化工应用数学 4第四章 量纲分析

基本量纲：相互独立的量纲，相互之 间不能导出，而其它量的量纲可由基 本量导出。一般取长度［L］、时间 ［T］、质量 ［M］、温度［Θ］
导出量纲：其它物理量的量纲可由基 本量纲导出，例如速度量纲 1 2 LT L ［ ］ ，面积［ ］， 压强 ［ L1MT 2］
单位、量纲、基本量纲、导出量纲举例
(7)
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也就是说，如果长度出现在式(6)中，那么必然以l g 的形式出现。这样式(6)变为
t p f (l g , )
又
(8)
l 1/2 t p [ ]T[ ]( ) g
(9)
是无量纲的，因此 且，
l 1/2 t p [ ]( ) f ( ) g
(10)
上式中量纲不能为函数 f ( ) 提供任何信息。接下来，我们只需要测定不同l 和 时钟 摆的行为了，而不需要去花费时间考虑质量的影响。这说明量纲分析缩短了实验的进 1/2 程。而且，对实验数据的分析时，我们有理由相信可在固定摆幅的情况下将 t p 对 (l g ) 作图，这说明量纲分析简化了数据分析过程。通过实验测定发现，当摆幅较小时( 2 ), 周期与摆幅无关，也就是说 t p和 (l g )1/2 之间为线性关系，斜率为2 。因此，任何摆 钟运动由以下简单的函数形式 l (11) t 2 ( )1/2
物理量 摆动周期 钟摆长度 钟摆质量 符号 量纲 物理量 重力加速度 摆幅 符号 量纲

m
l
tp
l
T L M
g

L T2 无( L L)
m
希望利用小钟摆模并由物理参数预测摆动周期。我们假设有下方程的形式 t p l, m, g 和 的函数 (4) 或
t p f (l, m, g, )
(5)
2）写出无量纲方程： 取基本量纲为长度［L］、时间［T］ 质量 ［M］由 定理可知，可写出 (n-m)=4 个无量纲量 1、 2、 3、 4
即无量纲方程为 f 1 2 3 4 0
3）取独立变量
选直径 d、速度 V、密度ρ为独立变 量
独立变量的量纲分别为：
d L
以上的分析过程简单直观，但是只是针对此类简单问题。下面介绍一种通用方法——无量纲分析法。 把式(11)写成
g 2 t p ( )1/2 l
(12)
上式就是一个无量纲的式子。
一个无量纲的项称为 数群。现在要寻找一个能够描述步行的 数群。如下 a b c d e (13)
v l m g s
ML T
1 2
ML LT L
3 a1 1 b1
c1
M
1 a1
L
3 a1 b1 c1 1
T
2 b1
利用量纲和谐原理，方程两边量纲应相等
令：a1 1 0
b1 2 0 3a1 b1 c1 1 0
解得： a1 1
1 b d 0 0 1 2d 0
所以
(18)
1 v( gl )1/2
(19)
上式的平方就是该数群的传统形式(弗劳数Fr )，且取该数群的平方不会影响分析结 果。我们采用传统形式，即
1 v2 gl Fr
(20)
2 ：该无因次数群包含 s 而不包含 v 。同上面的分析有a 0 和 e 1 。故得
q q1 q2 q3
m1 m2
m3
qn
mn
或
＝
q
m2 q1m1 q2 mn qn
表示无量纲综合量，解出有理数m可 得 项。
白金汉定理：设某个物理现象与n个
物理量有关 q1,q2,,qn，这n个物理量 的函数关系为F(q1,q2,,qn)=0。若这
物理量 体积 速度 加速度 量纲 SI单位 物理量 压力(=力/面积) 量纲 SI单位
L3
m3
2 2 M LT2 kg m s N m Pa
LT
ms
LT
2
ms
2
能量
ML2 T2 kg m2 s2 N m J
动量( p mv )
力(f ma )
ML T
kg m s
ML T
2
kg m s2 N (牛
顿)
瓦特
ML2 T3 kg m2 s3 J s W
去年考题：推导五个导出单位及量纲
两条基本规则
去年考题：量纲一致性推导及无因次数群推导
1. 量纲一致性: 求和关系中的各量必须具有相同的量纲 例：总能量=动能+势能
1 2 mv mgh 2 ML2 L 2 L [ ] M( ) M( )L T2 T T2 ML2 ML2 ML2 [ ] 2 2 2 T T T E
0 b d 1 0 0 2d 0
所以
(21)
2 s l
2 1
(22)
我们决定，将含步长的无因次数群作为含速度无因次数群的函数(反过来也一样): (23) f ( )
s v f( ) l gl
2
(24)
对上式的解释: 对比步长是对比速度的函数。也就是说，平方按 gl 进行了比例缩放， 步长按腿长进行了比例缩放。通过这些缩放(动态比例缩放)，使得所有步行者都满足 式(24)——普适关联式。也就是说，按照同样方法缩放步长，则一个8in与一个6in的 人，他们的步行可能是动态相似的。 对比步长与对比速度之间的确定关系不能从量纲分析中得到，这需要实验的测定以及 数据分析。例如，做 s l 的关于 v2 gl 的图。 步行者的弗劳常数越大，则步行速度就越快。
解得：
a2 1 b2 1 c2 1
b2 1 0 3a2 b2 c2 1 0
2 V d
1 1
1
2 Vd
3 l V d
a3 b3
c3 3 a3
L ML M L
a3
LT L
1 b3
由之前讲到的两条基本规则可知，上面函数的每一项必须为时间量纲。这就意味 着式(5)应该和质量无关，因为没有能消除质量量纲的互补项！这样，函数简化为
t p f (l, g, )
(6)
如果长度 l 出现在式(6)中，则必须用 g 除 l 以消除长度量纲，即
l L 2 [ ] [ ]T g L T2
(15)
从上式可知，质量对步行过程无贡献(c 0 )。上式剩2个方程4个未知数，有无穷的 组合能满足方程。因此必须指定一些情况。引入白金汉 定律： 无因次数群数目( N ) = 参数个数 - 量纲数目(方程数目) 因此，在此例中N 4 2 2 。为了确定这2个无因次数群，还需以下规则 对于每个 (16)
n个物理量的基本量纲为m个，则这n个
物理量可组成（n-m）个无量纲数1, 2,, n-m，这些无量纲数也存在函数
关系 F(1, 2,, n-m)=0。
去年考题：无因次数群推导（2题，25分）
例子. 步行的量纲分析
由于人的构造是相似的，因此应当可以根据一些物理参数用量纲分析的方法预测人 的速度。通过分析，下标列出一些可能与人的步行速度相关的物理量
长度，L
质量，M 时间，T
米，m
千克，kg 秒， s
英尺， ft
磅质量，Lbm 秒，s
温度，
摄氏度， o C 或 开尔文， K
摩尔， mol
华氏度， F 或 兰金温度， o R
摩尔，mol
o
物质的量，N
不同单 位制之 间有严 格的转 换方法
去年考题：写出任意5个基本单位及量纲
单位、量纲、基本量纲、导出量纲举例
为了便于描述物理量，复合单位应运而生，例如
mg 和 km 。下表列出了常用前缀
符号 乘数(数值)
表 3 复合单位的前缀
前缀 兆 千 厘 毫 符号 乘数(数值) 前缀 微 纳 皮
M
106 103 102 103

