弹性波基础理论
弹性波动理论
四、波动方程 若应力体内两相邻质点应力相同，无相对运动，静止平衡状态
若二者之间有应力差，产生波动
为研究弹性波动形成的物理机制和传播规律，须建立波的运动方程（波动方程）
波动方程: 研究介质中质点位移随时间和空间的变化规律。
在弹性理论中，对于均匀、各向同性、理想弹性介质中的三维波动方程式为
(
)
x
2u
2u t 2
一个体积为V的立方体，在流体静压力P的挤压下所发生体积形变。即每个正
截面的压体变模量（压缩模量）: 压力P与体积相对变化之比
P K=-
(1.7)
(4) 切变模量（μ）
切变模量（刚性模量）:表示了物体切应力与切应变之比
μ=
(1.8)
对于液体: μ=0，不产生切应变，只有体积变化。
(5) 拉梅常数（λ、μ） 弹性力学中：受力物体内任意点受力 沿坐标轴分为三个分力，每个分力 都会引起纵向和横向沿三个轴的应力与应变。
因此：振动图是描述地震波质点位移随时间的变化规律的图像。 图中： t1――初至，质点刚开始振动 △t――波（质点振动）的延续时间，△t的大小直接影响地震勘探的分辨率。
1.8 (a) 振动图 (b)波形记录
体波：纵、横波，在整个空间
面波：弹性分界面附近 瑞利面波：自由界面，地滚波，R波 特点：低频、低速，能量大（强振幅），旋转（铅垂面，椭圆，逆转）
天然地震中，危害极大 勒夫面波：低速带顶底界面，平行界面的波动，振动方向垂直传播方向，
SH波 特点：对纵波勘探影响不大，对横波勘探严重干扰
图1.5 (a)瑞雷面波的传播 (b)勒夫面波的传播
自然界中绝大部分物体，在外力作用下，既可显弹，也可显塑
地震勘探，震源是脉冲式的，作用时间很短（持续十几～几十毫秒），岩土受 到的作用力很小，可把岩、土介质看作弹性介质，用弹性波理论来研究地震波。
《弹性力学》第十一章 弹性波
15
由于 e 0 ，故不计体力的运动微分方程，简化后得等
容波的波动方程：
2u 2 2 c u 2 2 t
2 2 2 c 2 2 t
2w 2 2 c w 2 2 t
E 其中 c2 2(1 )
v E
得
30
v钢 5130 m / s , v混凝土 3500 m/ s
31
c2 就是等容波在无限大弹性体中的传播速度。
16
对于无旋波和等容波，我们不加证明地给出如下结论：
在弹性体中，形变、应力以及质点速度，都将和位移以相
同的方式与速度进行传播。
17
§11-3 纵波与横波
一、纵波 [定义] 弹性体的质点运动方向平行弹性波的传播方向（图示）
纵波的传播形式
18
将x轴取为波的传播方向，则弹性体内任取一点的位 移分量都有：
11
[证]：在弹性体的任一点处，该点对z 轴的旋转量
u z x y u 将 代入，可得： y x
z 0
同理
x 0
y 0
即弹性体的任一点对三个坐标的旋转量都等于零。 [得证]
12
在无旋位移状态下
u w e 2 x y z
然后介绍弹性波的几个概念，针对不同的弹性波，对运 动微分方程进行简化，最后给出波在无限大弹性体中传 播速度公式。
3
§11-1 弹性体的运动微分方程
本章仍然采用如下假设：
（1） 弹性体为理想弹性体。 （2） 假定位移和形变都是微小的。
上述两条假设，完全等同于讨论静力问题的基本假 设。因此，在静力问题中给出的物理方程和几何方程， 以及把应力分量用位移分量表示的弹性方程，仍然适用
弹性波理论在煤矿地质灾害预测中的应用
矿声波法，采矿声发射 法等预测煤矿地质 灾害的 方法，并分析 了弹性波观测法的发展前号 ，
关键词
１ 弹 性 波观 测 的 理 论 基 础
弹性波观测法是一种观测 由人工激发 的弹性波或接受煤岩 破裂 的
（ ） ２ 采矿声 发射 法 。声发 射法就是以脉 冲形式记录弱的 、低能 量的 地音 现 象 。其 主要 特性 是 振 动频 率从 几 十到 至少 ２ ０ Ｈ 或 更 ００ ｚ
弹性 波观测 法所能 够解 决的地 质问题 已从 当初 的构造探测 ，发展 到 下组煤勘探 、陷落柱 、冲刷 带探 测 、 “ 带” 、 与斯突 出监测 三 煤
和独头巷道超前探测等 范畴 ， 已取得 了不少成功 的实例 。但是 ，由 并 于煤矿井下地质条件的复杂性 ， 还存在着 许多不足之处 ，主要体现在
高；能量低于１。 ０ ，下限不定 ；振动范 围从几到大约２Ｏ Ｊ Ｏｍ。声发射研
究 的机理在 于煤岩 体是一 种非均 质体 ，其 中存在 各种微裂隙 、孔隙 等 ，以致煤岩体在受外 力作用 时就会在这些 缺陷 部位产生应力集 中。 发生突发性破裂 ， 使积 聚在煤岩体 中的能量得以释 放 ， 以弹性波的 且 形式 向外传播 。采 矿声发射方 法主要用来 确定正在掘进 的巷道或正在 开采的回采工作面的冲 击矿压危险 ，即：确 定采矿巷道或煤层部分的 冲击矿压危险状态 ；连续监测冲击矿压危险状态的变化 ；冲击矿压防 治措施 的评价及其效 果的控 制。 （ ３）采 矿声波法 。采 矿声波法主 要集 中在研究与采 矿作 业引起 的矿山动力现象 ，确定岩体的物理力学参数 ，提前认识矿床构造点等 问题。采用声波的特 点是声波研究的非破坏性 、从较大范围的岩体内 直接获得 信息 。其所用频 率为几 十￣ ０ ０ ｚ ０ Ｈ 。根 据 采矿地 质条件及
