初中数学初三上册圆周角定理及其运

归纳： 定 理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周 角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推
论
C2 C1 C3
半圆（或直径）所对的圆周 角是直角; 90°的圆周角所对的弦是直径． 在同圆或等圆中，相等的圆周 角所对的弧相等
A
O
·
B
练习：
D
1.求圆中角X的度数
C O X
120°
O A
O
70° x
你能发现什么规律？
画一个圆,再任意画一个圆周角, 看一下圆心在什么位置?
圆心在一边上
圆心在角内
圆心在角外
• 如图,观察圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它们的大 小有什么关系?
A C
●
A
A
C
●
C B
●
O
O
O
B
B
圆周角和圆心角的关系
• 1.首先考虑第一种情况： • 当圆心O在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系.
C
证明： 以AB为直径作⊙O， 1 ∵AO=BO， CO= 2 AB, ∴AO=BO=CO. ∴点C在⊙O上. 又∵AB为直径, 1 ∴∠ACB= ×180°= 90°. 2 ∴ △ABC 为直角三角形.
A
· O
B
课堂练习
• 1.如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径， ∠AOB=2∠BOC，∠ACB与∠BAC的大小有什 么关系？为什么？ C
D
A
1
8 7
6
C
2 3
B
4
5
在同圆或等圆中， 圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系
D
我们把顶点在圆心的周角等 分成360份时，每一份的圆心角是 1°的角。 因为同圆中相等的圆心角所 对的弧相等，所以整个圆也被 等分成360份。我们把每一份这 样的弧叫做1°的弧。
B
O
.
C
在同圆或等圆中，圆心角的度数和它所对的 弧的度数相等。

A C
●
O
提示:能否也转化为1的情况? 过点B作直径BD.由1可得: ∠ABD =
1 ∠AOD,∠CBD 2
B
A

C
B
●

= 1∠COD,
2
O
∴
1 ∠ABC = ∠AOC. 2
你能写出这个命题吗?
同弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半.
巩固练习：
如图，点A,B,C,D在同一个圆上，四 边形ABCD的对角线把4个内角分成 8个角，这些角中哪些是相等的角？
C1
A
C2
C3 B
O
问题2： 若∠C1、∠C2、∠C3 是直角，那么∠AOB 是 180° 。 推论：半圆（或直径）所对的 圆周角是直角；90°的圆周 角所对的弦是直径。
练一练
1、如图，在⊙O中，∠ABC=50°， 则∠AOC等于（ ） O B D、80°； A、50°； B C、90°； D、100° 2、如图，△ABC是等边三角形， 动点P在圆周的劣弧AB上，且不 与A、B重合，则∠BPC等于（ B ） A A、30°； B、60°； C、90°； D、45°
⌒ ⌒
求∠ A的度数。
∠A=21°
3. 如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C、D
为半圆上的两点，∠COD=50°，则
∠CAD=______ 50° ；
4、在⊙O中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为 (2x+100)°和(5x-30)°，则x=_20° _；
拓展练习
如图,点P是⊙O外一点,点A、B、Q是⊙O上 的点。（1）求证∠P＜ ∠AQB （2）如果点P在⊙O内， ∠P与∠AQB有怎 样的关系？为什么？
24.1.4
圆周角
复习旧知：请说说我们是如何给 圆心角下定义的，试回答？
顶点在圆心的角叫圆心角。
能仿照圆心角的定义， 给下图中象∠ACB 这样的角下个定义吗？ 顶点在圆上，并且两边都和 圆相交的角叫做圆周角．
问题探讨：
判断下列图形中所画的∠P是否为圆周角？并说明理由。
P P
P
P 不是 顶点不 在圆上。 是 顶点在圆上， 两边和圆相 交。 不是 两边不和 圆相交。 不是 有一边和圆 不相交。
A p Q O B
A E
●
A E B D
C
O
B
D
C
AC所对的圆周角∠ AEC ∠ ABC ∠ ADC的大小有什么关系？
⌒
规律：都相等，都等于圆心角∠AOC的一半 结论：同弧或等弧所对的圆周角相等。
在同圆或等圆中 相等的圆周角所对的弧相等.
A B
如图, 若 AC = BD 则 ∠ D=∠A
⌒
⌒
C
D
∴AB∥CD
探究与思考： 问题1：如图，AB是⊙O的直径，请问： ∠C1、∠C2、∠C3的度数是 90° 。
.
C
.
B
B C
A
B
A
2.如图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB=___。
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等， 它们所对弧一定相等吗？为什么？
C
G
在同圆或等圆中，如果两个
A B
O F E
圆周角相等，它们所对的弧 一定相等．
• 当球员在B,D,E处射门时, 他所处的位置对球门AC 分别形成三个张角∠ABC, ∠ADC,∠AEC.这三个角 的大小有什么关系?.
解 考虑过M、N以及A、B中的任一点作一圆，这里不妨 作出⊙BMN，显然，A点在⊙BMN外，设MA交圆于C， 则 ∠MAN＜∠MCN，而∠MCN=∠MBN， 所以∠MAN＜∠MBN． 因此，甲应将球回传给乙，让乙射门.
如图所示，已知⊿ABC的三个顶点都在⊙O 上，AD是⊿ABC的高，AE是⊙O的直径. 求证：∠BAE＝∠CAD
C O
A
B
3：已知⊙O中弦AB的等于半径，
求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数。
圆心角为60度
O
圆周角为 30 度 或 150 度。
A
B
在⊙O中，∠CBD=30° ,∠BDC=20°,求∠A
在⊙O中，∠CBD=30° ,∠BDC=20°,求∠A
2、如图，在⊙O中，AB为直径，CB = CF, 弦CG⊥AB，交AB于D，交BF于E 求证：BE=EC

∵∠AOC是△ABO的外角，
A
∴∠AOC=∠B+∠A. ∵OA=OB， ∴∠A=∠B. ∴∠AOC=2∠B.

