线性代数课后答案_习题5和习题

习题五
1. 求下列矩阵的特征值和特征向量：
1）1124-⎛⎫ ⎪⎝⎭；2）123213336⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；3）001010100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；4）310410482⎛⎫
⎪-- ⎪ ⎪
--⎝⎭。

并说明哪些矩阵可以相似于对角形矩阵。

解：1）
1
1
(2)(3)24
λλλλ-=----，特征值2,3λ= 。

当2λ=时， 1(1,1)η'=- ，故属于2λ=的特征向量为 11k η（10k ≠）。

当3λ=时 ，2(1,2)η'=- ，故属于3λ=的特征向量为 22k η（20k ≠）。

由于线性无关的特征向量个数为2，故可以对角化。

2）1
23
2
13(1)(9)3
36
λλλλλλ------=+----，特征值0,1,9λ=- 。

当0λ=时， 1(1,1,1)η'=-- ，故属于0λ=的特征向量为 11k η（10k ≠）。

当1λ=-时， 2(1,1,0)η'=- ，故属于1λ=-的特征向量为 22k η（20k ≠）。

当9λ=时， 3(1,1,2)η'= ，故属于9λ=的特征向量为 33k η（30k ≠）。

由于线性无关的特征向量个数为3，故可以对角化。

3）201
010(1)(1)10λ
λλλλ
--=+--，特征值1,1λ=- 。

当1λ=时， 1(0,1,0)η'= ，2(1,0,1)η'=。

故属于1λ=的特征向量为
1122k k ηη+（12,k k 不全为零）。

当1λ=-时， 3(1,0,1)η'=- ，故属于1λ=-的特征向量为 33k η（30k ≠）。

由于线性无关的特征向量个数为3，故可以对角化。

4）
23
10410(1)(2)4
82
λλλλλ--+=-+-+ ，特征值1,2λ=- 。

当1λ=时， 1(3,6,20)η'=- ，故属于1λ=的特征向量为 11k η（10k ≠）。

当2λ=-时， 2(0,0,1)η'= ，故属于2λ=-的特征向量为 22k η（20k ≠）。

由于线性无关的特征向量个数为2，故不可以对角化。

2. 已知方阵A 满足2320A A E -+=，求A 的所有可能的特征值。

解：设λ是A 的特征值，则有非零向量X 满足AX X λ=。

于是22A X X λ=，
22(32)(32)0A A E X X λλ-+=-+=。

因为X 非零，所以2320λλ-+=。

即
A 的特征值只能为1λ=或2λ= 。

3. 设λ是A 的特征值，证明：
1）2λ是2A 的特征值，i λ（i 为正整数）是i A 的特征值； 2）设()f λ是λ多项式，则()f λ是()f A 的特征值； 3）如果A 可逆，则1λ-是1A -的特征值。

证明：1）因为AX X
λ=，则22()A X A X AX X
λλλ===。

323()A X A X X λλ==，依此类推，i i A X X λ=，即i λ是i A 的特征值。

2）由1）i i A X X λ=（i 为正整数），记01()n n f a a a λλλ=+++L ，则
01()()()n n f A X a E a E a E X f X λ=+++=L ，即()f λ是()f A 的特征值。