声学基础第一章-弹性波理论基础1-2(2012年新版)
、(， )分别为弹性介质的密度 和拉梅常数；
上式是位移矢量三个分量函数的波动方程，矢量形式的位移 矢量波动方程为：（！！！）
s ( x, y, z, t ) 2 ( )( s ( x, y, z, t )) s ( x, y, z, t ) 2 t
( ) 2 0 ( )( ( )) ( ) 2 t 2 2 左 0 0 t 2 t 2
显然，三个方程均为达朗贝尔方程，解为：
( x , t ) f1 ( x c l t ) f 2 ( x c l t ) 2 ( x ,t ) g1( x ct t ) g 2 ( x ct t )；其中：cl ; ct ( x ,t ) h ( x c t ) h ( x c t ) 1 t 2 t
cl
; kt
ct
坐标x处质点的运动轨迹在 3个坐标面上的投影曲线 ： （ 1 ）o x y坐标面上： X ( x, t ) A cos(t kl x) ； Y ( x, t ) B cos(t kt x) （2）o x z坐标面上： X ( x, t ) A cos(t kl x) ； Z ( x, t ) C cos(t kt x) （3）o y z坐标面上： Y ( x, t ) B cos(t kt x) Z ( x, t ) C cos(t kt x) 其中：kl
是空间椭圆（广义）曲 线
cl
; kt
ct
3o弹性介质中质点位移势函数的波动方程 据‘场论’理论，一个矢量场可表示成一个标量场的梯 度与一个矢量场的旋度之和。 定义：若,位移矢量
应用地球物理学原理第二章04弹性波的特征
03
弹性波在地壳中的传播
地壳的分层结构
地壳是地球最外层的硬壳，由 岩石和土壤组成，具有明显的 分层结构。
地球的地壳分为多个板块，板 块之间的相互作用可以产生地 震波。
地壳的分层结构对弹性波的传 播具有重要影响，不同层中的 波速和传播方向可能不同。
弹性波在不同介质中的传播
弹性波在固体、液体和气体中传播时具有不同的特征。
地下结构的不确定性可能导致弹性波传播模型的 误差，从而影响解释结果的准确性。
需要对地下结构进行详细调查和建模，以获得更 准确的弹性波传播特征。
数据处理与解释的复杂性
01
02
03
弹性波数据的处理涉及 多种算法和技术，如滤 波、反演、成像等，处
理过程较为复杂。
弹性波数据的解释需要 丰富的专业知识和经验 ，对解释人员的素质要
应用地球物理学原理第二章 04弹性波的特征
目录
• 弹性波的基本概念 • 弹性波的物理特性 • 弹性波在地壳中的传播 • 弹性波的应用 • 弹性波的局限性
01
弹性波的基本概念
弹性波的定义
弹性波
在弹性介质中传播的波动现象，由于介质的弹性性质，当 受到外力作用时，介质发生形变并产生恢复力，这种恢复 力会以波动的形式在介质中传播。
资源开发规划
通过分析地下岩层的弹性波特征，评 估资源的可开采性和开发风险，为资 源开发提供科学依据。
环境保护监测
利用弹性波技术监测环境变化，如土 壤污染、地下水污染等，为环境保护 提供技术支持。
05
弹性波的局限性
对地下结构的依赖性
弹性波的传播特性与地下结构密切相关，不同的 地下介质对弹性波的传播有显著影响。
弹性波的传播方式
弹性波可以通过反射、折射、散射等方式传播， 其传播路径和速度受到介质的不均匀性和边界条 件的影响。
弹性波场理论基本概念介绍
弹性波场理论基本概念介绍引言测绘是一门数学性很强的学科，许多数学的理论在测绘中应用非常的普遍。
如最小二乘法，最小范数法，回归分析法，各种曲线拟合法，蒙特卡罗法，模拟退火法，遗传算法，等等。
只要是在数学领域可以应用的方法，在测绘的实际应用中同样可以。
同时，测绘学科也是一门与地球物理紧密相关的学科，在地球物理中的很多理论方法在解决测绘问题中都起到了非常重要的作用。
如流体力学的应用，弹性力学的应用，等等。
本文主要是介绍一下地球物理学的关于弹性波场的理论，最后做了简要的展望。
弹性波场就是在弹性介质中传播的波。
弹性介质在外力或扰动的作用下会发生体积和形状的变化(称为形变)，产生所谓应变。
应变可分为纵向(或胀缩)应变和横向(或剪切)应变。
这些应变用弹性常数来表示。
当一扰动作用于均匀各向同性完全弹性介质时，在弹性介质内有胀缩应变的纵向位移形式向前传播的纵波存在，同时也有以剪切横向位移形式向前传播的横波存在。
纵波传播速度比横放传播速度快，在地震时纵波比横波先到。
地震波的实质就是地下岩石中传播的弹性波。
在地震波传播范围内绝大部分岩石都可以 近似地看成理想弹性体或完全弹性体。
因此弹性力学的许多理论和概念可以引人地震勘查中 来。
