数学建模第六章

第六章军事模型
§6、1 核武器竞赛
问题:甲乙双方(两国),均将对方视为假想敌,在某种“国家安全”的定义下发展核武器,展开核军备竞赛。

问题:在这场核军备竞赛中,双方拥有的核武器会无限增长呢,还就是存在某种平衡状态？
一.模型假设
1.分别以、表示甲乙双方拥有的核武器数目,这里视之为非负实数(即连续
型变量),以、表示甲乙双方对对方施行一次致命性打击所需的核武器
数目;
2.甲乙双方的“国家安全”概念均采用保守定义:即在招到对方“倾泻性”核打
击后,保证有足够的核武器被保存下来以给对方致命的还击;
3.分别以、()表示甲乙双方,其一枚核弹头在遭受对方一枚核
弹头袭击后有可能被保存下来的概率,这里假定不同核弹头在遭受对方一枚核弹头袭击后有可能被保存下来的机会就是相对独立的。

二.模型建立
定性分析模型:应当存在二函数、,分别表示当甲乙双方拥有的核武器数目为、时,对方在遵照模型假设中所给出的有关“国家安全”概念,乙方、甲方所应拥有最少的核武器数目。

即当甲方拥有的核武器数目为时,须有时,乙方才会确认自己就是安全的。

显然,、均应当为单调增函数。

这里称为双方安全区,就是核军备竞赛的稳定区域。

问:就是否为空集？若为空集,即说明核军备竞赛就是没
有尽头的,其终究构成人类持久与平愿望的最大威胁。

所附四图仅仅就是在双方安全曲线满足单调增函数的条件下给出的四种可能情形,有阴影存在的区域表示存在双方安全区。

但实际当中应当就是哪一种呢？
定量分析模型:在前述模型假设的基础上,不难得到:
,
即、分别为甲乙双方的安全曲线,而上面附图的后三幅给出的三种可能的典型情形,显然第四幅表示与两者至少有一个满足时方可出现。

在模型中涉及到的几个参数的取值,比如影响的主要因素可以考虑双方的国土、一枚核弹爆炸的破坏力,以及各自的防空能力。

三.模型分析
通过定量分析模型得到的结果表明,核武器竞赛就是不容乐观的,要么不存在稳定区域,要么稳定区域就是一有界区域。

也即表明建立在本文“安全概念”基础上的核武器竞赛从根本上应当撇弃,因为即使在稳定区域非空,由于某一方(或双方)不克制的态度最终导致核武器竞赛的灾难性后果。

这一结果与我们对当前国际上一些有核国家在发展核武器的现状有一定距离,考察本模型,应当注意的就是在第二条模型假设中提到的“安全概念”,事实上,一个与平国家在发展核武器时所遵循的原则就是在遭到强大敌国的全面入侵,
核武器应当作为一种先发性威慑力量而进行有效阻止——而不应当作为一种后发性的在已遭到毁灭性打击后的纯粹报复行为。

事实上在保留模型假设二中提到的“安全概念”,对其余假设作更为贴近问题真相的改进只能导出对核武器竞赛的前途更加悲观的结论。

四. 点评
本例就是在作了相当程度的简化假设下考虑了核武器竞赛问题,我们很难期望模型能对所考虑问题给出比较乐观的指导意义,但其整个建模过程却对我们有很大的启发:
1.定性分析与定量分析:在对一个应用问题分析,通常包括定性分析与定量分析
这样两个有机统一的环节,定性分析就是数学建模的初级阶段,在这一环节着力解决
2.随机性模型:
3.建模的最终目的在于应用:
§6、2 战争模型
一.问题分析
影响一个军队战斗力的因素就是多方面的,比方士兵人数、单个士兵的作战素质以及部队的军事装备,而具体到一次战争的胜负,部队采取的作战方式同样至关重要,此时作战空间同样成为讨论一个作战部队整体战斗力的一个不可忽略的因素。