3）如果A 可逆，对AX X λ=两边左乘1A -有：1X A X λ-=。

又可逆矩阵的特征值不为零（否则00E A -=，与A 可逆矛盾）。

故11X A X λ--= 。

4. 设1X 和2X 是A 的属于两个不同特征值的特征向量，证明12X X +不是A 的特征向量。

证明：由题意，设111AX X λ= ，222AX X λ= ，12λλ≠，则 12,X X 线性无关。

（反证）若12X X +是A 的特征向量，则有：1212()()A X X X X λ+=+ 。

从而
1122()()0X X λλλλ-+-=。

因为12λλ≠，所以12(),()λλλλ--不全为零，于
是12,X X 线性相关，矛盾。

故12X X +不是A 的特征向量。

5. 如果方阵A 可逆，证明矩阵AB 和BA 相似。

证明：因为1()A AB A BA -=，所以矩阵AB 和BA 相似。

6. 设A 与B 相似，C 与D 相似。

证明A C ⎛⎫ ⎪⎝⎭与B D ⎛⎫
⎪⎝⎭
相似。

证明：因为A 与B 相似，C 与D 相似，
故有可逆矩阵P 与Q ， 使得：1P AP B -=，1
Q CQ D -=。

于是1
1A P B P C Q D Q --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝
⎭，即A C ⎛⎫
⎪⎝
⎭与B D ⎛⎫
⎪⎝
⎭相似。

7. 计算k A ，其中142034043A ⎛⎫
⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭。

解：
1
42
34(1)(5)(5)0
43
λλλλλλ---+-=--+-- ，特征值1,5,5λ=- 。

当1λ=时，对应的特征向量为 1(0,0,1)η'=；当5λ=时，对应的特征向量为 2(2,1,2)η'= ；当5λ=-时，对应的特征向量为3(1,2,1)η'=-。

故可取
021012121P ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，有150512105120P --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，使得：1155A P P -⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ 。

从
而11
45(5)252(5)015252(5)54(5)05(5)45(5)5252(5)5k k k k k k
k k k k
k k k k k A P P -⎛⎫
⋅+-⋅--⎛⎫
⎪ ⎪==⋅--+- ⎪
⎪ ⎪ ⎪-⋅+--⋅--⎝
⎭⎝
⎭。

8. 求x ，y 的值，使得矩阵A 与B 相似，其中11111x A x y y ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，000010002B ⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。

解：因为B 的特征值为0,1,2，由A 与B 相似，可得00E A ⋅-=，10E A ⋅-=，
20E A ⋅-=。

即22()0
20
x y xy ⎧--=⎨
-=⎩，从而0x y == 。

9. 证明：
1）实反对称矩阵的特征值为0或纯虚数； 2）正交矩阵的特征值的模等于1。

证明：1）设A 是实反对称矩阵， λ是A 的特征值，则有0X ≠，AX X λ=。

取共轭有AX X λ=。

考虑 X AX '，一方面X AX X X λ''=；另一方面，
()X AX X A X AX X X X λ'''''=-=-=-；于是()0X X λλ'+=。

又因为0X ≠，
所以0X X '>。

故0λλ+=，即λ为0或纯虚数。

2）设A 是正交称矩阵， λ是A 的特征值，则有0X ≠，AX X λ=。

取共轭有AX X λ=，再转置X A X A X λ''''==。

所以X X X A AX X X λλ''''==。

因为0X ≠，所以0X X >。

故1λλ=，即λ的模为1 。

10. 判断下列矩阵是否为正交矩阵：
1）221333212333122333A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭ ，2）111231112211132A ⎛
⎫- ⎪
⎪ ⎪=- ⎪ ⎪
⎪- ⎪⎝⎭。

解：1）因为A A E '=，故A 为正交矩阵；2）不是正交矩阵。

11. 设, A B 为正交矩阵，证明：
1）1A -与A '为正交矩阵；
2）A B ⎛⎫ ⎪⎝
⎭为正交矩阵。

证明：1）因为A 为正交矩阵，所以A A E '=，即1A A -'=。

又
()()A A AA E E ''''''===，故1A -与A '为正交矩阵。

2）因为, A B 为正交矩阵，所以A A E '=，B B E '=。

从而
A A A A A A E
B B B B B B '''⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪''⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，即A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭为正交矩阵。

12. 在4R 中，求一单位向量α与向量(1,1,1,1), (1,1,1,1), (2,1,1,3)---正交。

解：设所求向量为1234(,,,)x x x x α=，则有12341234123
40
0230
x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪
--+=⎨⎪+++=⎩。