在这里我们重复了一些弹性力学的概念，是为了将它们引伸到地震勘查范围中来，着眼点是从地震勘查的角度描述这些基本概念。
一 应力和应变(一)应力当弹性体在外力作用下发生形变时，总有一种阻止弹性体形变，欲恢复弹性体原状的内力，这种内力称为内应力，简称应力。
应力可定义为单位面积上的内力。
注意，应力的量纲不是力的量纲而是单位面积上力的量纲，因此有的书将应力称为“胁强”。
根据力的分解定理，可将弹性体内任意方向的应力分解为垂直于单位面积的法向应力和 相切于单位面积的剪切应力。
描述弹性体内某一点M 的应力，在直角坐标系中常取一小平行六面体、六面体的每个面都垂直坐标轴(图1)，考虑这些面上的应力，可得九个应力分量，即法向应力xxσ，yyσ，zzσ剪切应力xyσ，xzσ，yxσ，yzσ，zxσ，zyσ。
【优质】弹性波场理论基本概念介绍
弹性波场理论基本概念介绍引言测绘是一门数学性很强的学科，许多数学的理论在测绘中应用非常的普遍。
如最小二乘法，最小范数法，回归分析法，各种曲线拟合法，蒙特卡罗法，模拟退火法，遗传算法，等等。
只要是在数学领域可以应用的方法，在测绘的实际应用中同样可以。
同时，测绘学科也是一门与地球物理紧密相关的学科，在地球物理中的很多理论方法在解决测绘问题中都起到了非常重要的作用。
如流体力学的应用，弹性力学的应用，等等。
本文主要是介绍一下地球物理学的关于弹性波场的理论，最后做了简要的展望。
弹性波场就是在弹性介质中传播的波。
弹性介质在外力或扰动的作用下会发生体积和形状的变化(称为形变)，产生所谓应变。
应变可分为纵向(或胀缩)应变和横向(或剪切)应变。
这些应变用弹性常数来表示。
当一扰动作用于均匀各向同性完全弹性介质时，在弹性介质内有胀缩应变的纵向位移形式向前传播的纵波存在，同时也有以剪切横向位移形式向前传播的横波存在。
纵波传播速度比横放传播速度快，在地震时纵波比横波先到。
地震波的实质就是地下岩石中传播的弹性波。
在地震波传播范围内绝大部分岩石都可以 近似地看成理想弹性体或完全弹性体。
因此弹性力学的许多理论和概念可以引人地震勘查中 来。
在这里我们重复了一些弹性力学的概念，是为了将它们引伸到地震勘查范围中来，着眼点是从地震勘查的角度描述这些基本概念。
一 应力和应变(一)应力当弹性体在外力作用下发生形变时，总有一种阻止弹性体形变，欲恢复弹性体原状的内力，这种内力称为内应力，简称应力。
应力可定义为单位面积上的内力。
注意，应力的量纲不是力的量纲而是单位面积上力的量纲，因此有的书将应力称为“胁强”。
根据力的分解定理，可将弹性体内任意方向的应力分解为垂直于单位面积的法向应力和 相切于单位面积的剪切应力。
描述弹性体内某一点M 的应力，在直角坐标系中常取一小平行六面体、六面体的每个面都垂直坐标轴(图1)，考虑这些面上的应力，可得九个应力分量，即法向应力xx σ，yy σ，zz σ剪切应力xy σ，xz σ，yx σ，yz σ，zx σ，zy σ。
声学基础第一章-弹性波理论基础1-3(2012年新版)
弹性体振动问题之一：均匀细棒的纵振动
集总参数振动系统：在同一空间位置上，振动系统只 有弹性，或者只有惯性（或阻尼）。
例如：第一章研究的振动问题涉及的振动系统就是
‘集总(中）参数振动系统’。
分布参数振动系统：在同一空间位置上，振动系统既
具有弹性又有惯性（或阻尼）。
本节研究的均匀细棒的纵振动中的均匀细棒就是‘分 布参数振动系统’
n a n cos( z ) cos( n t n ) L n 1
其中：a n 和 n由初条件确定。
( n 0项无意义，舍去）
分析： n 定义， n ( z , t ) an cos( z ) cos( nt n）；为两端 L 自由均匀细棒纵振动的 第n阶简正振动位移函数。 前2阶简正振动的振幅在棒 中的分布示意图：
[2]均匀细棒纵振动的比阻抗转移公式：
分析棒中波场的传播特性：棒为有限长，则由于端面 的反射，在棒中存在相向传播的平面波：
位移函数为：
（z , t ) Ae j (t kz) Be j (t kz) ;
Ae
j (t kz )
k ;
c0
ARe
j (t kz )
作业：理想流体 c，在z 0处有法线声阻抗率为 Zn的 界面；有谐合平面波沿 z坐标轴正向传播入射到 的界面 上。试求： （ 1 ）界面的声压反射系数 和振速反射系数； （2）波场在z处的波阻抗；
2-87、2-88、2-89（选）
2-91、2-96
sin(k z L ) 0 k z L n
n kz kn L
n 0,1,2,3...... k z n n k n c0 c0 L
1.1地震波动力学_1_c1
1.2 纵波与横波
纵波与横波的特点
1.2 纵波与横波
横波的传播特征
1.2 纵波与横波
1.2.2 振动图和波剖面
波的相位、波的振幅、视周期、视频率、视波 长、波数
1.2 纵波与横波
球面波传播与纵波传播
1.2 纵波与横波
球面波的质点位移
1.2 纵波与横波
