《数学》第四册§174棣莫弗定理与欧拉公式
辗转相除法棣莫弗（deMoivre）定理
辗转相除法设两数为a、b(b＜a)，求它们最大公约数(a、b)的步骤如下：用b除a，得a＝bq......r 1(0≤r)。
若r1=0，则(a，b)＝b；若r1≠0，则再用r1除b，得b＝r1q......r2 (0≤r2).若r2＝0，则(a，b)＝r1，若r2≠0，则继续用r2除r1,……如此下去，直到能整除为止。
其最后一个非零余数即为(a，b)。
原理及其详细证明在介绍这个方法之前，先说明整除性的一些特点（下文的所有数都是正整数，不再重覆），我们可以这样给出整除性的定义：对于二个自然数a和b，若存在正整数q，使a=bq，则a能被b整除，b 为a的因子，a为b的倍数。
如果a能被c整除，并且b也能被c整除，则c为a、b的公因数（公有因数）。
由此我们可以得出以下推论：推论1、如果a能被b整除（a=qb），若k为正整数，则ka也能被b整除（ka=kqb）推论2、如果a能被c整除（a=hc），b也能被c整除（b=tc），则(a±b)也能被c整除因为：将二式相加：a+b=hc+tc=(h+t)c 同理二式相减：a－b=hc－tc=(h －t)c所以：(a±b)也能被c整除推论3、如果a能被b整除（a=qb），b也能被a整除（b=ta），则a=b 因为：a=qb b=ta a=qta qt=1 因为q、t均为正整数，所以t=q=1 所以：a=b辗转相除法是用来计算两个数的最大公因数，在数值很大时尤其有用，而且应用在电脑程式上也十分简单。
其理论如下:如果q 和r 是 m 除以 n 的商及余数，即 m=nq+r，则gcd(m,n)=gcd(n,r)。
证明是这样的:设 a=gcd(m,n)，b=gcd(n,r)证明：∵a为m,n的最大公约数，∴m能被a整除，且n也能被a整除，∴由推论1得：qn也能被a整除，∴由推论2得：m-qn也能被a整除，又∵m-qn=r，∴r也能被a整除，即a为n和r的公约数（注意：还不是最大公约数）∵b为n和r的最大公约数，a为n和r的公约数∴a≤b，设两个复数(用三角形式表示)Z1=r1(cosθ1+isinθ1) ,Z2=r2(cosθ2+isinθ2),则:Z1Z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].证:先讲一下复数的三角形式的概念.在复数平面上,可以用向量Z(a,b)来表示Z=a+ib.于是,该向量可以分成两个在实轴,虚轴上的分向量.如果向量Z与实轴的夹角为θ,这两个分向量的模分别等于rcosθ,risinθ(r=√a^2+b^2).所以,复数Z可以表示为Z=r(cosθ+isinθ).这里θ称为复数Z的辐角.因为Z1=r1(cosθ1+isinθ1) ,Z2=r2(cosθ2+isinθ2),所以Z1Z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)(cosθ2+isinθ2)=r1r2(cosθ1c osθ2+icosθ1sinθ2+isinθ1cosθ2-sinθ1s inθ2)=r1r2[(cosθ1c osθ2-sinθ1s inθ2)+i(cosθ1s inθ2+sinθ1c osθ2)] =r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].其实该定理可以推广为一般形式:圆排列从n个不同元素中不重复地取出m（1≤m≤n）个元素在一个圆周上，叫做这n个不同元素的圆排列。
欧拉公式的启发性推导
欧拉公式的启发性推导
以瑞士著名数学家欧拉命名的公式定理不胜枚举，平面几何，拓扑，复变函数，数论等等各个数学领域内均有欧拉大神的插旗。
本文所指的欧拉公式是比较广为人知的，联系三角函数与复指数的公式: 预备知识：
(1)自然对数的底
以及相应的推广：对任意a
(2)极限
(3)棣莫弗公式
对复数
有
备注：棣莫弗公式比欧拉早，当时他还没有认识到复数的指数形式。
另外简单介绍一下，棣莫弗De Moivre（1667-1754），法国数学家，一生未婚。
87岁时患上了“嗜眠症”，每天睡觉20小时。
当达到24小时长睡不起时，他便在贫寒中离开了人世。
接下来是推导。
根据棣莫弗公式，对任意n，都有
令n趋于无穷，根据预备知识（2），则
于是
根据预备知识（1）第二个公式，n趋于无穷时，有
由n的任意性，趋于可改为等号，从而
就得到了欧拉公式。
当然，以上过程并不严谨，严谨的证明需要用泰勒级数，但可以加深对欧拉公式的理解。
也许欧拉一开始也是这么想的，无聊的时候，对着棣莫弗公式一顿操作，突然，Eureka！发现了这一公式，然后才进一步通过其他严谨的方法证明了这一公式。
从无到有的第一步最为艰难，道生一，一生二，二生三，三生万物。