求得基础解
系为 (4,0,1,1)η=-。

故(4,0,1,1)k α=-（k 为任意数）。

13. 求正交矩阵Q ，使得1Q AQ -为对角形：
1）111111111A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ； 2）222254245A -⎛⎫
⎪=- ⎪
⎪--⎝⎭。

解：1）21
11
1
11(3)1
11
E A λλλλλλ----=---=---- ，特征值0,3λ= 。

当0λ=时， 1(1,1,0)η'=- ，2(1,0,1)η'=-。

当3λ=时， 3(1,1,1)η'= 。

由施密特正交化，
取11,1,0)β'=
-
，22)β'=-
，3β'=。

令0Q ⎛- = - ⎝
，则1003Q AQ Q AQ -⎛⎫ ⎪'== ⎪ ⎪⎝⎭。

2）22
222
54(1)(10)2
45
E A λλλλλλ---=--=--- ，特征值1,10λ= 。

当1λ=时， 1(2,1,0)η'=- ，2(2,0,1)η'=。

当10λ=时， 31
(,1,1)2
η'=-- 。

由施密特正交化，取12,1,0)β'=
-
，2β'=，31(1,2,2)3β'=--。

令1323203Q ⎛⎫- ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎝
⎭
，则11110Q AQ Q AQ -⎛⎫ ⎪'== ⎪ ⎪⎝⎭。

14. 设3阶方阵A 的特征值为1，2，3；对应的特征向量为1(0,1,0)η'=，
2(1,1,0)η'=，3(0,0,1)η'=。

求矩阵A 。

解：由题意，令010110001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则有1123P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪
⎪⎝⎭。

故
1120021103003A P P -⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

15. 设3阶实对称矩阵A 的特征值为6和3（二重根）。

属于6的特征向量为
3(1,1,1)η'=，求A 及3|3|A E -。

解：设123(,,)X x x x '=是实对称矩阵A 属于特征值为3的特征向量，则有
1230x x x ++= 。

故特征值为3的特征向量1(1,1,0)η'=-， 2(1,0,1)η'=- 。

令
111101011P --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1341131416114A P P -⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 。

3|3|A E -＝
33
1
3324|33|241226886213P P E -⎛⎫ ⎪-=
= ⎪ ⎪⎝
⎭。

提高题
1. 设矩阵15310a c A b c a -⎛⎫ ⎪= ⎪
⎪--⎝⎭
，1A =-，*A 有特征值0λ，属于0λ的一个特
征向量为(1,1,1)α'=--。

求,,a b c 和0λ的值。

解：因为1A =-，所以AA E *=-，即1A A *-=- 。

由于0A αλα*= ，可得
1A ααλ-=，又1A =-，所以00
0(1)1(2)1(1)11c a b c a A λλλ+-=⎧⎪--=⎪⎨
-+-=-⎪⎪=-⎩。

解得：01
3
22b c a λ=⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩ 。

2. 已知3阶矩阵A 与3维列向量X ，向量组X ，AX ，2A X 线性无关，且满足3232A X AX A X =-。

1）记2(,,)P X AX A X =，求3阶矩阵B ，使得1A PBP -=； 2）计算行列式A E +。

解：1）因为112(,,)P P P X AX AX E --==，所以1(0,1,0)P AX -'=，
12(0,0,1)P A X -'=。

由1A PBP -=，可得1123(,,)B P AP P AX A X AX --===
112112000(,,32)103012P AX P A X P AX P A X ----⎛⎫ ⎪
-= ⎪ ⎪-⎝⎭。

2）11
100
1134011
A E PBP PP
B E --+=+=+==-- 。

3． 设A 是n 阶方阵，记11()n n n f E A a a λλλλ-=-=+++L ，
1,,n λλL 是()f λ的n 个根（重根按重数计算）。

证明：
1）1111nn n a a a λλ++=++=-L L ，称为方阵A 的迹，记为()tr A ； 2）1(1)(1)n n n n a A λλ=-=-L 。

