《数学》第四册§174棣莫弗定理与欧拉公式

计算：(1)(cos 5 i sin 5 )6; (2)( 3 1 i)4. 22
本节课
学到了哪些知识？ 掌握了哪些方法？ 何处还需要注意？
P82 习题1、2、3
6
3 3(cos i sin ) 3 3i
2
2
由此推测， 复数的n次幂的模等于模的n次幂，
复数的n次幂的辐角等于辐角的n倍．
棣莫弗定理：[r(cos i sin )]n rn (cos n i sin n ).
计算：(1)(cos 40 i sin 40 )9; (2)(1 3i) . 2012
复数的乘方！
若z 3(cos i sin )，求z2与z3的值.
6 解：z2 z z (
3)2[c6os( ) i sin( )]
66
66
3(cos i sin ) 3 3 3 i
3 z3 z z z (
3)3[3cos(2
2 3)
i sin(
3)]
6
复数的除法运算！
设z1 r1(cos1 i sin1), z2 r2 (cos2 i sin2 ).
则 z2 z2 z1 z1 z1 z1
r2
(cos2
i
sin2 )
r1[cos(1)
z1 2
i
sin(1)]
z2 z1
r2 r1
[cos(
2
1) i sin(2
1 )]
由此可见， 复数的商的模等于模的商， 复数的商的辐角等于辐角的差．
6
6
12 12
解：原式 4
3[
cos(
)
i sin(
)]
4
3(cos
6
12Βιβλιοθήκη Baidui sin
)
6 12
4
4
2 6 2 6i.
（1） 2(cos 50 i sin 50 ) 3(cos 40 i sin 40 )
（计2算）：（4 cos120 isin120） 3(cos30 isin 30).
i sin1 cos2 i2 sin1 sin2 ) r1r2[cos1 cos2 sin1 sin2
i( cos1 sin2 sin1 cos2 )] z1 z2 r1r2[cos(1 2 ) i sin(1 2 )]
由此可见， 复数的积的模等于模的积，
复数的积的辐角等于辐角的和．
计算：（3 cos i sin ） 4(cos i sin ).
cos( ) cos cos sin sin
复数的代数形式 z a bi
复数的三角形式 z r(cos isin )
其中r= z 0, . 且有r cos a, r sin b.
三角形式 有哪些特征？
确定复数的三角形式，需要先明确什么？ 模和辐角
两个共轭复数的模和辐角有什么关系？ 模相等，辐角互为相反数
指出下列复数的模和辐角：
(1) cos 210 i sin 210 ; (2)5(cos 3 i sin 3);
(3) （2 cos i sin ）; (4)2(sin1 i cos1).
5
5
将下列复数的代数形式化成三角形式： (1) z1 5; (2)z2 1 i;
13 (3) z4 2i; (4) z5 2 2 i.
计算：[6(cos 70 isin 70 )] [3(cos 40 isin 40 )]. 解：原式 2[ cos(70 40 ) isin(70 40 )]
2(cos30 isin 30 ) 3 i.
计算： 6(cos 50 i sin 50）. 3(cos 20 i sin 20)
三角形式下复数的乘法！
设z1 r1(cos1 i sin1), z2 r2 (cos2 i sin2 ). 则z1 z2 r1(cos1 i sin1) r2 (cos2 i sin2 )
r1r2 (cos1 i sin1)(cos2 i sin2 ) r1r2 (cos1 cos2 i cos1 sin2
解：(1)原式 cos360 i sin 360 1
(2)原式 [2(cos i sin )]2012
3
3
22012 (cos 2012 i sin 2012 )
3
3
22012 (cos 2 i sin 2 )
3
3
22012 ( 1 3 i) 22011 22011 3i 22
§17.4复数三角形式的乘除法与棣莫弗定 理
学习目标
1、理解复数的三角形式的乘除法法则;
2、理解、掌握复数三角形式的乘方法则， 即棣莫弗定理；
3、能熟练地进行复数的三角形式的乘、除、 乘方运算。
1、两角和、差的正弦公式
sin( ) sin cos cos sin
2、两角和、差的余弦公式