1.2.3 地震波的频谱
1.1 弹性波理论基础
1.1.1 理想介质和粘弹性介质
理想介质：完全弹性体，外力取消后，能 够立即完全地恢复为原来状态 的物体。
粘弹性介质：塑性体，外力去掉后，仍保 持其受外力时ຫໍສະໝຸດ 形态。1.1 弹性波理论基础
1.1.1 应力、应变与弹性常数
应力：法向应力，切应力
1.1 弹性波理论基础
1.1.1 应力、应变与弹性常数
地震子波 振幅谱 相位谱 傅立叶正变换 傅立叶反变换
1.2 纵波与横波
1.2.4 地震波的能量、吸收与衰减 地震波的能量 与球面扩散
1.2 纵波与横波
1.2.4 地震波的能量、吸收与衰减 波的吸收衰减
第1篇 地震勘探
地震勘探：研究人工激发的地震（弹性）波在浅 层岩、土介质中的传播规律。 波传播的动态特征的两方面： 运动学特征：波传播的时间与空间的关系； 动力学特征：波传播中其振幅、频率、相位等的 变化规律。
1 地震波动力学
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 弹性理论基础 纵波与横波 地震波的传播 地震面波 地震波的绕射 反射地震记录道的形成 地震勘探的地质基础
应变：线应变 体应变 切应变 转动
1.1 弹性波理论基础
弹性常数
胡克定律： f = -k x
声学基础第一章-弹性波理论基础1-1(2012年新版)
这是，‘相对位移形变张量（矩阵）’； 它是产生应力的原因， 但并不是‘相对位移形变张量（矩阵）’的全部对产生应力有贡献。
根据矩阵分解定理，可知：
d dr
x x x
y y y
z 33 '33 z z
6 5 2 4 4 3
其中：正应变： xx 1; x
yy
2; y
zz 3; z
切应变： yz zy ( ) 4; z y xz zx ( ) 5 ; z x
33 和 '33 分别为3 3阶对称矩阵和 3 3阶对角 其中，
线0元素的反对称矩阵。
有：
33
x 1 ( ) 2 y x 1 ( ) 2 z x
1 ( ) 2 y x y 1 ( ) 2 z y
第一章 完全弹性体介质中弹性波传播规律
流体（液体、气体）的力学特征：流体中任取一个面元，面元所受
周围流体的作用力,其大小与面元有关，方向总是垂直于面元（无切
向力）。
理想流体；流体中体元作机械运动时无机械能损耗。
理想流体中的机械波是纵波。
弹性体（固体）的力学特征：弹性体中任取一个面元，面元所受周 围弹性体的作用力，其大小和方向均与面元有关，但方向并不一定 与面元垂直（存在切向力）。
1 ( ) 2 z x 1 ( ) 2 z y z
'33
1 0 ( ) 2 y x 1 ( ) 0 2 y x 1 ( ) 1 ( ) 2 z x 2 z y
弹性波理论
地震波交错网格高阶差分数值模拟研究摘要: 地震波数值模拟技术是勘探地球物理学中的重要组成部分，研究通过弹性波一阶速度——应力方程，采用交错网格高阶有限差分法实现了地震波在各向同性介质中的高精度的数值模拟，并采用完全匹配层( PML) 吸收边界来消除边界反射，可取得较好的效果。
通过模型的正演计算和复杂模型的处理结果表明，交错网格高阶有限差分法数值模拟是一种快速有效的地震波数值模拟方法。
关键词: 地震勘探; 交错网格; 有限差分; 数值模拟引言地震数值模拟是模拟地震波在介质中传播的一种数值模拟技术，随着地震波理论在天然地震和地震勘探中的应用，地震模拟技术便应运而生，并随着地震波理论和计算机技术的发展，地震数值模拟技术自20世纪60年代以来也得到了飞速发展，形成了目前具有有限差分法、有限元法、虚谱法和积分方程法等各种数值模拟方法的现代地震数值模拟技术。
有限差分法是偏微分方程的主要数值解法之一。
在各种地震数值模拟方法中，最早出现的数值模拟方法是有限差分法。
Ａlterman和Karal(1968)首先将有限差分法应用于层状介质弹性波传播的数值模拟中。
此后，Boore(1972)又将有限差分法用于非均匀介质地震波传播的模拟。
Alford等（1974）研究了声波方程有限差分法模拟的精确性。
Kelly等（1976）研究了用有限差分法制作人工合成地震记录的方法。
Virieux(1986)提出了应用速度——应力一阶方程交错网格有限差分法模拟P——SV波在非均匀介质中的传播。
交错网格方法提高了地震模拟的精度和稳定性，并消除了部分假想。
有限元法也是偏微分方程的数值解法之一。
Lysmer和Drake（1972）最早将有限元法应用于地震数值模拟。
Marfurt(1984)研究对比了模拟弹性波传播的有限差分法和有限元法的精度。
Seron等（1990,1996）给出了弹性波传播有限元模拟方法。
Padovani等（1994）研究了地震波模拟的低阶和高阶有限元法。
声学基础第一章-弹性波理论基础1-5(2012年新版)
s
z 2 ds;
据牛顿第二定律，微元dx的y方向运动方程为： Sdx d 2 ( x ,t ) dt
2
EI