大部分时候，差的就是“道生一”的关键一步。
欧拉公式PPT课件
物理学
ห้องสมุดไป่ตู้工程学
在物理学中，欧拉公式用于描写波动、振动和波动方程的解。
在电气工程、控制系统等领域，欧拉公式用于分析交流电和交流信号的特性。
03
02
01
03
CHAPTER
欧拉公式的证明
通过解析几何的方法，利用向量和复数的几何意义，推导欧拉公式。
解析几何法
利用三角函数的周期性和对称性，通过三角恒等式推导出欧拉公式。
在量子力学中，波函数是描写粒子状态的重要工具。通过波函数的模平方，可以计算出粒子在某个位置出现的概率。欧拉公式在量子力学中的波函数计算中发挥了重要的作用，它可以将复指数函数转化为三角函数，使得波函数的计算变得更加简单和准确。
总结词：欧拉公式在量子力学中的波函数计算中发挥了关键的作用，使得波函数的计算更加准确和高效。
05
CHAPTER
欧拉公式的应用实例
VS
傅里叶变换是信号处理和通讯领域中的重要工具，它可以将时间域的信号转换为频域的信号，从而更好地分析信号的特性和频率成分。欧拉公式在傅里叶变换中扮演着关键的角色，它提供了将复指数函数转化为三角函数的方法，使得傅里叶变换的计算变得简单和高效。
总结词：欧拉公式在傅里叶变换中的应用使得信号处理和通讯领域的研究更加便利和高效。
三角函数法
利用幂级数的性质和运算规则，通过幂级数展开式推导出欧拉公式。
幂级数法
通过代数运算和恒等变换，利用复数的代数情势和性质，推导欧拉公式。
代数法
利用微积分的基本定理和性质，通过微积分运算推导出欧拉公式。
微积分法
利用矩阵的运算规则和性质，通过矩阵变换推导出欧拉公式。
矩阵法
通过几何图形和空间向量的性质，利用几何图形变换和向量运算，推导欧拉公式。
棣莫弗—拉普拉斯定理证明
棣莫弗—拉普拉斯定理证明棣莫弗—拉普拉斯定理是微积分中的一个重要定理，它描述了函数的泰勒级数在其收敛区间内的收敛性。
在这篇文章中，我们将围绕着棣莫弗—拉普拉斯定理展开讨论，一步步回答中括号内的问题。
首先，让我们来了解一下棣莫弗—拉普拉斯定理的内容。
它的全称是“棣莫弗—拉普拉斯定理”，有时也称为“拉普拉斯方法”。
这个定理是由法国数学家棣莫弗和拉普拉斯在18世纪末独立提出的，它主要用于估计含有大参数的定积分。
棣莫弗—拉普拉斯定理的核心思想是利用函数的极大值点来近似估计定积分的值。
现在，让我们开始证明这个定理。
首先，我们来回答第一个问题：为什么要利用函数的极大值点来近似估计定积分的值？原因在于，对于一个充分光滑的函数，它在极大值点附近的函数值将会迅速变化。
因此，我们可以利用这个特点来近似估计定积分的值。
具体来说，我们可以将函数在极大值点的邻域内进行泰勒展开，然后取其中的高阶项来进行近似。
接下来，让我们进行具体的证明。
首先，我们假设函数f(x)在区间[a, b]上连续，并且有n+1阶连续导数。
我们要证明的是：\[I = \int_{a}^{b} e^{nf(x)} dx = e^{nf(x^*)}\int_{a}^{b}e^{-\frac{1}{2}n[f''(x^*)]^2(x-x^*)^2} dx + O(n^{-\frac{1}{2}})\]其中，x^*是f(x)的极大值点。
为了证明这个定理，我们首先对积分I进行换元。
令t = x - x^*，我们可以将积分I转化为：\[I = e^{nf(x^*)}\int_{a-x^*}^{b-x^*} e^{-\frac{1}{2}n[f''(x^*)]^2t^2} dt\]然后，我们将积分区间进行扩展。
我们假设M是使得f''(x)在区间[a, b]上的绝对值的最大值，即M = max f''(x) 。
[欧拉定理]欧拉定理
![[欧拉定理]欧拉定理](https://img.taocdn.com/s3/m/4116af47a216147917112878.png)
[欧拉定理]欧拉定理[欧拉定理]欧拉定理篇一 : 欧拉定理欧拉定理濮阳市第一高级中学杨英辉欧拉定理正多面体认识欧拉简单多面体正多VFE 欧拉定理证明意义小结欧拉定理欧拉定理1.什么叫正多面体, 什么叫正多面体, 什么叫正多面体正多面体有哪几种, 正多面体有哪几种, 正多面体有哪几种欧拉定理数学家欧拉欧拉定理欧拉，瑞士数学家，岁进巴塞尔大欧拉，瑞士数学家，13岁进巴塞尔大学读书，学读书，得到著名数学家贝努利的精心指导( 指导(欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家，他从19岁开始发表论文岁开始发表论文，出的数学家，他从岁开始发表论文，直到76岁他那不倦的一生，直到岁，他那不倦的一生，共写下了 886本书籍和论文，其中在世时发表了本书籍和论文，本书籍和论文 700多篇论文。
彼得堡科学院为了整理他多篇论文。
多篇论文的著作，整整用了47年的著作，整整用了年。
