组合数学第二章[鸽巢原理]

Ramsey
定理
3. Ramsey数的简单性质 [定理] r (a ,b)= r(b, a)；r(a,2)=a。
[证] K r(a, b )的边红蓝２着色，有 红Ka或蓝Kb。将红蓝２色对换，就 有红Kb或蓝Ka。 第二个等式是指存在一个a个顶 点的红色完全图，或者存在一条兰 色边。
Ramsey
鸽巢原理 加强形式
[例1] 如图所示的大小盘子，都被均匀地分成200 个扇形。大盘中任选100个扇形图红色，余下 100个图兰色。小盘中的扇形可任意涂成兰色 或红色。证明，能够将两盘子的扇形对齐使得 小盘子和大盘子上相同颜色重合的扇形数目超 过100个。 [证] 可考虑大盘固定，小盘转动，每转动一个 扇形时匹配的扇形数mi，1≤i≤200。 当小盘转过一圈时，每个小盘上的扇形无论红 或兰，都会与大盘上100个扇形匹配，故总匹 配扇形数为200*100=20000，平均数为 20000/200=100。故必有某mi≥100。
第二章 鸽巢原理
§2.1 鸽巢原理基本形式
§2.2 鸽巢原理的加强形式
§2.3 Ramsey 定理
鸽巢原理 基本形式
§2.1 鸽巢原理基本形式
鸽巢原理是组合数学中最简单也是 最基本的原理，也叫抽屉原理。即： 若有n个鸽子巢，n+1个鸽子，则至 少有一个巢内有至少有两个鸽子。 [例1]13人中至少有２人的生日在同一月 份。 [例2]参加一会议的人中每人至少和其他 一人相识，则至少有２人认识的别的参 加者的人数相等。
鸽巢原理 基本形式
[例5] 设 a1 , a2 , · , am是正整数序列， · · 则至少存在k和l , 1≤k≤l≤m，使得和 ak+ak+1+·+al是m的倍数。 · · [证] 记Sk= a1+a2+·+ak，且记Sk≡ rk · · mod m，其中0≤rk<m，k=1,2,·,m。 · · 若存在l，使Sl≡0 mod m则命题成立。 否则，1≤rk≤m-1，即m个余数置于 m-1个盒子里，故存在 rk = rh，即 Sk≡ Sh。不妨设 h＞k，则Sh-Sk= ak+1+ak+2+… +ah ≡0 mod m 。
Ramsey
定理
设K6的顶点集为{v1 , v2 , · , v6 }，dr(v) · · 表示与顶点 v 关联的红色边的条数， db(v)表示与 v 关联的蓝色边的条数。在 K6 中，有dr(v)＋ db(v)＝5，由鸽巢原理 可知，至少有3条边同色。不妨设有3条 红色，并记这3条边对应的顶点是v1、v2 和v3。
[例4] 设 a1 、a2 、a3为任意3个整数， b1b2b3为a1 、a2 、a3的任一排列，则 a1b1、a2-b2 、a3-b3中至少有一个是偶数。 [证] 由鸽巢原理， a1 , a2 , a3必有两个同 奇偶。设这３个数被２除的余数为 xxy， 于是b1 , b2 , b3中被２除的余数有２个x， 一个y．这样a1-b1、a2-b2 、a3-b3被２除 的余数必有一个为０。
定理
[定理] 当a , b ≥２时，有 r(a,b)≤r(a－1 ,b)＋r(a ,b－1) [略证] 对r(a－1,b)＋r(a,b－1)个顶点 的完全图红蓝２着色。任取其中一点 v， 有： dr(v)+db(v)=r(a-1, b) + r(a , b-1)-1 因此，必然有dr(v)≥r(a-1,b)，或者 db(v)≥r(a,b-1)，二者至少有一个成立。 若不然，有 dr(v)≤r(a-1,b)-1，且db(v)≤r(a,b-1)-1 则dr(v)+db(v)≤r(a-1, b) + r(a , b-1)-2。