4 ( x ,t ) x
4
dx
d 2 ( x, t ) 2 ( x, t ) 小形变条件下，略去高 阶小量有： 2 dt t 2 2 ( x, t ) 4 ( x, t ) S EI 2 t x 4 4 2 ( x, t ) EI 2 ( x, t ) 2 a ; 其中：a 2 4 t x S ！！此式为棒横振动（ 弯曲振动）波动方程。 （ 波的物理量是，是y方向位移；向x方向传播。 是横波。） 注意：它与以前所学波 动方程的差别！ 4阶空间导数。
结论：棒是弯曲波的频 散介质。
3o棒弯曲振动的形式解：
‘ 分离变数法’ 求解： 令， ( x, t ) Y ( x)T (t )；代入棒的弯曲振动波 动方程：
4 2 ( x, t ) 2 ( x, t ) a 2 t x 4
EI ; 其中： a S
2
d 2T (t ) 得： 2T (t ) 0 dt
a
) L cos (
a
) L 1
( 这是超越方程，无解析解）
若 n为方程chx cos x 1的第n个根，则，可得：
1 1.875;
2 4.694;
3 7.855;
4 10.995;
1 n ( n ) ,( n 4 ) 2
a(
S
( z : 距中性面的距离）
x
2 z ds S
EI ； x
(力矩方向：穿出纸面为 正（左示意图）)
声学基础第一章-弹性波理论基础1-4(2012年新版)
质，是两个相向传播的波；
集总参数系统的振动表现为质量的往复运动。
②分布参数系统的振动特性与材料性质和边界条件有关；
集总参数系统的振动只决定系统的质量和弹性及阻抗。 ③分布参数系统的动能和势能分布在整个弹性体中； 集总参数系统的动能集中在质量上；势能集中在弹簧上。
2o 等效系统与等效参数 定义： 等效系统，当分布参数系统在某种振动状态下的动能和势能 与一个集总参数系统的动能和势能相等时，则称这个集总参 数系统是该分布参数系统在该振动状态下的等效系统。
2L
1 1 2 2 S cos t z dz ( SL ) 0 cos2 t 2 3
2
2Байду номын сангаас
1 2 其等效集总参数系统的动能为： M e u 0 2 u 0是参考点的振速：u 0 (
( M e是等效质量）
0
L
z sint t ）
zL
0 cost
1 1 1 2 2 2 M e ( 0 cost ) ( SL ) 0 cos2 t 2 2 3 1 1 M e SL M 3 3
棒中势能为棒端外力作功的负值；也即棒端形变力作功： F STzz SE SE( z
( z L ,t )
0
L
z sint z
SE ) SE sint ( z L ,t ) L L
0
Ep
0
( z L ,t )
F ( z L ,t )d ( z L ,t )
得到，下右图的集总参数系统是左图的分布参数系统
c 1 在低频振动状态下（ ）的等效系统。 4L
SE L
二者互为等效系统
弹性波动力学基础
第1章 绪论1.1 弹性波场论概述在普通物理的力学部分，我们曾经着重讨论过物体在外力作用下的机械运动规律。
在讨论时，由于物体变形影响很小，我们将其忽略，而将物体视为刚体或简化为质点，这是完全正确的。
然而，实际上任何物体在外力作用下不仅会产生机械运动，而且会产生变形。
由于变形物体内部将相互作用，产生内力、应力和应变。
当应力或应变达到一定极限时，物体就会破坏，这一点在研究材料和工程力学中尤其要考虑，地球介质也不例外，地壳运动或地震都会产生地质体的应力或应变。
在弹性力学中，主要讨论对物体作用时的变形效应，物体不再假定为刚体，而是弹性体、塑性体，应当视为可变形体，我们研究的视角也从外部整体过渡到内部局部。
长期的生产实际和科学实验均已表明，几乎所有的物体都具有弹性和塑性。
所谓的弹性是指物体的变形随外力的撤除而完全消失的这种属性。
所谓的塑性是指物体的变形在外力的撤除后仍部分残留的这种属性。
物体的弹性和塑性受诸多因素影响而发生改变，并在一定的条件下相互转化。
因此，确切地，应当说成物体处于弹性状态或塑性状态，而非简单地说物体是弹性体或塑性体。
在弹性力学中，只讨论物体处于弹性状态下的有关力学问题，这时物体可称为弹性体。
由上所述，弹性力学又称弹性理论，研究的对象是弹性体，其任务是研究弹性体在外界因素（包括外力，温度等）作用下的应力、应变和位移规律。
简单地说，弹性力学就是研究弹性体的应力、应变和位移规律的一门学科。
弹性力学是固体力学中很重要的一个分支。
而固体力学是从宏观观点研究固体在外力作用下的力学响应的科学，它主要研究固体由于受外力作用所引起的内力（应力）、变形（应变）以及与变形有直接关系的位移的分布规律及其随时间变化的规律。
可见，应力、应变和位移是空间和时间的函数。
与固体力学对应的还有流体力学等。
固体力学还包括材料力学，断裂力学等等。
弹性力学本身又分为弹性静力学（Elasticity Statics ）和弹性动力学（Elasticity Dynamics ）。
