线性代数课后答案_习题5和习题

习题五

1. 求下列矩阵的特征值和特征向量：

1）1124-⎛⎫ ⎪⎝⎭；2）123213336⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；3）001010100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；4）310410482⎛⎫

⎪-- ⎪ ⎪

--⎝⎭

。 并说明哪些矩阵可以相似于对角形矩阵。 解：1）

1

1

(2)(3)24

λλλλ-=----，特征值2,3λ= 。 当2λ=时， 1(1,1)η'=- ，故属于2λ=的特征向量为 11k η（10k ≠）。 当3λ=时 ，2(1,2)η'=- ，故属于3λ=的特征向量为 22k η（20k ≠）。 由于线性无关的特征向量个数为2，故可以对角化。

2）1

23

2

13(1)(9)3

36

λλλλλλ------=+----，特征值0,1,9λ=- 。 当0λ=时， 1(1,1,1)η'=-- ，故属于0λ=的特征向量为 11k η（10k ≠）。 当1λ=-时， 2(1,1,0)η'=- ，故属于1λ=-的特征向量为 22k η（20k ≠）。 当9λ=时， 3(1,1,2)η'= ，故属于9λ=的特征向量为 33k η（30k ≠）。 由于线性无关的特征向量个数为3，故可以对角化。

3）201

010(1)(1)10λ

λλλλ

--=+--，特征值1,1λ=- 。

当1λ=时， 1(0,1,0)η'= ，2(1,0,1)η'=。故属于1λ=的特征向量为

1122k k ηη+（12,k k 不全为零）。

当1λ=-时， 3(1,0,1)η'=- ，故属于1λ=-的特征向量为 33k η（30k ≠）。 由于线性无关的特征向量个数为3，故可以对角化。

4）

23

10410(1)(2)4

82

λλλλλ--+=-+-+ ，特征值1,2λ=- 。 当1λ=时， 1(3,6,20)η'=- ，故属于1λ=的特征向量为 11k η（10k ≠）。

当2λ=-时， 2(0,0,1)η'= ，故属于2λ=-的特征向量为 22k η（20k ≠）。 由于线性无关的特征向量个数为2，故不可以对角化。 2. 已知方阵A 满足2320A A E -+=，求A 的所有可能的特征值。

解：设λ是A 的特征值，则有非零向量X 满足AX X λ=。于是22A X X λ=，

22(32)(32)0A A E X X λλ-+=-+=。因为X 非零，所以2320λλ-+=。即

A 的特征值只能为1λ=或2λ= 。 3. 设λ是A 的特征值，证明：

1）2λ是2A 的特征值，i λ（i 为正整数）是i A 的特征值； 2）设()f λ是λ多项式，则()f λ是()f A 的特征值； 3）如果A 可逆，则1λ-是1A -的特征值。 证明：1）因为AX X

λ=，则22()A X A X AX X

λλλ===。

323()A X A X X λλ==，依此类推，i i A X X λ=，即i λ是i A 的特征值。

2）由1）i i A X X λ=（i 为正整数），记01()n n f a a a λλλ=+++L ，则

01()()()n n f A X a E a E a E X f X λ=+++=L ，即()f λ是()f A 的特征值。

3）如果A 可逆，对AX X λ=两边左乘1A -有：1X A X λ-=。又可逆矩阵的特征值不为零（否则00E A -=，与A 可逆矛盾）。故11X A X λ--= 。 4. 设1X 和2X 是A 的属于两个不同特征值的特征向量，证明12X X +不是A 的特征向量。

证明：由题意，设111AX X λ= ，222AX X λ= ，12λλ≠，则 12,X X 线性无关。（反证）若12X X +是A 的特征向量，则有：1212()()A X X X X λ+=+ 。从而

1122()()0X X λλλλ-+-=。因为12λλ≠，所以12(),()λλλλ--不全为零，于

是12,X X 线性相关，矛盾。故12X X +不是A 的特征向量。 5. 如果方阵A 可逆，证明矩阵AB 和BA 相似。 证明：因为1()A AB A BA -=，所以矩阵AB 和BA 相似。

6. 设A 与B 相似，C 与D 相似。证明A C ⎛⎫ ⎪⎝⎭与B D ⎛⎫

⎪⎝⎭

相似。

证明：因为A 与B 相似，C 与D 相似，

故有可逆矩阵P 与Q ， 使得：1P AP B -=，1

Q CQ D -=。于是1

1A P B P C Q D Q --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫

= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

⎝

⎭，即A C ⎛⎫

⎪⎝

⎭与B D ⎛⎫

⎪⎝

⎭相似。 7. 计算k A ，其中142034043A ⎛⎫

⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭

。 解：

1

42

34(1)(5)(5)0

43

λλλλλλ---+-=--+-- ，特征值1,5,5λ=- 。 当1λ=时，对应的特征向量为 1(0,0,1)η'=；当5λ=时，对应的特征向量为 2(2,1,2)η'= ；当5λ=-时，对应的特征向量为3(1,2,1)η'=-。故可取

021012121P ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，有150512105120P --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，使得：1155A P P -⎛⎫

⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ 。从

而11

45(5)252(5)015252(5)54(5)05(5)45(5)5252(5)5k k k k k k

k k k k

k k k k k A P P -⎛⎫

⋅+-⋅--⎛⎫

⎪ ⎪==⋅--+- ⎪

⎪ ⎪ ⎪-⋅+--⋅--⎝

⎭⎝

⎭

。 8. 求x ，y 的值，使得矩阵A 与B 相似，其中11111x A x y y ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，000010002B ⎛⎫

⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

。

解：因为B 的特征值为0,1,2，由A 与B 相似，可得00E A ⋅-=，10E A ⋅-=，

20E A ⋅-=。即22()0

20

x y xy ⎧--=⎨

-=⎩，从而0x y == 。 9. 证明：

1）实反对称矩阵的特征值为0或纯虚数； 2）正交矩阵的特征值的模等于1。