本节介绍几个作战模型,导出评估一个部队综合战斗力的一些方法,以预测一场战争的大致结局。

总以、表示甲乙交战双方在时刻的兵力,不妨视为双方的士兵人
数,、表示甲乙双方在开战时的初始兵力,显然。

在
整个战争期间,双方的兵力在不断发生变化,而影响兵力变化主要有如下三个因素:
1.战斗减员率,它取决于双方的兵力,不妨以、分别表示甲乙双方
的战斗减员率;
2.非战斗减员率,比方由于疾病或逃跑等因素导致一个部队减员,它通常可被设
与本方的兵力成正比,比例系数分别对应甲乙双方;
3.增援率,它通常取决于一个已投入战争部队以外的因素,甲乙双方的增援率函
数分别以表示。

由此,可以得到一般的战争模型:
而评价双方的胜负,总认定兵力先降为“零”(全部投诚或被歼灭)的一方为败。

以下分正规战与游击战来讨论。

二.正规作战模型
模型假设:
1.不考虑增援,忽略非战斗减员;
2.甲乙双方均以正规部队作战,每一方士兵的活动均公开,处于对方士兵的监视
与杀伤范围之内,一旦一方的某个士兵被杀伤,对方的火力立即转移到其她士兵身上。

因此,甲乙双方的战斗减员率仅与对方的兵力有关,简单的设为就是
正比关系,以、分别表示甲乙双方单个士兵在单位时间的杀伤力。

若以、分别表示甲乙双方单个士兵的射击率,它们通常主要取决于部队的武器装备;以、分别表示甲乙双方士兵一次射击的(平均)命中率,它们主要取
决于士兵的个人素质,则有、。

模型建立:
根据模型假设,得正规作战的数学模型:
模型求解:
从模型方程得到,进而得该模型的解满足:
不难发现,甲方获胜的充要条件为,即。

进一步可得甲方获胜的充要条件为,从其形式,可以发现一种用于正规作战部队的综合战斗力的评价函数,以甲方为例,其综合战斗
力的评价函数可取为,它与士兵的射击率(武器装备的性能)、士兵一次
射击的(平均)命中率(士兵的个人素质)、士兵数的平方均服从正比例关系,这样在三个因素中只有条件使其中的一个提升到原有水平的两倍这样的选择时,显然要选士兵数的增加,它可以带来部队综合战斗力四倍的提升。

因此,正规作战模型又被称为平方率模型。

三.游击作战模型
模型假设:
1.不考虑增援,忽略非战斗减员;
2.甲乙双方均以游击作战方式,每一方士兵的活动均具有隐蔽性,对方的射击行
为局限在某个范围考虑可以被认为就是盲目的。

因此,甲乙双方的战斗减员率不光与对方的兵力有关,同样设为就是正比关系;而且与自己一方的士兵数有
关,这主要就是由于其活动空间的限制所引起的,士兵数越多,其分布密度会越大,显然二者服从正比例关系,这样对方投来的一枚炮弹的平均杀伤力(期望值)也会服从正比例关系增加;
3.若以、分别表示甲乙双方的有效活动区域的面积,以、分别表示甲
乙双方一枚炮弹的有效杀伤范围的面积,以、分别表示甲乙双方单个士兵的射击率,、、、主要取决于部队的武器装备的性能与贮备;、
也取决于士兵的个人素质。

模型建立:
根据模型假设,得游击作战的数学模型:
模型求解:
从模型方程得到,进而得该模型的解满足:
不难发现,甲方获胜的充要条件为,即。

从其形式,可以发现一种用于游击作战部队的综合战斗力的评价函数,以甲方为例,其综合战斗力的评价函数可取为,它与士兵的射击率(武器装备的性能)、炮弹的有效杀伤范围的面
积、部队的有效活动区域的面积、士兵数四者均服从正比例关系,这样在四个要素中只要有条件使其中的一个提升到原有水平的两倍这样的选择时,它们均可以带来部队综合战斗力成倍的提升,即没有像在正规作战模型中所表现出的差别。

特别考虑士兵数在表达式中的地位,游击作战模型又被称为线性率模型。

四.混合作战模型(思考题)
最后,直接给出一个混合作战模型:
读者试着理解其意义,并通过求解给出甲方取胜的条件。