欧拉定理欧拉著作惊人的高产并不是偶然的。
欧拉著作惊人的高产并不是偶然的。
他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，可以使他在任何不良的环境中工作: 以使他在任何不良的环境中工作:他常常抱着孩子在膝盖上完成论文。
抱着孩子在膝盖上完成论文。
既使在他双目失明后的17年间年间，目失明后的年间，也没有停止对数学的研究，口述了好几本书和400余篇的论文。
余篇的论文。
研究，口述了好几本书和余篇的论文当他写出了计算天王星轨道的计算要领后离开了人世。
后离开了人世。
欧拉永远是我们可敬的老师。
欧拉定理欧拉研究论著几乎涉及到所有数学分支，欧拉研究论著几乎涉及到所有数学分支，对物理力学、天文学、弹道学、航海学、对物理力学、天文学、弹道学、航海学、建筑学、音乐都有研究～有许多公式、定理、筑学、音乐都有研究～有许多公式、定理、解法、函数、方程、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的。
名的。
欧拉写的数学教材在当时一直被当作标准教程。
世纪伟大的数学家高斯标准教程。
棣莫弗定理解n次方程的n个根
棣莫弗定理解n次方程的n个根1. 引言大家好，今天我们聊聊一个听上去很高级的数学话题——棣莫弗定理。
这可是数学中的一颗明星呢。
别担心，我会用最简单的语言来解说，让你听了之后能恍若身处一个轻松的聊天场景中。
2. 棣莫弗定理概述2.1 什么是棣莫弗定理？棣莫弗定理是由法国数学家阿布拉罕·棣莫弗提出的。
简单来说，这个定理帮助我们解决n次方程的n个根。
想象一下，你手里有个复杂的方程，棣莫弗定理就像是给你一把万能钥匙，让你能轻松找到所有的解。
2.2 棣莫弗定理的基本内容棣莫弗定理讲的是：如果一个复数可以写成极坐标形式，那么它的n次方根也可以用类似的方法找到。
这就像是你有一个大蛋糕，要分成很多块，棣莫弗定理就是那把切蛋糕的刀，帮你一块一块地把蛋糕分好。
3. 如何使用棣莫弗定理3.1 复数的极坐标形式首先，我们得知道复数的极坐标形式。
一个复数可以表示为 ( z = r (cos theta + i sin theta) )，其中 ( r ) 是复数的模长，( theta ) 是角度。
想象一下，你把复数看成一个点，这个点的距离和角度决定了它在平面上的位置。
3.2 寻找n次方根现在，假如我们有一个复数 ( z )，想找到它的n次方根。
根据棣莫弗定理，我们可以这么做：把这个复数的模长开n次方，角度除以n。
然后，为了找到所有的n次方根，还得加上一个额外的角度，每次增加 ( frac{2pi}{n} )。
这些额外的角度就像是在舞池中转圈圈，让你找到所有的根。
4. 实际应用4.1 例子假设我们有复数 ( z = 8 (cos frac{pi}{4} + i sin frac{pi}{4}) )。
我们想找这个复数的3次方根。
按照棣莫弗定理，我们先计算模长的3次方根，也就是 ( sqrt[3]{8} = 2 )。
然后角度 ( frac{pi}{4} ) 除以3，再加上 ( frac{2pi}{3} ) 的倍数，得到三个不同的角度。
棣莫弗二项分布概率公式
棣莫弗二项分布概率公式
棣莫弗二项分布概率公式是概率论中常用的公式之一，用于计算在一系列独立重复的伯努利试验中，成功次数为固定值的概率。
二项分布是一种离散概率分布，它描述了对于一个具有两种可能结果的试验，成功和失败，在n次独立重复实验中，成功次数为k的概率。
而棣莫弗二项分布概率公式可以被用来计算这个概率。
公式表示为P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中P(X=k)表示成功次数为k 的概率，n表示实验的总次数，p表示单次实验成功的概率，C(n,k)表示从n次实验中选择k次成功的组合数。
要使用这个公式，首先需要确定实验的总次数n、成功的概率p以及期望的成功次数k。
然后根据公式计算出概率P(X=k)。
这个公式的推导需要一些高等数学知识，但在实际应用中，我们可以使用计算机软件或概率表格来进行计算。
棣莫弗二项分布概率公式在实际应用中具有广泛的应用，特别是在统计学、质量控制和金融领域等。
通过使用该公式，我们能够更准确地预测和计算独立重复实验中成功次数的概率，从而帮助我们做出更明智的决策。
总结而言，棣莫弗二项分布概率公式是用于计算在一系列独立重复实验中成功次数为固定值的概率的公式。
它在概率论和实际应用中有着重要的作用，通过使用该公式，我们能够更准确地预测和计算成功次数的概率，从而辅助我们进行决策和分析。
棣美弗定理
棣美弗定理
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复平面上的立方根等于1.
