习题6.2最新

§6.2 图的连通性

习题6.2

1. 证明或否定：

（1）简单图G 中有从点u 到点v 的两条不同的通道，则G 中有回路。

（2）简单图G 中有从点u 到点v 的两条不同的路，则G 中有回路。 解 （1）不一定：如下图，点1与点3之间有两条通道：（1、2、3）和（1、2、1、2、3），但图中没有回路。

（2）一定：设两条路分别为),,,,,(211v x x x u L m =和),,,,,(212v y y y u L n =。若对

m i ≤≤1，n j ≤≤1有j i y x ≠，则),,,,,,,,,,(12121u y y y y v x x x u n n m -是一条回路。否

则假设l k y x =且是离u 最近的一对（即对k i ≤≤1，l j ≤≤1，不存在j i y x =），则

),,,,,,,,,(12121v y y y x x x u l k -是一条回路。

2. 证明：在简单图中，若k G ≥)(δ，则G 中有长为k 的路。

解 略

3. 证明：连通图中任何两条最长路必有公共点。 解 略

4. 完全图p K 中有几种非同构的回路，其长度分别为几？其中3≥p 。 解 有2-p 种非同构的回路，其长度分别为3，4，5，…，p

5. 设G 是简单图，2)(≥G δ，证明G 中存在长度大于或等于1)(+G δ的回路。 解 略

6. 证明：若连通图G 不是完全图，则G 中存在三个点w v u ，，，使E v u ∈)(，，

E w v ∈)(，，E w u ∉)(，。

解 略

7. 证明：图>=

解 必要性证明：对任何划分}{W U ，，总存在一条边E w u ∈),(，使U u ∈，W w ∈，否则U 中的点不可达到W 中的点，与图的连通性矛盾。

充分性证明：V w u ∈∀,，取}{u U =，U V W -=，则根据条件，存在W v ∈1，使得E v u ∈),(1；再取},{1v u U =，U V W -=，则根据条件，存在W v ∈2，使得（u 、v 1、v 2）

或（u 、v 2）为路；再取},,{21v v u U =，U V W -=，则根据条件，存在v 3∈V 2，使得（u 、v 1、v 2、v 3）或（u 、v 1、v 3）或（u 、v 3）为路；……。最后证明了u 和v 之间有路相连，即G 是连通图。

8. 设w u ，是连通图G 的两个顶点，试证明：若()2d u w ≥，，则存在顶点v ，使得

()()()d u v d v w d u w +=，，，

解 略

9. 设有a b c d e f g ，，，，，，七个人，他们分别会讲的语言如下：a 会讲英语；b 会讲汉语和英语；c 会讲英语、西班牙语和俄语；d 会讲日语和汉语；e 会讲德语和西班牙语；

f 会讲法语、日语和俄语；

g 会讲法语和德语。试问这七个人中，是否任意两个都能交

谈（必要时可借助于其余五人组成译员链）？

解 设a b c d e f g ，，，，，，七个人为图G 的顶点集合，若两人会讲同一种语言，则其间连一条边。这样得到的图G 是这七个人的交谈图，如下所示。因为这个图是一个连通图，所以借助于译员链，这七个人中任意两个都能交谈。