即
∠ABC =
1 ∠AOC. 2
期望:你 可要理解 并掌握这 个模型.
C
●
O
B
你能写出这个命题吗?
同弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半.
• 第二种情况：如果圆心不在圆周角的 一边上,结果会怎样? • 2.当圆心O在圆周角(∠ABC)的内部时, 圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关 系会怎样?
⌒ ⌒
例: 如图，AB是⊙O的直径AB=10cm, 弦AC=6cm,∠ACB的平分线交⊙O于点D . 求 BC, AD ,BD 的长.
C
6
A O P
10
D
B
练习:如图 AB是⊙O的直径, C ,D是圆上的两 点,若∠ABD=40°,则∠BCD=＿＿＿＿＿.
D
A
O 40°
B
C
练 习
5.如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多 少种方法？与同学交流一下．
C
A
C
B
P
练一练
3、如图，∠A=50°， ∠AOC=60 ° BD是⊙O的直径，则∠AEB等于（ B ） A、70°； B、110°； B C、90°； D、120°
A E D O C
4、如图，△ABC的顶点A、B、C 都在⊙O上，∠C＝30 °，AB＝2， 2 则⊙O的半径是 。
解：连接OA、OB ∵∠C=30 ° ，∴∠AOB=60 ° 又∵OA=OB ，∴△AOB是等边三角形 ∴OA=OB=AB=2，即半径为2。
解：（1）AB=AC。 证明：连接AD ∵AB是直径，∴∠ADB=90°， 又∵DC=BD，∴AB=AC。 （2）△ABC是锐角三角形。
O
·
D
F C
B
由（1）知，∠B=∠C＜90 °
连接BF，则∠AFB=90 °，∴∠A＜90 ° ∴△ABC是锐角三角形
1.AB、AC为⊙O的两条弦，延长CA到D，使 AD=AB，如果∠ADB=35° ， 求∠BOC的度数。 ∠BOC =140° 2、如图，在⊙O中，BC=2DE， ∠BOC=84°，
方法三
方法一 A C O 方法二
O
B
方法四
D
· B
A
O
例2 在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配 合向对方球门MN进攻，当甲带球冲到A点时，乙已 跟随冲到B点(如图2)．此时甲是自己直接射门好， 还是迅速将球回传给乙，让乙射门好？ 分析 在真正的足球比赛中情况会很复 杂，这里仅用数学方法从两点的静止 状态加以考虑，如果两个点到球门的 距离相差不大，要确定较好的射门位 置，关键看这两个点分别对球门MN的 张角大小，当张角较小时，则球容易 被对方守门员拦截.怎样比较A、B两点 对MN张角的大小呢？
在Rt△ABC中，
BC AB2 AC 2 102 62 8
A
O
B
∵CD平分∠ACB，
ACD BCD.
∴AD=BD. 又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
D
AD BD
2 2 Aห้องสมุดไป่ตู้ 10 5 2(cm) 2 2
课本
练 习
3.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个 三角形是直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆.） 1 已知：△ABC 中，CO为AB边上的中线， 且CO= AB 2 求证： △ABC 为直角三角形.

A O
C
●
提示:能否转化为1的情况?
1 ∠AOD, 2
B A D O C

过点B作直径BD.由1可得: ∠ABD =
1 ∠CBD = ∠COD, 2

∴ ∠ABC =
1 ∠AOC. 2
B
●
能写出这个命题吗?
同弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半.
• 第三种情况：如果圆心不在圆周角 的一边上,结果会怎样? • 3.当圆心O在圆周角(∠ABC)的外部 时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大 小关系会怎样?
A
⌒
有没有圆周角？ 有没有圆心角？
它们有什么共同的特点？
O B C
它们都对着同一条弧
⌒
实践活动
• 当球员在B,D,E处射门时, 他所处的位置对球门AC 分别形成三个张角∠ABC, ∠ADC,∠AEC.这三个角 的大小有什么关系?.
A E
●
A E B D
C
O
B
D
C
⌒ AC所对的圆周角∠ AEC ∠ ABC ∠ ADC的大小 有什么关系？
O B A
•2.如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，且 ∠BCD=100°，求∠BOD（ 所对的圆心角） A 和∠BAD的大小。
O B C D
探究
3、如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到 点C，使DC=BD，连接AC交⊙O于点F，点F不与点A 重合。 （1）AB与AC的大小有什么关系？为什么？ （2）按角的大小分类，请你判断△ABC属于哪一类 A 三角形，并说明理由。
A
O B E D C
第二课时 应用
• 回顾：圆周角定理及推论？ • 思考：判断正误： 1.同弧或等弧所对的圆周角相等（ ） 2.相等的圆周角所对的弧相等（ ） 3.90°角所对的弦是直径（ ） 4.直径所对的角等于90°（ ） 5.长等于半径的弦所对的圆周角等于30°（ ）
例题
例 如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平 分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长． 解：∵AB是直径， C ∴ ∠ACB= ∠ADB=90°．