弹性波动力学复习提纲课件
04 弹性波的散射和干涉
弹性波的散射
弹性波散射的定义
弹性波在传播过程中遇到障碍物时，其传播方向和能量分布发生变化的现象。
弹性波散射的分类
瑞利散射、米氏散射、共振散射等。
弹性波散射的物理机制
波动与障碍物相互作用，产生反射、折射、吸收等现象。
弹性波散射的数学模型
散射波函数、散射系数等。
弹性波的干涉
三维波动方程
总结词
三维弹性波的波动方程是描述弹性波在三维空间介质中传播的基本方程。
详细描述
三维波动方程适用于描述任意方向传播的波，适用于各种复杂的三维介质结构。该方程全面考虑了波 在三维空间中的传播特性，包括波的传播方向、速度以及介质中质点的位移、速度和加速度。
边界条件和初始条件
总结词
边界条件和初始条件是确定弹性波波动方程解的重要约束条件。
随着入射角的增大，反射系数会发生变化。
弹性波的折射
1 2
折射系数
描述入射波与折射波之间振幅关系的系数。
斯涅尔定律
入射角等于折射角。
3
折射系数与入射角的关系
随着入射角的增大，折射系数也会发生变化。
全反射和透射
要点一
全反射
当入射角达到某一临界值时，折射波消失，只剩下反射波 。
要点二
透射
当入射角小于某一临界值时，折射波存在，且其振幅与入 射波相似。
详细描述
通过向物体内部发射弹性波并检测反射回来的波，可 以判断物体内部的缺陷、损伤等，如飞机、高铁等大 型机械的检测，确保其安全运行。
声呐探测
总结词
利用弹性波在水中传播的特性进行水下探测和通信。
详细描述
声呐系统通过向水下发送声波并接收回波，可以探测水 下目标的位置、大小、形状等信息，广泛应用于海洋科 学研究、水下考古等领域。同时，声呐技术还可用于水 下通信，实现水下设备之间的信息传递。
工程地质动测技术_弹性波法
10.视速度定理 地震波的传播方向是沿波射线的方向进行的。因此在观测地 震波时，只有和波射线的方向一致，才能测得传播速度的真值 V。而沿任一观测方向测得的速度值，并不是地震波传播的真 实速度值，而是沿观测方向、距离(这距离不等于波传播的实 际路径)和波实际传播时间的比值，这种速度称之为视速度V* 。
工程地质动测技术
第二部分：弹性波法
第一章基础知识
弹性波法是工程物探中最常见的一种重要的测试方法，人工 建立的弹性波在介质中传播的动态特征集中反映在两个方面， 一是波的传播时间和空间的关系，称为运动学特征，另一是波 传播中的振幅、频率和相位的变化规律，称动力学特征，利用 相关的仪器设备观测着两种特性即研究波场特征，从而解决实 际工程问题的一种方法。
②频率Fp>Fs>Fr ③频散 瑞雷波在成层状介质中具有频散特性，即瑞雷波的速度是 其频率的函数，也就是说瑞雷波的速度随频率而变化。 ④能量Er>>Es>Ep 根据经典的波动理论，在一次激发的能量中，纵波、横波 和瑞雷波所占的相对能量如下表格
波的类型 瑞雷波 纵波 横波 ⑤衰减
相对全部能量的百分比 67 7 26
备注
纵波和横波的波前为半球形面，其面积正比于半径r的平 方（r为震源到波前面的距离）。而瑞雷波的波前面约为一高 度为r的圆柱体，其波前面面积与r成正比，这就是说，体波 的振幅反比于波传播的距离。衰减与1/r成正比，瑞雷波的能 量衰减与1/r0.5成正比。因此瑞雷波能量随传播距离的衰减 较慢
６.振动图和波剖图 为了具体地描述弹性波的形态，我们引进质点的振动图和 波剖图的概念。 振动图是指质点离开平衡位置与弹性波旅行时间函数关系 的图象。在振动图上我们可以引出以下的概念：
⑴将相邻波峰或波谷之间的距离定义为视波长λ*
弹性波场论基础
double***san_wei(int x,int y,int z) { double ***m; m=(double ***)malloc(x*sizeof(double**)); for(int i=0;i<x;i++) { m[i]=(double**)malloc(y*sizeof(double*)); for(int j=0;j<y;j++) m[i][j] = (double*)malloc(z*sizeof(double)); } return m; }
2 t2
2 2
cos 2πft，模拟图如图所示，为一衰减周期函数，模拟爆炸
面为球面，在空间二维上显示为深度，宽度的圆形波阵面。在时间 t=△t*300=0.3s 内， 波传播了 s=v*t=600m,此时波前为一半径为 600m 的圆形波阵面，如图所示。
附：生成波场数据文件的程序： //波前快照 #include<stdio.h> #include<stdlib.h> #include<math.h> #define pi 3.1415926 #define Xn #define Zn #define Tn 300 300 400
声波方程模拟
姓名______________ 年级___________________ 学号___________________ 任课教师________________