棣美弗定理是一个关于复数的定理。
历史
法国数学家棣美弗（Abraham de Moivre，1667年－1754年）于1707年创立了棣美弗定理，并于1730年发表。
定理
当一个复数z以极坐标形式表达，即z = cosθ+ isinθ时，其n次方(cosθ+ isinθ)n = cos(nθ) + isin(nθ)，其中n属于任何整数。
证明
证明的思路是用数学归纳法证明正整数的情形。
正整数情形
用数学归纳法，
设命题
n为1时，式左
式右。
因此 P(1)成立。
假设P(k)成立，即
(cosθ + isinθ)k = cos(kθ) + isin(kθ)
当n = k + 1时，
因此P(k + 1)也成立。
由数学归纳法可知，，P(n)成立。
整数情形
只需运用恒等式：
即可。
用棣美弗定理求根
此定理可用来求单位复数的 n 次方根。
设 | z | = 1，表为
z = cosθ + isinθ
若 w n = z，则 w 也可以表成 w = cosφ + isinφ。
根据棣美弗定理：
于是得到
nφ = θ + 2kπ（其中）
也就是：
当 k 取，我们得到 n 个不同的根。
有理数情形
注意到，将θ换为 mθ就有：
因此
这样就证明了有理数的情形。
数学第四册(综高)17.4棣莫弗定理与欧拉公式
备注§17.4 棣莫弗定理与欧拉公式教学目标：1.掌握复数的代数形式、三角形式及指数形式，并会进行三种 形式的互化；2.掌握复数的三角形式的乘、除和棣莫弗定理与欧拉公式。
教学重点：掌握复数的三角形式的乘、除和隶莫弗定理与欧拉公式。
教学难点：掌握复数的代数形式、三角形式及指数形式，并会进行 三种形式的互化。
新课讲授：棣莫弗定理与欧拉公式 一、复习导入在三角形式下对复数进行的运算主要是乘除。
二、探究设复数z 1= 2(cos6π+isin6π)，z 2= 4(cos3π+isin3π)，则z 1 ·z 2等于多少？三、知识链接(1)一般z 1= r 1(cos θ1 +isin θ1)，z 2= r 2 (cos θ2+isin θ2)， 则有z 1 ·z 2= r 1 r 2 [cos(θ1 +θ2 )+isin （θ1+θ2）]由此可见，复数的积的模等于模的积，积的辐角等于辐角的和。
(2)一般z 1= r 1(cos θ1 +isin θ1)，z 2= r 2 (cos θ2+isin θ2)， 则有21z z = 21r r[cos(θ1 -θ2 )+isin （θ1-θ2）] 由此可见，复数的积的模等于模的商，积的辐角等于辐角的差。
四、典型例题 例1、计算 （1）3（cos6π+isin6π）·4（cos12π+isin12π）（2）2（cos 500+isin500）·3（cos400+isin400）例2、计算：[6（cos 700+isin700）]÷[3（cos400+isin400）]若3（cos6π+isin6π），那么z 2与z 3的值分别为多少？练习1.计算： （1）2（cos6π+isin6π）·2（ cos12π+isin12π）（2）2（cos83π+isin83π）·3（ 1+i ）（3）2（cos6π-isin6π）÷2（ cos12π+isin12π）课内练习：P77练习一、复习导入学习了复数三角形式的乘法后，接下来我们学习复数三角形式的 幂运算。
以欧拉命名的公式和定理
以欧拉命名的公式和定理在数学的广袤世界里，有很多以伟大数学家命名的公式和定理，其中就包括以欧拉命名的那些神奇的存在。
欧拉，这位数学界的巨匠，他的智慧结晶就如同璀璨星辰，照亮了数学发展的道路。
咱们先来聊聊欧拉公式，这可是个相当了不起的家伙！欧拉公式：$e^{ix}=\cos x + i\sin x$ 这个公式把数学中几个看似毫不相干的元素——自然常数$e$、虚数单位$i$、三角函数$\cos$和$\sin$巧妙地联系在了一起。
记得我曾经给一群对数学充满好奇的孩子们讲解这个公式的时候，那场面可有趣啦。
有个小家伙瞪着大眼睛问我：“老师，这几个东西怎么就能凑到一块儿去呢？”我笑着回答：“这就像是一场神奇的聚会，它们在欧拉的智慧引领下，找到了彼此，然后一起创造出了美妙的数学旋律。
” 为了让孩子们更好地理解，我拿来了一个圆盘，把它比作一个单位圆，在上面标出了不同角度对应的点的坐标。
当我一点点给他们演示如何通过这个公式计算出坐标的时候，孩子们的眼睛里闪烁着惊喜的光芒，仿佛发现了新大陆。
再来说说欧拉定理。
在图论中，对于一个连通图，它的顶点数$V$、边数$E$和面数$F$之间满足$V - E + F = 2$ 。
这个定理在解决很多实际问题中都大有用处。
有一次，我带着学生们去参观一个古老的城堡。
城堡的结构错综复杂，孩子们都很好奇。
我就引导他们用欧拉定理来分析城堡的通道和房间。
他们一边数着顶点和边，一边兴奋地讨论着，完全沉浸在了数学的探索之中。
欧拉的这些公式和定理，不仅仅是数学知识，更是打开思维之门的钥匙。
它们让我们看到了数学的简洁之美、和谐之美。
在学习数学的道路上，我们会遇到各种各样的公式和定理，有时候可能会觉得头疼，觉得枯燥。
但当我们真正理解了它们背后的意义，就会发现，每一个公式和定理都像是一个有趣的谜题，等待着我们去解开。
就像欧拉的公式和定理，它们或许一开始让你觉得摸不着头脑，但只要你耐心去琢磨，去探索，你就会发现其中的乐趣和奇妙。
棣莫弗公式.
