动力学基本方程

1 2 y gt C2t C4 2
t 0: x0 y0 0, v0 x v0 cos a , v0 y v0 sin a
确定出积分常数为：
C1 v0 cos a , C2 v0 sin a , C3 C4 0
于是物体的运动方程为：
x v0t cosa
2 n 2 n 2
3. 质点运动微分方程在自然轴上投影
n n dv v m Ft i , m Fn i , 0 Fb i d t i 1 i 1 i 1 n 2
15.2 质点的运动微分方程
第一类基本问题：已知质点的运动， 求作用在质点上的力。这类问题其实质可 归结为数学上的求导问题。
2 l 其中 m1 πR12l m2 π R2 1 4 J z π l ( R14 R2 ) 2 1 2 2 π l ( R12 R2 )( R12 R2 ) 2
2 2 由 π l ( R1 R2 ) m，得 1 2 J z m( R12 R2 ) 2
15.1 动力学的基本定律
第三定律（作用与反作用定律）
两个物体间相互作用的作用力和反作用力总是 大小相等、方向相反，沿着同一作用线同时分 别作用在这两个物体上。
以牛顿定律为基础所形成的力学理论称为 古典力学。
必须指出的是：质点受力与坐标无关，但质点的 加速度与坐标的选择有关，因此牛顿第一、第二定律 不是任何坐标都适用的。凡牛顿定律适用的坐标系称 为惯性坐标系。反之为非惯性坐标系。
P P mg 或 m g g 9.78049(1 0.0052884sin 2 0.0000059sin 2 2 为纬度
国际计量标准g＝9.80665 m/s2，一般取g＝9.8 m/s2
在国际单位制(SI)中，长度、时间、质量为基本量，它们的单 位以米 (m) 、秒 (s) 和千克 (kg) 为基本单位。其它量均为导出量， 它们的单位则是导出单位。
F Fx i Fy j maw 2 cos wti mbw 2 sin wtj mw (a cos wti b sin wtj ) mw ( xi yj ) mw r
2 2 2
力 F 与矢径 r 共线反向，其大小正比于矢径 r 的模，方向恒指向椭圆中心。这种力称为有心力。
第二类基本问题： 已知作用在质点上 的力，求质点的运动。这类问题其实质可 归结为数学上的解微分方程或求积分问题。
例 1 10.1 如图，设质量为m的质点M在平面oxy内运动，已知其运动方 例 程为x＝a cos wt，y＝a sin wt，求作用在质点上的力F。
解 ：以质点 M 为研究对象。分析运 动：由运动方程消去时间 t，得
1 2 y v0t gt 2 轨迹方程为：
gx2 y xtga 2 2v0 cos2 a
由此可见，物体的轨迹是一抛物线。
15.3.1 刚体绕定轴的转动微分方程
主动力: F 2 ,, Fn 1 , F
约束力: FN1 , FN 2 对刚体内任一质点,根据质点动力 学基本方程：
2
J z J zC md
2
15.3.2 刚体对轴的转动惯量
4．组合法
已知：杆长为 l 质量为 m1 ，圆盘半径为 d ，质量为 m2 .
JO . 求：
解：
J O J O杆 J O盘
1 2 J O杆 m1l 3 1 d 2 d 2 J O盘 m2 ( ) m2 (l ) 2 2 2
mi ria it mi ria Fi et Fi it
mia in mi riw 2 Fi en Fi in
mi ria ri M z Fi et M z Fi it
对整个刚体则有：
第一式两边同时乘以 ri ，可得：


mi ria ri M z M z
与两轴间距离平方的乘积.
15.3.2 刚体对轴的转动惯量
证明：
J zC mi ( x12 y12 )
2 2 m [ x ( y d ) ] J z m i r m i (x y ) i 1 1
2
2
2
mi ( x12 y1 ) 2d m 0i y1 d 2 mi
★ 牛顿在光学上的主要贡献是发现了太阳光是由7种 不同颜色的光合成的，他提出了光的微粒说。 ★ 牛顿在数学上的主要贡献是与莱布尼兹各自独立 地发明了微积分，给出了二项式定理。 ★ 牛顿在力学上最重要的贡献，也是牛顿对整个自 然科学的最重要贡献是他的巨著《自然哲学之数学原 理》。这本书出版于1687年，书中提出了万有引力理 论并且系统总结了前人对动力学的研究成果，后人将 这本书所总结的经典力学系统称为牛顿力学。
例 2 10.3 从某处抛射一物体，已知初速度为v0，抛射角为a，如不计空 例 气阻力，求物体在重力单独作用下的运动规律。
解：研究抛射体, 列直角坐标形式的 质点运动微分方程
y
d2 x d2 y m 2 0, m 2 mg dt dt
积分后得
v0 M
mg
v
x
x C源自文库t C3 ,
初始条件为
或 JO
1 mR 2 2
15.3.2 刚体对轴的转动惯量
2. 回转半径（惯性半径）
z
Jz m
或
J z m z2
2
3．平行轴定理
J z J zC md
式中
zC 轴为过质心且与
z 轴平行的轴，d 为 z
与 zC 轴之间的距离。 即：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过
质心并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量
dw M z (F ) 或: J z dt