小模型
大模型
程序
分析
拓展
总分
小模型 整个区域的速度值设为常数，即只有一种介质，将震源点放在模型中间，分别记录两 个时刻的波前快照（即该时刻区域内所有网格点的波场值）。第一时刻为地震波还未 传播到边界上的某时刻，第二时刻为地震波已经传播到边界上的某时刻，
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地震波基础知识
人工地震—由人为活动引起的振动。
工业爆破、地下核爆炸造成的振动
炸药震源—深部勘探
机械震源—浅层勘探
地震波基础知识
弹性介质：若某物体在外力作用下产生形变；当 外力去掉之后，物体能迅速恢复到受力前的形态和 大小，物体的这种性质称为弹性。具有这种性质的 物质，称为弹性介质 塑性：如果外力超过物体的弹性极限，或外力 作用时间太长，当外力消失时，物体不能恢复原 状，物体的这种性质被称为塑性。
5个弹性参数之间的关系：
Vs2 (3V p2 4Vs2 ) E 2 2 V V p s V p2 2Vs2 2(V p2 Vs2 ) Vs2 K (V p2 4 Vs2 ) 3 2 (V 2V 2 ) p s
地震波基础知识
在某一时刻t0开始在介质中激起 波源的振动。过了一段时间，到了 时刻△t(△ t> t0)，波源的振动 可能停止，而t1=t0+△t时的波正 在振动，这个时候，介质中分几个 区域，分界面S上，介质中的各点 刚刚开始振动，这一曲面S叫波在 时刻t的波前；在分界面S’上，介 质中的各质点刚刚停止了振动，这 一曲面S’叫波在△t时刻的波后 （波尾）。
地震波基础知识
P波
P波早于S波到达地面 S波破坏性更大
S波
地震波基础知识
面波 纵波和横波都在介质内部传播，统称为体波。 根据弹性力学理论，还有两种仅仅沿弹性介质表 面传播，离开表面而深入介质内部就会衰减。 一种是沿介质与大气接触的自由表面传播的面波， 称为瑞雷面波 。 另外一种则是沿 两弹性介质之间 的传播的面波 ， 称为勒夫面波。
地震波基础知识
横波 又叫做切变波或 S波。它是由旋转力作用， 弹性介质产生形状形变，这种形变引起的振动称 为横波。该波的传播方向与质点的振动方向相垂 直。质点振动在水平平面中的横波分量称为 SH 波，在垂直平面中的横波分量称为SV波。
地震波基础知识
地震波主要分为两种，一种 是表面波，一种是体波。表面 波只在地表传递，体波能穿越 地球内部。 S波只能在固体中传 递，无法穿过液态外地 核。 P前进速度最快，也最 早抵达。P波能在固体、 液体或气体中传递
其核心思想是：介质中任 一处的波动状态是由各处的 波动决定的。
费马原理
光在任意介质中从一点传播到另一点时，沿所需时 间最短的路径传播。 这一最佳路径就称为射线
费马原理（最短时间原理）
费马原理是几何光学中的一条重要原理，由此原理可证明光 在均匀介质中传播时遵从的直线传播定律、反射和折射定律。 光的可逆性原理是几何光学中的一条普遍原理，即若光线在 介质中沿某一路径传播，当光线反向时，必沿同一路径逆向 传播 。 费马原理规定了光线传播的唯一可实现的路径，不论光线正 向传播还是逆向传播，必沿同一路径。
动量传递的抵抗能力。波阻抗大的岩石往往比较
难于爆破。 界面两侧的波阻抗变化，对波的能量传播有很大 影响。
地震波基础知识
界面两侧波阻抗相等时，入射波的能量全部透过界面 传到另一侧。 界面两侧波阻抗不等时，无论增大或变小，人射波的 能量都不能全部透过界面传到另一侧。 界面前方的波阻抗为零时称自由端反射，反射波和人 射波的幅度大小相等符号相反; 界面前方的波阻抗为无限大时，称固定端反射，反射 波的大小、符号都与入射波相同，透射波则是入射波 的两倍。
反射规律
利用 Fermat原理可以展示射线的反射规律
B
1
2 5 4
3
3.斯奈尔（Snell）定律
如右图：地震波在分层介质中传播时，遵循下面这样一 个式子：
其中p称为射线参量；此式表示 的是入射、反射、和透射间的关 系，这就是著名的Snell定律。在 界面上进行地震波传播计算时所必须遵循的和经常用到 的一个定律。
33
地震波的传播规律
惠更斯原理（波前原理） 费马原理（射线原理或最小时间原理） 斯奈尔（Snell）定律 视速度定理 地震波速度
地震波的传播规律
惠更斯原理
行进中的波阵面上任一点都可看作是新的次波 源，而从波阵面上各点发出的许多次波所形成 的包络面，就是原波面在一定时间内所传播到 的新波面。
地震波的传播
这个扰动由水粒的简单前后运动连续地传下去，从一个颗粒 把运动传给更前面的颗粒，水并没有朝着水波传播的方向流 ， 这样，水波携带能量向池边运移并在岸边激起浪花。地震运动 与此相当类似。我们感受到的摇动就是由地震波的能量产生的 弹性岩石的震动。
地震波基础知识
振幅，周期，频率
某一时刻t各点的振动图，波的剖面图
地震波基础知识
各向同性介质中的弹性系数（弹性模量）