cost = 1 - t^22!+t^44!-t^66!+……-……
将t = ix 代入以上三式 ，可得欧拉公式
应用欧拉公式，（cosx＋isinx）^n = (e^ix)n
=e^inx
=cos(nx)+isin(nx)
最后可以由数学归纳法导出，对于n∈N，Z^n=r^n(cos nx+isin nx)
[编辑本段]在三角问题中的应用
在r=1时：
（cosx＋isinx）^n = cos(nx)+isin(nx)
有这个公式可以得到一个特别重要的结果。我们可以令n=3为例，此时
（cosx＋isinx）^3 =cos(3x)+isin(3x)
(k=0,1,2,......). n∈N.
这两条公式叫做棣莫弗公式
[编辑本段]证明
棣莫弗公式证明
先引入欧拉公式：e^ix = cosx + isinx
将e^t，sint ， cost 分别展开为泰勒级数：
e^t = 1 + t + t^22! + t^33! + …… + t^nn！+ ……
其中θ为z的辐角，k=0,1,2,...,n-1
例如 解方程x^3=1
得x1=1 , x2=(-1/2)+i(√3)/2 , x3=(-1/2)-i(√3)/2 .
再根据式子sin^2 x+cos^2 x=1,代入并整理后得
cos 3x=4cos^3 x-3cos x
sin 3x=-4sin^3 x+3sin x
《数学》第四册17.4棣莫弗定理与欧拉公式
17.4棣莫弗定理与欧拉公式学习目标：1、掌握复数三角形式的乘除法运算和棣莫弗定理、欧拉公式，知道在进行复数的幂运算时采用三角形式和指数形式会使计算变得简便。
2、会进行复数的代数形式、三角形式和指数形式之间的互化。
3、了解复数的指数形式和极坐标形式在电工学中的应用。
学习重点：棣莫弗定理和欧拉公式，复数指数形式和复数的幂运算。
复数的代数形式、三角形式和指数形式间的互化。
学习难点：复数的代数形式、三角形式和指数形式间的互化。
复数在电工学中的应用。
学习过程：一、 知识链接：1、 若()1111sin cos θθi r z +=，()2222sin cos θθi r z +=，则=∙21z z 因此，复数的积的模等于 ，积的辐角等于 证明：先乘，再用两角和的正弦、余弦公式整理：2、 若()1111sin cos θθi r z +=，()2222sin cos θθi r z +=，则=21z z 因此，复数的商的模等于 ，商的辐角等于 证明：先乘，再用两角和的正弦、余弦公式整理：注意：运用复数的三角形式的乘除法运算时，首先要使每个复数是三角形式。
3、棣莫弗定理若()θθsin cos i r z +=，则=nz ()+∈N n证明：因此，复数的n 次幂的模等于 ，辐角等于 4、复数的指数形式： 欧拉公式：cos sin i θθ+=欧拉公式表示复数：(cos sin )z a bi r i θθ=+=+= （复数的指数形式）5、复数指数形式乘除法则： 若1212,i i z re z reθθ==，则12z z ∙= ；12z z = 。
证明：6、复数指数形式乘方法则： 若,i z re θ=则n z = 证明：二、 例题讲解：例1、 利用复数的三角形式计算下列各式： （1）()()000032cos30sin 30cos 60sin 602i i ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（233cos sincos sin 4477i i ππππ⎤⎫⎛⎫⎛⎫+-+-⎪ ⎪ ⎪⎥⎭⎝⎭⎝⎭⎦（3002cos 40sin 40i + （4）5512cossin 662i ππ⎛⎫⎛⎫+∙- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（5）32cos sin 66i ππ⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ （6）(51+ （7）7cos sin 77i ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭例2、 将下列复数化为指数形式：（1）cos sin44i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（255cossin 33i ππ⎫+⎪⎭（3）cos sin 55i ππ--（4）cossin36i ππ- （5）1i -+ （6i （7）4i - （8）0例3、 将下列复数的指数形式化为三角形式和代数形式：（1）32ie π（223iπ- （3）28ieπ练习：将下列复数的指数形式化为三角形式和代数形式：（1）625.610iieeππ-∙ （2）445i ieeππ⎛⎫- ⎪⎝⎭÷ （3）424i π⎫⎪⎭练习：将下列复数化为复数的三角形式和指数形式 （1）1cos sin66z i ππ=- （2）23z =-- （33iπ练习：已知复数66123,i iz ez ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭==，用复数的指数形式分别求出：（1）12z z ∙ （2）12z z （3）31z。
棣莫弗定理与欧拉公式
棣莫弗定理与欧拉公式编写人：刁国龙 审核人：叶新红学习目标：1、掌握复数三角形式的乘除法运算和棣莫弗定理、欧拉公式，知道在进行复数的幂运算时采用三角形式和指数形式会使计算变得简便。
2、会进行复数的代数形式、三角形式和指数形式之间的互化。
3、了解复数的指数形式和极坐标形式在电工学中的应用。
