专题训练(二)有关多边形的边数或角的计算

专题训练（二）有关多边形的边数或角的计算

一、利用“内角和”求多边形的边数

由多边形的内角和公式可知：正确的内角和应该能被180 °整除，而错误的内角和除以180°时会有余数，根据这个余数即可分析出多加或少加的那个角的度数，从而也可确定多边形的边数.

1•若n边形的所有内角与某一个外角的总和为1297 °,则n等于（）

A 6 B. 7 C 8 D. 9

2•小明在求一个多边形的内角和时，由于疏忽，把一个内角加了两遍，而求出结果是2017 °,则这个内角是___________________ 。，这个多边形是 _________ 边形.

3•某同学计算多边形的内角和时，得到的答案是1125。，老师指出他少加了一个内角•这个同学计算的是几边形的内角和？他少加的那个内角是多少度？

二、“ 8”字的性质及应用

我们把有一组对顶角的两个三角形组成的图形叫做“ 8”字•如图 2 —ZT—1 , AD, BC 相交于点0,连接AB, CD得到一个“8字” ABCD容易证明“ 8”字具有以下性质：/ A+/B

=Z C+Z D.利用“8”字的这一性质，可把两个角的和转化为与之相等的另外两个角的和，从而可把分散的多个角的和转化为多边形的内角和.

图 2— ZT —

4

如图 2— ZT — 5,/ A +/ B +/ C +/ D +/ E +/ F +/ G+/ H=

4.如图 2— ZT —

2,Z a = _________

图 2 — ZT — 1

图 2— ZT — 2

5. __________________________________________________________ 如

图2 — ZT — 3，/ A ,/ B ,/ C,/ D,/ E 的度数的和为 _________________

图 2— ZT — 3

6.

(1)图

2 — ZT -4①中，/ A +/B +/C +/D +/ E +/F = _________________

(2)图 2— ZT — 4②中，/ A +/B +/C +/D +/ E +/F = _________________ ° .

7. B

图 2 -ZT—5

&如图2—ZT—6,求/ A+Z B+Z C+Z E—

Z F—/G 的度数.

1. ［解析］D 因为1297- 180= 7……37,所以被加上去的这个外角是37° .由内角和公式得(n —2) X 180= 1297 —37,解得n= 9.故选D.

2. ［答案］37 十三

［解析］因为2017- 180= 11……37,即2017被180除时有余数37,所以被加了两遍的这个内角的度数是37°,于是可知正确的内角和是2017°—37°= 1980° .由内角和公式得(n —2) • 180= 1980,解得n= 13.所以这个多边形是十三边形.

3. 解：因为1125除以180时商是6,余数是45,而多边形的内角和是180的倍数，所以少加的那个角是45°的补角，为135° .

9.如图2—ZT—7,求Z A+Z B+Z C+Z D+Z E+Z F+Z G+ZH 的度数.

图2—ZT—

6

图2—ZT—

7

答：这个同学计算的是九边形的内角和，他少加的那个内角是

135°

4. 15

5.180 °

6. ［答案］(1)360 (2)360 ［解析］⑴ 连接AD 由三角形的内角和定理和对顶角相等， 得/ E +Z F =Z FA 內/ EDA 于是题中六个角的和转化为四边形

ABC 啲内角和，即为 360° . 7. ［答案］360

［解析］连接BG CF,则将所求8个角的和转化为四边形 BCFG 勺内角和，即360° .

& 解：方法一：连接 BE AE,则Z GA +Z ABC +Z C +Z D+Z FED-Z F -Z G= ( Z GAB + Z FED-Z F -Z G +Z AB(+Z CBEb Z DEB=Z EAB^Z AED^Z DEB F Z CBE F Z ABC= △ ABE 的内角和=180° .

方法二：连接 BE 设 EF 与 AG 相交于点 O,则Z A +Z ABC +Z C +Z D +Z FED-Z F -Z G =四边形 ABEO 的内角和一Z EOA-Z F -Z G= 360°-^ OFG 的内角和=360°- 180° = 180° .

9•解：连接AE FH,则所求八个角的和转化为五边形 ABCD 的内角和加△ FGH 的内角 和,所以Z BAF +Z B +Z C +Z D +Z DEF +Z GFEb Z G+Z GH = (5 -2) X 180°+ 180° = 720° . 于是边数= 1125+135 180

卜 2= 9.