(一)杨氏模量（拉伸模量）： 定义为
应力 F/S E 应变 L / L
一条长度为L、截面积为S的金属丝在力F作用下伸长ΔL。 F/S叫应力，其物理意义是金属丝单位截面积所受到的力； ΔL/L叫应变，其物理意义是金属丝单位长度所对应的伸长 量。表示物体抗拉伸或挤压的力学参数。E越大，抗拉伸或 挤压的阻力越大。
S’
S
什么是地震波的 波前、波后？
地震波基础知识
波阻抗：地震波在介质中传播时，作用于某个面积上的压 力与单位时间内垂直通过此面积的质点流量(即面积乘质点 振动速度）之比，具有阻力的含义。
其数值等于介质密度p与 纵波速V的乘积。
Z=ρv
地震波基础知识
它表明应力波在岩体中传播时，运动着的岩石质 点产生单位速度所需的扰动力。它反映了岩石对
泊松比是指材料在单向受拉或受压时，横向正应变与轴向 正应变的绝对值的比值，也叫横向变形系数，它是反映材料 横向变形的弹性常数。泊松比反映的是物体的横向拉伸（或 压缩）对纵向的压缩（或拉伸）的影响， 越大，影响越小。 一般坚硬的岩石泊松比较小，未胶结的砂土泊松比较高。
地震波基础知识
(四) 体积模量
某一点在各个时刻的振动图
地震波基础知识
体波 ：即在介质整个体积内传播的弹性波， 如纵波和横波， 称之为体波。
地震波基础知识
纵波
又叫 P波。它是由胀缩力作用，弹性介质产 生的体积形变，这种形变所引起的振动则称为纵 波。该波的传播方向和质点振动的方向一致。 纵波经过的介质，会间隔地出现膨胀（稀疏）带 和压缩（稠密）带， 故纵波有时也叫疏 密波或压缩波。
弹性介质的几种类型：
根据弹性性质与空间方向的变化关系分： A. 各向同性介质：弹性体的弹性性质与空间方向无关。 B. 各向异性介质：弹性体的弹性性质与空间方向相关。 根据地震波速与空间位置的变化关系分： A．均匀介质：地震波速不随空间坐标变化而变化。 B．非均匀介质：地震波速随空间坐标变化而变化。 C．连续介质：地震波速在介质中连续变化。 D．层状介质：在非均匀介质中，介质的地震波速变化 表现出成层性。
2 V p V s
地震波基础知识
地震波的传播
弹性介质受外力作用时，其质点将产生相对位移，出现 体积或形状改变，统称为形变； 一旦外力去除，由于弹性体内力 作用，使介质完全恢复到原来的 大小和形状。 在震源作用下，介质质点 产生弹性振动并由震源向 周围介质辐射或传播，形 成地震波动。
地震波基础知识
(二)剪切模量（切变模量）： 定义为
剪切力 F/S 剪切形变
是表示物体阻止剪切应变的力学参数，单位与应力 相同。 越大，切应变越小。液体中 =0
它表征材料抵抗切应变的能力。剪切模量大，则表 示材料的刚性强
为切变角
地震波基础知识
(三)泊松比
定义为
横向拉伸(或压缩) d / d 纵向压缩(或拉伸) L / L
第一篇
地震勘探基本理论与方法
地震勘探：以不同岩（矿）石间的弹性差异为基础， 通过观测和研究地震波在地下岩层中的传播规律， 借以实现地质勘查找矿目的的物探方法。 应用领域：主要用于油气田、煤田地质构造的勘探， 地壳测深，工程地质勘察等。
理论研究； 2. 野外资料采集； 地震勘探技术的流程： 3. 室内数据处理； 4. 地震地质解释 ‥ ‥等。
干扰波(noise)：地震勘探中妨碍分辨有效波的振动都属于 干扰波。干扰波大体上可分为两种：其中具有明显传播规 律的称为规则干扰或干扰波，如声波、面波，多次波等等
没有明显传播规律性的振动称为随机干扰，如微震等。抗 干扰的问题是关系到地震勘探中提高勘探的质量的极其重 要的问题。因此，在野外工作和资料处理上采用多种措施， 以提高有效波而压制干扰波。干扰波有时也是相对的概念， 如在反射法中，折射波就常被当成干扰波。
地震波基础知识
关于弹性和塑性的两个观点
观点1：弹性与塑性是两个极限概念，是为了解决
或讨论问题的方便常常要作的假设。多数情形下，
介质的性质介于二者之间，没有绝对的弹性和塑性。
观点2：一种材料或物体的弹、塑性与内因和外因 两方面的因素有关。
内因：材料本身的性质；
外因：作用力的大小，作用时间的长短。
地震震类方法: 反射法 折射法 透射波法 面波法
地震波
桩基无损检测法
声波
第一章
地震波动力学
震源：它是有一定大小的区域，又称震源区或震源体，是地
震能量积聚和释放的地方。人为因素引起的地震的震源称人工震 源，如人工爆破（炸药爆破，核弹试验）等。天然地震震源和人 工爆破震源的性质有很大区别。一般而言，天然地震主要发生在 断层上，以剪切错动为止；而人工爆破震源却是以一点为中心向 周围膨胀的过程。
地震波基础知识 地震波速度
地震波的传播速度可用坐标函数V＝V（x,y,z） 来表示。但在实际生产工作中，这种函数的 关系是无法精确确定的，只能对介质进行适 当简化，或根据取得速度的原始资料和计算 方法的不同，以及应用领域的不同，来获得 实际的近似地震速度。需要明确的是，以下 介绍的每种速度的概念、导入原因、计算或 测定的方法以及使用范围等均有所差异；