学习重点：棣莫弗定理和欧拉公式，复数指数形式和复数的幂运算。
复数的代数形式、三角形式和指数形式间的互化。
学习难点：复数的代数形式、三角形式和指数形式间的互化。
复数在电工学中的应用。
学习过程：一、 知识链接：1、 若()1111sin cos θθi r z +=，()2222sin cos θθi r z +=，则=∙21z z 因此，复数的积的模等于 ，积的辐角等于 证明：先乘，再用两角和的正弦、余弦公式整理：2、 若()1111sin cos θθi r z +=，()2222sin cos θθi r z +=，则=21z z 因此，复数的商的模等于 ，商的辐角等于 证明：先乘，再用两角和的正弦、余弦公式整理：注意：运用复数的三角形式的乘除法运算时，首先要使每个复数是三角形式。
3、棣莫弗定理若()θθsin cos i r z +=，则=nz ()+∈N n证明：因此，复数的n 次幂的模等于 ，辐角等于欧拉公式表示复数：(cos sin )z a bi r i θθ=+=+= （复数的指数形式） 5、复数指数形式乘除法则： 若1212,i i z re z reθθ==，则12z z ∙= ；12z z = 。
证明：6、复数指数形式乘方法则： 若,i z re θ=则nz =证明：7、复数的极坐标形式：r θ∠表示模为 ，辐角为 的复数。
即r θ∠= 复数的极坐标形式的运算法则：（1）1122r r θθ∠∙∠= （2）1122r r θθ∠=∠ （其中220r θ∠≠）（3）()nr θ∠=二、 例题讲解：例1、 利用复数的三角形式计算下列各式： （1）()()00032cos30sin 30cos60sin 602i i ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（233cos sincos sin 4477i i ππππ⎤⎫⎛⎫⎛⎫+-+-⎪ ⎪ ⎪⎥⎭⎝⎭⎝⎭⎦（3002cos 40sin 40i +（4）5512cossin 662i ππ⎛⎫⎛⎫+∙- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（5）32cos sin 66i ππ⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（6）(51+ （7）7cos sin 77i ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭小结：例2、 将下列复数化为指数形式： （1）cos sin44i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（255cossin 33i ππ⎫+⎪⎭（3）cos sin 55i ππ-- （4）cossin36i ππ- （5）1i -+（6i （7）4i - （8）0例3、 将下列复数的指数形式化为三角形式和代数形式： （1）32ie π（223iπ- （3）28ieπ例4、 计算： （1）625.610iieeππ-∙ （2）445i ieeππ⎛⎫- ⎪⎝⎭÷ （3）424i π⎫⎪⎭例5、 将下列复数化为复数的极坐标形式： （1）1cos sin66z i ππ=- （2）23z =-- （33iπ例6、已知复数66123,i iz ez ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭==，用复数的极坐标形式分别求出：（1）12z z ∙ （2）12z z （3）31z例7、在并联电路中，已知两个正弦交流电流为()()0012120,30i t A i t A ωω=+=+，求总电流i。
棣莫弗公式
棣莫弗公式棣莫弗定理1科学原理设两个复数（用三角形式表示）z1=r1(cosθ1+isinθ1），z2=r2(cosθ2+isinθ2），则:z1z2=r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）].证：先谈一下复数的三角形式的概念。
在为丛藓科扭口藓平面c上，用向量z(a,b）去则表示z=a+bi.于是，该向量可以分为两个在实轴，虚轴上的分向量.如果向量z与实轴的夹角为θ，这两个分后向量的模分别等同于rcosθ,rsinθ（r=√a^2+b^2）.所以，复数z可以则表示为z=r(cosθ+isinθ）.这里θ称作复数z的辐角.因为z1=r1(cosθ1+isinθ1），z2=r2(cosθ2+isinθ2），所以z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1）（cosθ2+isinθ2）=r1r2(cosθ1cosθ2+icosθ1sinθ2+isinθ1cosθ2-sinθ1sinθ2）=r1r2[(cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2）+i(cosθ1sinθ2+sinθ1cosθ2）]=r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）].其实该定理可以推展为通常形式：设n个复数z1=r1(cosθ1+isinθ1），z2=r2(cosθ2+isinθ2），……，zn=rn(cosθn+isinθn），则：z1z2……zn=r1r2……rn[cos（θ1+θ2+……+θn)+isin（θ1+θ2+……+θn)].4解析证：用数学归纳法即可，归纳基础就是两个复数相乘的棣莫弗定理。