106 109 1012
k
n
p
c
m
最后一种单位是导出单位。它是基本单位的衍生物并具有特定的名称。如下表 表 4 导出单位与量纲
p
g
§2.量纲分析法
量纲分析法是将物理现象所涉及的 物理量组成无量纲综合量。利用 定理使无量纲综合量构成函数关系， 该关系式反映了物理量之间的内在 规律，并使自变量的个数减到最少。
无量纲综合量：由n个物理量组合成 的无量纲数称之。用 表示。例如：
物理量 q1、q2、q3 是量纲无关的量， 则物理量q与它们的关系可表示成
符号[=]表示“具有„„的量纲”。
2. 求和关系中的各量必须具有相同的单位
(1) (2) (3)
p1 V12 p2 V22 Z1 Z2 g 2g g 2g
方程中各项可同时用m、cm、mm 但量纲都是［L］。
例子. 钟摆的量纲分析
下面用量纲分析的方法得到钟摆运动的数学描述(钟摆模型如右图) 表 5 钟摆参数
V LT
1

ML
3

其它几个变量的量纲为：
ML T p 1 1 ML T
1 2
l L d L
4）写出量纲方程 a1 b1 c1 1 p V d

数群，必须选择一个“核心变量”
核心变量是指出现在一个 数群中的参数。它是一个无因次数群的核心。我们的目 的是: 寻找一个用无因次数群表示的函数形式。如
1 f (2 , 3 ,
, n )
(17)
1和 2 这两个数群。这两个数群分别以速度和步长为核心变量。 现在， 1 : 该无因次数群包含 v 而不包含 s 。因此 s 的指数项必须为0，即e 0。任 选一数作为 v 的指数( v 1 )。故得
第四章 量纲分析
任课老师：程道建 副教授 E-mail: chengdj@mail.buct.edu.cn
量纲分析
§1.单位和量纲
单位：度量同一物理量的大小。 如长度有 m、cm、mm， 时间有 h、min、s。 量纲（因次）：物理量的种类。 如长度用[L]，时间[T],质量［M］， 无论量的大小都用同一符号表示。
任何物理量都有量纲，基本量纲用大写字母表示，如下表 表 1 基本量纲
基本量纲 长度 质量 时间 温度 符号 基本量纲 物质的量 电荷 光照度 符号
L
M
N
Q
T

I
每个基本量纲都有一个基本单位，该基本单位与单位制有关。下表为两种主要单位制 表 2 国际单位制和英制单位
基本量纲 国际单位制(SI) 英制 基本量纲 国际单位制(SI) 英制
b1 2 c1 0
1 p V d
1 2
0
p 1 2 V
同理：
2 V d
a2 b2
c2
ML T
1
1
ML LT L
3 a2 1 b2
c2
M
1 a2
L
3 a2 b2 c2 1
T
1b2
令： a2 1 0
表 6 步行参数
参数 符号 量纲 参数 符号 量纲
速度
腿长 质量
v
l
LT
L M
重力
步长
g
LT
L
s
m
现在用量纲分析来指导步行数据的测量和分析。先回想一下钟摆的分析思路：
t p f (l , m, g , )
量纲分析
l t p [ ]( )1/2 f ( ) g
实验测定/数据分析
l t p 2 ( )1/2 g
式中 a, b, c, d , e 是待定参数。式(13)的量纲表达式为
L a b c L d e [ ]( ) L M ( 2 ) L [ ]La b d e T a 2 d M c T T
由于 必须是无量纲的，所以有
(14)
a b d e 0 a 2d 0 c0
c3
3 a3 b3 c3 1
T
b3
解得
a3 0
b3 0
0 0 1
c3 1
3 l V d l 3 d
同理
4 V d
0 0
1
4 d
5）组成无量纲函数关系式
例：不可压粘性流体在水平直管中 作定常运动，其压力损失 p与下列 因素有关 、V、d、l、、 ， 试 用 定理确定 p 的规律。
1）由题意假定函数关系式：
p f .V .d . .l. 或 f p. .V .d . .l. 0
有七个变量n 7,基本量纲三个 m 3