几何画板在立体几何教学的应用

《几何画板》在立体几何解题教学中的应用

数学教学中的数学活动，是为了帮助学生探索未知的事实和规律，它是为了说明思想概念，阐述道理方法，指导学生操作练习。许多数学问题情景，在传统的黑板和纸笔提供的教学环境中，教师只能讲一讲，学生只能想一想。用多媒体辅助教学，就可以变抽象为具体就可以演示、操作了。《几何画板》作为一种适合中学教师使用的教学软件，是 21 世纪的动态几何。用《几何画板》绘制各种立体图形非常直观，可以解决学生从平面图形向立体图形，从二维空间向三维空间过渡的难题，因为它确实能把一个“活”的立体图形展现在学生面前。

在立体几何中，有些问题用直接法来寻求解题途径比较困难，甚至无从着手，这时用构造法并利用几何体的特点和性质来帮助解题，可起到事半功倍的效果，引入多媒体技术后，利用《几何画板》辅助教学，可以丰富教学模式，实现过程教学，提高了生学习数学的兴趣。

解数学问题时，常规的思考方法是由条件到结论的定向思维。但有些问题按照这种思维方式来寻求解题途径比较困难，甚至无从着手。在这种情况下，经常要求我们改变思维方向，换一个角度思考，以便找到一条绕过障碍的新途径。构造性思想及其方法就是这样的一种手段。构造法在立体几何中主要表现在辅助线、体的添加，这就是常说的分形与补形,并根据题目的特征,精心构造一个相应的“模型”,把复杂问题转化为简单问题。由于实际的三维图形,总是用二维图形来表示,这就造成了学生识图、画图、用图的困难。这就需要培养学生用运动的观点观察点、线、面的位置关系，使空间图形成为学生头脑中活的思维对象。《几何画板》为数学教学提供了一个很好的动态视觉的环境，能对图象进行各种变换、平移、旋转和动画等处理功能。从数学课堂教学的角度上看，其最大的优点是实现了动态教学，尤其对空间想象能力薄弱的中学生而言，在立体几何的教学中 CAI的优势得到了很好的体现和发挥。下面就此谈谈我在利用《几何画板》辅助立体几何解题教学时的一些体会,以求教于同行。

一、构造三棱锥

三棱锥是一个特殊的锥体，它的每一个顶点都可以作为三棱锥的顶点，每一个面都可以作为三棱锥的底面.利用它不但可以灵活地计算三棱锥的体积,而且还可以求点到平面的距离或异面直线间的距离.

例 1 ：已知正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1，求异面直线ＡＤ与 AC 间的距离.

轴旋转隐藏A1C1- 隐藏面A1DC1 显示线段AC1 显示步骤1 显示步骤2移开合拢隐藏面AA1D 隐藏锥线隐藏形A1DC1 显示步骤3 显示步骤4

B

C 1

分析：（利用《几何画板》展示教学步骤）

如图所示,连结 AC , AC,则 AC//A C ∴ AC //平面A DC ∴ A 到平面 ADC 的距离 h 就是 AC 与 DA 间的距离 .

即 AC 、A 1D 间的距离为

3

二、构造正方体 正方体是最特殊的四棱柱，它的六个面都是全等的正方形，线线、线面、面面之间都有垂直或平行关

系，这便提供了多姿的 化繁为简的条件，以它为“模型”是最妙不过了.

例 2 ： 一个四面体的所有棱长都为 2 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ） . （ 2003 年全国高考题） A ．3

B.4

C. 3 3

D. 6

旋转 移开 合拢 隐藏正方体 显示正方体

分析:构造一个棱长为1 的正方体 ABCD —A 1B 1C 1D （如图）

连 AB 1,AD 1,AC,CD 1,CB 1,B 1D 1,则四面体 B 1—ACD 1 为符合题意的四面体，它的外接球的直径即为正方体的对角线长.设该外接球的半径 为 R,则 2R=AC 1= 3 ,所以此正四面体外接球的表面积为 S =4

R 2

=3

, 故选 A.

例 3 ：在四面体的四个侧面中 , 直角三角形最多可有 （ ）.

A. 1 个

B. 2 个

C. 3 个 D .4 个

13

43( 2)2h = 13

1

2

11

1 ∴h

D

D

1

1

旋转移开合拢显示正方体隐藏正方体

分析:构造如图所示的正方体,连B1D1、A1B、BD1 ,考察四面体B—B1D1A1 ,它的四个侧面都是直角三角形,故选 D.

例 4:过正方形 ABCD 的顶点 A 作线段 PA ⊥面 ABCD ,若 AB=PA ,求面 PAB 和面 PCD 所成二面角的大小.

旋转移开合拢隐藏正方体显示正方体隐藏半平面

分析:如图,将四棱锥P—ABCD补成正方体PQRS—ABCD ，则PQ为面PAB与面PCD的交线.由正方体性质知

PD⊥PQ ,AP⊥PQ ,

DPA 为所求二面角的平面角,易知DPA=45.

二、构造长方体长方体的六个面都是矩形，每个顶点上的三条棱两两互相垂直.利用这些性质,构造长方体,常能使很多

问题得到简化.

例5：已知ABCD是边长为4的正方形,E,F分别是AB和AD的中点,GC⊥平面ABCD于C,且GC=2,求点B到平面GEF的距离.（1991

年全国高考题）

分析:如图,以边长为4 的正方形 ABCD为底面,GC 为侧棱,构造长方体.由BD EF,得BD面EFG ,到平面 EFG 的距离,转化为底面中心O到平面EFG的距离OK = OH CG = 2 11

OK =GH CG11 四、应用等积变换构造立几模型充分应用等积变换、构造、辅助解题的模型，理清思路，这是解几何难题的一种常用方法 .

例 6：在四面体 A-BCD 中，已知 AB=a ，CD= b ，AB 与 CD 间的距离为 h ，它们所成的角为 θ，求四面体的体积.

分析：（用等积变换）在平面 BCD 内过 B 点作 BE∥CD，DE∥BC，BE 、DE 交于 E 点从而得平行四边形 BCDE ，连 AE 则 A-BCDE 为四棱锥

∵CD∥BE，且AB 与 CD 所成角为 θ

∴∠ABE 是AB 、CD 所成的角或补角，即∠ABE=θ或π-θ.

∴S ABE = 12AB BE sin = 12ab sin

∵CD∥BE，∴CD∥面 ABE

设 AB 与 CD 的公垂线为 GF ，则 GF 就是 CD 与面 ABE 的距离，也就是棱锥 D-ABE 的高线 . 显然 GF⊥面 ABE ，且 GF=h

∴V

= h

ab sin = ab sin

D - ABE

3 2 6

∵DE ∥BC，∴S ⊿BDE = S ⊿BCD .

∴V D-ABE = V A-BDE = V A-BCD .∴V A-BCD = 1 abh •sin θ

6

五、分割图形

巧补图形可使某些立几问题迅速准确获解,同样适当地分割图形,也可使某些立几问题趋于简单,从而为问题的顺利解决提供 了方便.

例 7：如图三棱锥 P —ABC 中，已知 PA

⊥ BC ，PA=BC=l ，PA 、BC 的公垂线段 DE=h. 求三棱锥 P —ABC 的体积.

分析:直接考虑会因条件用不上感到束手无策.如考虑过 DE 、BC 的平面分割三棱锥 P —ABC 为两个三棱锥 P —BCD 和 A —BCD. 则问题简捷解出.

解:∵PA ⊥BC,PA ⊥DE, ∴PA ⊥面 BCD.

A

A

CD

C