如果把棣莫弗定理和欧拉（euler）公式“e^iθ=cosθ+isinθ”（参看《泰勒公式》，严苛的证明须要复分析）放到一起看看，则可以用以认知欧拉公式的意义。
利用棣莫弗定理存有：z1z2……zn=r1r2……rn[cos（θ1+θ2+……+θn)+isin（θ1+θ2+……+θn)]如果可以把所有的复数重写成指数的形式，即为：z1=r1e^iθ1,z2=r2e^iθ2，……，zn=rne^iθn,z1z2……zn=r1r2……rne^i（θ1+θ2+……+θn)这和指数的直和性一致.在一般形式中如果令z1=z2=……=zn=z，则能导出复数开方的公式.有兴趣可自己推推看.棣莫弗，a．（demoivre，abraham)1667年5月26日出生法国维特里的弗朗索瓦；1754年11月27日卒于英国伦敦．数学．棣莫弗出生于法国的一个乡村医生之家，其父一生勤政，以行医税金勉力保持家人温饱．棣莫弗自幼拒绝接受父亲的教育，稍大后步入当地一所天主教学校念书，这所学校宗教气氛不淡，学生们以求在一种随心所欲、民主自由的环境中自学，这对他的性格产生了关键性影响．随后，他返回农村，步入色拉的一所清教徒学院稳步念书，这里却戒律森严，令人窒息，学校建议学生誓词效忠教会，棣莫弗婉拒顺从，于是受了严苛制裁，被罚诵读各种宗教教义．那时，学校不注重数学教育，但棣莫弗常常偷偷地自学数学．在早期所学的数学著作中，他最感兴趣的就是c．惠更斯（huygens）关于赌徒的著作，特别就是惠更斯于1657年出版发行的《论赌徒中的机会》（deratiociniisinludoaleae）一书，鼓舞了他的启发．1684年，棣莫弗来到巴黎，幸运地遇见了法国杰出的数学教育家、热心传播数学知识的j．奥扎拉姆（ozanam）．在奥扎拉姆的鼓励下，棣莫弗学习了欧几里得（euclid）的《几何原本》（ele-ments）及其他数学家的一些重要数学著作．1685年，棣莫弗与许多信仰新教的教友一道，出席了愤慨欧洲的宗教暴乱，在这场暴乱中，他与许多人一起被监禁出来．正是在这一年，维护加尔文教徒的南兹敕令被撤消．随后，包含棣莫弗在内的许多存有才华的学者由法国移住英国．据教会的材料记述，棣莫弗一直被监禁至1688年才出狱，并于当年迁居伦敦．但据20世纪60年代辨认出的一份当时的材料，1686年时棣莫弗已经至了英国．随后，棣莫弗一直生活在英国，他对数学的所有贡献全系列就是在英国作出的．抵达伦敦后，棣莫弗立刻发现了许多优秀的科学著作，于是如饥似渴地学习．一个偶然的机会，他读到i．牛顿（newton）刚刚出版的《自然哲学的数学原理》（mathematicalprinciplesofnaturalphilosophy），深深地被这部著作吸引了．后来，他曾回忆起自己是如何自学牛顿的这部重要著作的：他依靠搞家庭教师糊口，必须给许多家庭的孩子听课，因此时间很很紧，于是就将这部重要著作拆下，当他本学期一家的孩子后回去另一家的路上，赶紧写作几页，没多久便把这部书学完了．这样，棣莫弗很快就存有了扩充的学术基础，并已经开始展开学术研究．1692年1692年，棣莫弗拜会了英国皇家学会秘书e．哈雷（halley），哈雷将棣莫弗的第一篇数学论文“论牛顿的流数原理”（onnew-ton’sdoctrineofflux ions）在英国皇家学会上宣读，引起了学术界的注意．1697年，由于哈雷的努力，棣莫弗当选为英国皇家学会会员．棣莫弗的天才及成就逐新受了人们广为的高度关注和认同．哈雷将棣莫弗的重要著作《机会的学说》（thedoctrineofchances）呈交牛顿，牛顿对棣莫弗十分观赏．据传，后来碰到学生向牛顿求教概率方面的问题时，他就说道：“这样的问题必须去找棣莫弗，他对这些问题的研究比我深入细致得多”．1710年，棣莫弗被委派参予英国皇家学会调查牛顿-莱布尼茨关于微积分优先权的委员会，可知他很受到学术界的认同．1735年，棣莫弗被选为柏林科学院院士．1754年，又被法国的巴黎科学院采纳为会员．棣莫弗终生未婚．尽管他在学术研究方面颇有成就，但却贫困潦倒．自到英国伦敦直至晚年，他一直做数学方面的家庭教师．他不时撰写文章，还参与研究确定保险年金的实际问题，但获得的收入却极其微薄，只能勉强糊口．他经常抱怨说，周而复始从一家到另一家给孩子们讲课，单调乏味地奔波于雇主之间，纯粹是浪费时间．为此，他曾做了许多努力，试图改变自己的处境，但无济于事．。
什么是棣莫弗定理
棣 莫 弗 定 理 由 法 国 数 学 家 棣 莫 弗 (1667-1754年 )创 立 。 指 的 是 设 两 个 复 数 （ 用 三 角 函 数 形 式 表 示 ） Z1=r1(cosθ1+isinθ1） ， Z2=r2(cosθ2+isinθ2） ， 则 ： Z1Z2=r1r2[cos（ θ1+θ2） +isin（ θ1+θ2） ]。
请您及时更换请请请您正在使用的模版将于2周后被下线请您moivre, 1667~1754)于 1667年 出 生 于 法 国 香 槟 ， 长 大 后 在 巴 黎 从 师 学 习 数 学 。 由 于宗教信仰的缘故，十八岁那年他被迫离开自己的祖国，去了英国伦敦。在那里，他靠做家庭 教师以及为有钱人解决赌博中的概率问题为生，直到去世。他很想在剑桥或其它大学谋一个数 学教授之职，却未能如愿。他的数学工作主要在概率论和三角学方面，著有《人生保险》 (1725)、 《 机 会 学 说 》 (1718)和 《 分 析 杂 记 》 (1730)等 ， 并 发 表 了 许 多 重 要 论 文 。
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复数的代数形式 z a bi
复数的三角形式 z r(cos isin )
其中r= z 0, . 且有r cos a, r sin b.