鸽巢原理 加强形式
上一小节的鸽巢原理一是这一原 理的特殊情况，即m1=m2=…=mn=2。 [推论1] m只鸽子进n个巢，至少有 一个巢里有 只鸽子。 [推论2] n(m-1)+1只鸽子进n个巢， m / n 至少有一个巢内至少有m只鸽子。 [推论3] 若m1 , m2 , … , mn是正整 数，且(m1+m2+…+mn)/n≥r，则 m1,…,mn中至少有一个不小于r。
鸽巢原理 加强形式
否则，所有的 li ∈[ 1 , m]，其中必有 (mn 1) / m n 1 个li相等．不妨设为 li li li li ，其中1≤i <i < · <i ≤mn+1。 · n+1 · 1 2 此时，必有ai >ai >·>ai ，即有一长度为 · · n+1的减子列。 否则，不妨设ak <ak ，则将ak 置于由 ak 开头的递增子序列前构成了以ak 开头 的子序列，这导致lk >lk2，与这些li相等 假定矛盾。
鸽巢原理 基本形式
鸽巢原理 基本形式
[例6] 设a1 , a2 , · , a100是由 1和２组成的 · · 序列 , 已知从其任一数开始的顺序10个 数的和不超过16．即 ai + ai+1 +… + ai+9 ≤16，1≤ i ≤91 则至少存在 h 和 k ，k > h，使得 ah + ah+1 +… + ak = 39 [证] 令Sj= a1+a2+…+ aj，j =1 , 2 , … ,100。 显然有S1<S2<…<S100，且S100=(a1+… +a10)+(a11+…+a20)+… + (a91+…+a100)。
△v1v2v3是红△
√
K4(v2v3v4v5)是蓝K4
Ramsey
所以，K9的边红、蓝２着色， 必有角形或红色K4 。 [推论3] K18的边红，蓝２着色，存 在红K4或蓝K4 。 [证] 设18个顶点为v1 , v2 , · , v18 。 · · 从v1引出的17条边至少有９条是同 色的，不妨先假定为红色。从而可 得下面的判断树证明命题。
Ramsey
定理
N
dr(v1)≥4?
Y
db(v1)≥6
设(v1v2) (v1v3) (v1v4)(v1v5)是4红边 K4(v2v3v4v5)是蓝K4 ?
N Y
设(v1v2) · (v1v7)是6条蓝边 · ·
K6(v2·v7)中有红△ ? · ·
N Y
设△v2v3v4是兰△
√
设(v2v3)是红边
1 2 n n1
1 2 n+1 1 2 1 2 1 1
此例说明：在n2+1个人的队列中，总可 以选出n+1个人出列，其身高是有序的。
Ramsey
定理
§2.3 Ramsey 定理
１．Ramsey问题
Ramsey（英国逻辑学家）问题可以看成是鸽 巢原理的推广，下面是其最流行且容易理解的 例子。 [Ramsey定理的描述]在6 个（或更多）人中， 至少存在３人彼此相识或者彼此不相识。 [证] 这个问题与对K6（这里的Km是指具有m 个顶点的完全图）的边进行２着色存在同色三 角形等价。假定用红蓝两色着色。
Ramsey
n
dr(v1)≥3?
y
定理
设 (v1v4)为红边
db(v1)≥3
(v4v2) (v4v3) 为蓝边?
y n
设(v1v4) (v1v5) (v1v6)为蓝边 设 (v4v2)为红边
db(v4)≥3?
y
△v4v5v6是红△?
