抛物线经典性质总结30条 (1)

抛物线性质30条

已知抛物线2

2(0)y px p =>，AB 是抛物线的焦点弦，点C 是AB 的中点.AA’垂直准线于A’，BB’垂直准线于B’，CC’垂直准线于C’，CC’交抛物线于点M ，准线交x 轴于点K.求证：

1.12||,||,22p p

AF x BF x =+

=+2.11

()22

CC AB AA BB '''==+；

3.以AB 为直径的圆与准线L 相切；

证明：CC’是梯形AA’BB’的中位线，

||||||||||2||2AB AF BF AA BB CC r

'''=+=+==4.90AC B '∠=

；(由1可证)5.90A FB ''∠= ；

,,||||,,

1,

2

AA FK A FK FA A AF AA AA F AFA A FK AFK '''∴∠=∠'''=∴∠=∠'∴∠=∠ 证明：同理：1,2

B FK BFK '∠=∠得证.6.1

C F A B 2

'''=.

证明：由90A FB ''∠=

得证.

7.AC '垂直平分A F '；BC '垂直平分B F '；

证明：由1

C F A B 2

'''=可知，1||||||,

2C F A B C A '''''==||||,.AF AA '=∴ 又得证同理可证另一个.

8.AC '平分A AF '∠，BC '平分B BF '∠,A’F 平分AFK ∠，B’F 平分BFK ∠.证明：由AC '垂直平分A F '可证.9.C F 'AB ⊥；

证明：12

2121(,)(,)

2y y C F AB p x x y y +'⋅=-⋅-- 222222

122112

21()0

2222y y y y y y p x x --=-+=-+=10.1cos P AF α=-；1cos P

BF α

=+；

证明：作AH 垂直x 轴于点H，则||||||||||cos ,||1cos p

AF AA KF FH p AF AF αα

'==+=+∴=-.

同理可证另一个.11.

112AF BF P

+=;证明：由1cos P AF α=

-；1cos P

BF α

=+

；得证.

12.点A 处的切线为11()y y p x x =+;

证明：（方法一）设点A 处切线方程为11()y y k x x -=-，与2

2y px =联立，得

21122()0,ky py p y kx -+-=由2110220,

x k y k p ∆=⇒-+=解这个关于k 的一元二次方程（它的差别式也恰为0）得：111,2y p

k x y =

=得证.证法二：（求导）2

2y px =两边对x 求导得11

22,,|x x p p yy p y y y y ='''==∴=得证.

13.AC’是切线，切点为A；BC’是切线，切点为B；

证明：易求得点A 处的切线为11()y y p x x =+，点B 处的切线为22()y y p x x =+，解得两切线的交点为12(,22

y y p C +'-

,得证.14.过抛物线准线上任一点P 作抛物线的切线，则过两切点Q 1、Q 2的弦必过焦点;并且12.

PQ PQ ⊥证明：设点(,)()2p P t t R -∈为准线上任一点，过点P 作抛物线的切线，切点为2

(,)2y Q y p ,

22y px =两边对x 求导得22222,,,20,22

PQ p p y t

yy p y K y ty p y y y p

p -''==

∴==∴--=+显然2

2

440,t p ∆=+>切点有两个，设为22

212

11221212(,),(,),2,,22y y Q y Q y y y t y y p p p

+==-则121

2

12

22222

2

12122222

22

FQ FQ y y py py k k y y y p y p p

p p p ∴-=

-

=

----1222

1212112212

22220,py py p p

y y y y y y y y y y =

-=-=++++所以Q 1Q 2过焦点.2222222

2

121212*********(,)(,)()2222444y y y y y y p p p PQ PQ y t y t y y t y y t

p p p +⋅=+-⋅+-=++-++ 22

22222222

2121212()2420,

242424

y y y y y y p p p t p t t t ++-+=-+-=-+-=-+-=12.

PQ PQ ∴⊥15.A 、O 、B '三点共线；B 、O 、A '三点共线；证明：A 、O 、B '三点共线2211212112.

222

OA OB y p p

k k x y y y y y y p p '⇐=⇐=-⇐=-⇐=-同理可证：B 、O 、A '三点共线.