三角形式 有哪些特征？
确定复数的三角形式，需要先明确什么？ 模和辐角
两个共轭复数的模和辐角有什么关系？ 模相等，辐角互为相反数
解：(1)原式 cos360 i sin 360 1
(2)原式 [2(cos i sin )]2012
3
3
22012 (cos 2012 i sin 2012 )
3
3
22012 (cos 2 i sin 2 )
3
3
22012 ( 1 3 i) 22011 22011 3i 22
6
3 3(cos i sin ) 3 3i
2
2
由此推测， 复数的n次幂的模等于模的n次幂，
复数的n次幂的辐角等于辐角的n倍．
棣莫弗定理：[r(cos i sin )]n rn (cos n i sin n ).
计算：(1)(cos 40 i sin 40 )9; (2)(1 3i) . 2012
三角形式下复数的乘法！
设z1 r1(cos1 i sin1), z2 r2 (cos2 i sin2 ). 则z1 z2 r1(cos1 i sin1) r2 (cos2 i sin2 )
r1r2 (cos1 i sin1)(cos2 i sin2 ) r1r2 (cos1 cos2 i cos1 sin2
§17.4复数三角形式的乘除法与棣莫弗定 理
学习目标
1、理解复数的三角形式的乘除法法则;
2、理解、掌握复数三角形式的乘方法则， 即棣莫弗定理；
3、能熟练地进行复数的三角形式的乘、除、 乘方运算。
1、两角和、差的正弦公式
sin( ) sin cos cos sin
2、两角和、差的余弦公式
计算：[6(cos 70 isin 70 )] [3(cos 40 isin 40 )]. 解：原式 2[ cos(70 40 ) isin(70 40 )]
2(cos30 isin 30 ) 3 i.
计算： 6(cos 50 i sin 50）. 3(cos 20 i sin 20)
指出下列复数的模和辐角：
(1) cos 210 i sin 210 ; (2)5(cos 3 i sin 3);
(3) （2 cos i sin ）; (4)2(sin1 i cos1).
5
5
将下列复数的代数形式化成三角形式： (1) z1 5; (2)z2 1 i;
13 (3) z4 2i; (4) z5 2 2 i.
计算：(1)(cos 5 i sin 5 )6; (2)( 3 1 i)4. 22
本节课
学到了哪些知识？ 掌握了哪些方法？ 何处还需要注意？
P82 习题1、2、3
6
6
12 12
解：原式 4
3[
cos(
)
i sin(
)]
4
3(cos
6
12 i sin
)
6 12
Байду номын сангаас
4
4
2 6 2 6i.
（1） 2(cos 50 i sin 50 ) 3(cos 40 i sin 40 )
（计2算）：（4 cos120 isin120） 3(cos30 isin 30).
复数的除法运算！
设z1 r1(cos1 i sin1), z2 r2 (cos2 i sin2 ).
则 z2 z2 z1 z1 z1 z1
r2
(cos2
i
sin2 )
r1[cos(1)
z1 2
i
sin(1)]
z2 z1
r2 r1
[cos(
2
1) i sin(2
1 )]
由此可见， 复数的商的模等于模的商， 复数的商的辐角等于辐角的差．
i sin1 cos2 i2 sin1 sin2 ) r1r2[cos1 cos2 sin1 sin2
i( cos1 sin2 sin1 cos2 )] z1 z2 r1r2[cos(1 2 ) i sin(1 2 )]
由此可见， 复数的积的模等于模的积，
复数的积的辐角等于辐角的和．
计算：（3 cos i sin ） 4(cos i sin ).
复数的乘方！
若z 3(cos i sin )，求z2与z3的值.
6 解：z2 z z (
3)2[c6os( ) i sin( )]
66
66
3(cos i sin ) 3 3 3 i
3 z3 z z z (
3)3[3cos(2
2 3)
i sin(
3)]
6