n y
△v1v2v4是红△
dr(v4)≥3
√
(v4v5) (v4v6) 为红边
鸽巢原理 基本形式
根据假定有：S100≤10×16 = 160 作序列S1 , S2 , … , S100 , S1 +39, … , S100+39，共200项。其中最大项 S100+39≤160+39。由鸽巢原理，必 有两项相等，且必是前段中某项与 后段中某项相等。 设Sk=Sh+39，k>h，则Sk-Sh=39， 即 ah+ah+1+…+ak=39。
K10( v1v2 ·v10)中有同色K4 · ·
Ramsey
定理
将这些问题一般化可叙述为：给定一 对正整数a、b，存在一个最小的正整数 r ,对 r 个顶点的完全图的边任意红、蓝 ２着色，存在 a 个顶点的红边完全图或 b 个顶点的蓝边完全图。记为 r ( a , b )， 称为Ramsey数。 目前已知道一些简单的Ramsey数， 如： r ( 3 , 3 )＝6，r ( 3 , 4 )＝9， r ( 4 , 4 )＝18
△v1v5v6是蓝△? 设 (v5v6)为红边 √
n y
设 (v4v5)为蓝边
n y
设 (v4v5)为蓝边
△v1v4v5是蓝△
△v2v3v5是红△? 设 (v2v5)为蓝边 △v2v4v5是蓝△ √
△v4v5v6是红△
Ramsey
定理
[推论2]K9 的边红蓝两色任意着色，则必 有红K4或蓝色三角形(蓝K4或红色三角 形)． [证] 设9个顶点为 v1 , v2 , · , v9．对９个 · · 顶点的完全图的边的红、蓝２着色图中， 必然存在 vi ，使得 dr(vi)≠3 ．否则， 红边数＝ 1 d r (vi ) 27 ，这是不可能的。 2 2 不妨设 dr(v1)≠3，可得如下判断树证明结 论。
鸽巢原理 加强形式
[例2] 若序列S ={ a1 , a2 , … , amn+1}中的各
数是不等的．m , n 是正整数，则 S有一 长度为m+1的严格递增序列或长度为n+1 的递减子序列，而且 S有一长度为m+1的 递减子序列或长度为n+1的递增子序列。 [证] 由S中的每个 ai 向后选取最长递增子 序列，设其长度为li ，从而得到序列 L={l1,l2,…,lmn+1}．若存在lk≥m+1则结论 成立。
若dr(v)≥r(a-1,b)，则这些与v相连的点 构成的完全图中有红Ka-1或兰Kb，若是 后者，结论成立；若是前者，红Ka-1与v 构成红Ka，即总存在红Ka或兰Kb。 若db(v)≥r(a,b-1)，则这些点与v相连的 点构成的完全图中有红Ka或兰Kb-1，若 是前者，结论成立；若是后者，兰Kb-1 与v构成兰Kb，即总存在红Ka或兰Kb。
鸽巢原理 加强形式
§2.2
鸽巢原理的加强形式
[鸽巢原理加强形式]q1 , q2 , … ,qn都是正整 数，并有q1+q2+…+qn-n +1个鸽子住进n 个鸽巢，则至少存在某个 i，使得有第 i 个巢中至少有qi个鸽子，i=1,2,…,n。 [证明]如若不然，则对任一i，都有第 i 个 巢中的鸽子数≤mi－1，则鸽子总数≤ m1+m2+…+mn－n ，与假设相矛盾。
鸽巢原理 基本形式
鸽巢原理可做如下推论： (1)如果n个物体放入n个盒子且没有一个 盒子是空的，则每个盒子恰好包含一个 物体。 (2)如果n个物体放入n个盒子且没有盒子 被放入多于一个的物体，则每个盒子恰 好包含一个物体。 使用鸽巢原理的重点在于如何构造 鸽巢。
鸽巢原理 基本形式
[例3]从1到2n的正整数中任取n+1个，则这 n+1个数中，至少有一对数，其中一个 是另一个的倍数。 [证]设n+1个数是 a1 , a2 , · , an+1。由于任 · · 一个整数可表示成2k×a。故可将每个数 去掉一切2的因子，直至剩下一个奇数a 为止，记组成序列 r1 , r2, , · , rn+1。这 · · n+1个数仍在［1 , 2n]中，且都是奇数。 而[1 , 2n]中只有n个奇数。故必有 ri = rj = r , 则 ai = 2αr, aj = 2βr。显然，其中的 大数为小数的倍数。
v1 v2 v v3
Ramsey
定理
显然，如果v1、v2和v3之间的任一边为红 色，则与原来的两条红色边组成红色三 角形，否则这3条边组成兰色三角形。 即K6中总存在红色三角形或兰色三角 形，只要将其中一种当作相识关系而另 一种当作不相识关系即可。
Ramsey
定理
2. 推论
[推论1]K6的边用红蓝任意着色， 则至少有两个同色的三角形。 [证]由前定理知，有同色三角形， 不妨设△v1v2v3是红色三角形，可由 如下判断树证明。
定理
Ramsey
定理
N
dr(v1)≥9
Y
db(v1)≥9
设(v1v2) · (v1v10)是红边 · ·
设(v1v2) · (v1v10)是蓝边 · ·
K9(v2 · v10)中有红△ · · 加蓝K4 K9(v2 · v10)中有同色K4 · · 或兰△加红K4 或红△加蓝△ K10( v1v2 ·v10)中有同色K4 · ·