , b )内单调递增的 ( A )

A ．充分而不必要条件

B ．必要但不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件 （二）举例

例1．求下列函数的单调区间

(1) f (x )＝x －ln x (x ＞0)； (2)

)253log()(2-+=x x x f

(3) 3

2)1)(12(x x y --=

.

（4）

)3ln()(b x x f -= （b>0）

（5）判断)lg()(2

x x x f -=的单调性。

分三种方法：（定义法）（复合函数）（导数）

例2．（1）求函数3223211

()32

y x a a x a x a =-+++的单调减区间.

（2）讨论函数2()(11,0)1

bx

f x x b x =-<<≠-的单调性.

（3）设函数f (x ) = ax – (a + 1) ln (x + 1)，其中a ≥–1，求f (x )的单调区间.

（1）解：y ′ = x 2 – (a + a 2) x + a 3 = (x – a ) (x – a 2

)，令y ′＜0得(x – a ) (x – a 2)＜0.

（1）当a ＜0时，不等式解集为a ＜x ＜a 2此时函数的单调减区间为(a , a 2

)；

（2）当0＜a ＜1时，不等式解集为a 2＜x ＜a 此时函数的单调减区间为(a 2

, a )；