刚体定轴 转动微分 方程
15.3.2 刚体对轴的转动惯量
J z mi ri 2
i 1 n
1.
简单形状物体的转动惯量计算
(1)均质细直杆对一端的转动惯量 3 l l J z l x 2dx l 0 3
由 m
l l ，得
v
M
j
x2 y 2 2 1 2 a b
质点作椭圆运动。将运动方程对时 间求两阶导数得：
F r y
i
a
O b
x
x
x aw 2 cos wt , y bw 2 sin wt
代入质点运动微分方程，即可求得主动力的投影为：
maw2 cos wt, Fy my mbw2 sin wt Fx mx
15.2 质点的运动微分方程 1. 矢量形式的质点运动微分方程
n d2 r ma m 2 Fi dt i 1
2. 质点运动微分方程在直角坐标轴上投影
d x d y d z n m 2 Fxi , m 2 Fyi m 2 Fzi dt dt dt i 1 i 1 i 1
3 2 2 m2 ( d l ld ) 8 1 2 3 2 2 J O m1l m2 ( d l ld ) 3 8
15.3.2 刚体对轴的转动惯量
已知：m , R1 , R2。
解：
J z. 求 ：
J z J1 J 2
1 1 2 2 m1 R1 m2 R2 2 2
工程实际中的动力学问题
v1
F
v2
棒 球 在 被球棒 击 打后，其速度的大 小和方向发生了变 化。如果已知这种 变化即可确定球与 棒的相互作用力。
工程实际中的动力学问题 载人飞船的交会与对接
v2
v1
B A
工程实际中的动力学问题
航空航天器 的姿态控制
牛顿及其在力学发展中的贡献
牛顿出生于林肯郡伍尔索朴城的一个中等农户家 中。在他出生之前父亲即去世，他不到三岁时母亲改 嫁了，他不得不靠他的外祖母养大。 1661年牛顿进入了剑桥大学的三一学院，1665年 获文学学士学位。在大学期间他全面掌握了当时的数 学和光学。1665-1666的两年期间，剑桥流行黑热病， 学校暂时停办，他回到老家。这段时间中他发现了二 项式定律，开始了光学中的颜色实验，即白光由7种 色光构成的实验。而且由于一次躺在树下看到苹果落 地开始思索地心引力问题。在30岁时，牛顿被选为皇 家学会的会员，这是当时英国最高科学荣誉。
动力学引言
动力学研究物体的机械运动与作用力之间的关 系。 动力学中所研究的力学模型是质点和质点系(包 括刚体)。 质点:具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以 忽略不计的物体。 质点系：由几个或无限个相互有联系的质点所 组成的系统。 刚体：质点系的一种特殊情形，其中任意两个 质点间的距离保持不变，也称不变的质点系。

et Fi M z et Fi M z

it Fi e Fi
15.3.1刚体绕定轴的转动微分方程
令 J z mi ri 2 称为刚体对转轴 z轴的转动惯量
则有： J za M z ( F )
2 d 或 J M z (F ) z 2 dt
第 15 章
动力学基本方程
15.1 动力学的基本定律
第一定律(惯性定律)
不受力作用的质点，将保持静止或作 匀速直线运动。
质点保持其原有运动状态不变的属性 称为惯性。
15.1 动力学的基本定律
第二定律(力与加速度关系定律)
质点的质量与加速度的乘积，等于作用质点的 力的大小，加速度的方向与力的方向相同。
d ( mv ) F dt
在经典力学中质点的质量是守恒的
ma F
质点的质量越大，其运动状态越不容易改变，也就是 质点的惯性越大。因此，质量是质点惯性的度量。上 式是推导其它动力学方程的出发点，称为动力学基本 方程。
15.1 动力学的基本定律 在地球表面，任何物体都受到重力 P 的作 用。在重力作用下得到的加速度称为 重力加速 度，用 g 表示。由第二定律有
1 2 J z ml 3
15.3.2 刚体对轴的转动惯量
（2）均质薄圆环对中心轴的转动惯量
J z mi R 2 R 2 mi mR 2
（3）均质圆板对中心轴的转动惯量
mi 2π ri dri A
m 式中： A π R2
JO
R 0
4 R (2π r Adr r 2 ) 2π A 4