证明：因为111()()()n n n n f E A a a λλλλλλλλ-=-=+++=--L L ，令0λ=，则有1(1)(1)n n n n a A λλ=-=-L ，即2）成立。

又由于特征多项式E A λ-中1n λ-项由行列式定义知只能出现在11()()nn a a λλ--L 内，它的系数为
111()nn a a a -++=L ；而 1()()n λλλλ--L 中1n λ-项的系数为1()n λλ-++L 。

故1）成立。

4．设1(,,)n A a a =L ，i a 均为非零实数，B A A '=，求可逆矩阵P ，使得1P BP -为对角阵。

解：21121n n n a a a B A A a a a ⎛⎫
⎪
'== ⎪ ⎪⎝⎭
L
L
L L L ，它为实对称矩阵。

当0λ=时，E A λ-的秩为1，所以0λ=是0E B λ-=的1n -重根，由上题1）的结果知1n λ-项系数为
22
1()n a a -++L 。

故211122
12
1[()]n
n n n
n
a a a E B a a a a a λλλλλ----=
=-++--L
L
L L L L。

当0λ=时，可得：221(,,,0)a a η'=-L ，L ，1(,0,,)n n a a η'=-L 。

由于属
于特征值22
1()n a a λ=++L 的特征向量1(,,)n X x x =L 与上述向量组正交，所以
11j j a x a x =（2,,j n =L ）。

故11(,,)n a a η=L 。

令2
311
211
0000000n n n a a a a a a P a a a ----⎛⎫
⎪
⎪ ⎪= ⎪
⎪ ⎪⎝
⎭
L L L
L L L L
L L
，则122100n P BP a a -⎛⎫
⎪ ⎪= ⎪
⎪++⎝
⎭
L 。

5．证明上三角正交矩阵必为对角阵。

证明：设上三角矩阵A 正交，则1A A -'=。

一方面由第二章习题知1A -也为上三角，另一方面A '为下三角，故1A A -'=既为三角又为下三角，从而为对角矩阵。

6．, A B 是正交矩阵，且0A B +=。

证明A B +不可逆。

证明：因为0A B +=，所以2
2
20A B A B ++=，即1A B =-。

又, A B 是正交矩阵，所以 A B AB B AA B A B A B A B A B ''''+=+=+=+ 。

即
(1)0A B A B -+=，从而0A B +=，A B +不可逆。

习题六
1. 写出二次型的矩阵表示形式：
1）2224424f x y z xy xz yz =+++++； 2）2227244f x y z xy xz yz =+----；
3）2222
1234121314232424264f x x x x x x x x x x x x x x =+++-+-+-。

解：1）121(,,)242121x f x y z y z ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ；2）112(,,)112227x f x y z y z --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=-- ⎪⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭
； 3）1212343411
2111
32(,,,)231012
01x x f x x x x x x --⎛⎫
⎛⎫ ⎪
⎪-- ⎪
⎪= ⎪
⎪ ⎪
⎪--⎝⎭⎝⎭。

2. 化下列二次型为标准形：
1）222
123232334f x x x x x =+++；
2）22221234121423342222f x x x x x x x x x x x x =++++--+。

解：1）二次型矩阵为200032023⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
，
200032(1)(2)(5)023λλλλλλ---=-----。

所以二次型为标准形为222
123
25f y y y =++ 。

2）二次型矩阵为1101111001111011-⎛⎫
⎪
- ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭
， 1101111001111011λλλλ--------等于
2(1)(1)(3)λλλ+-- 。

所以二次型为标准形为2222
1234
23f y y y y =-+++ 。

3. 判断下列二次型的正定性：
1）22234544f x y z xy yz =+++-；
2）222
123121356444f x x x x x x x =---++；
3）121323226f x x x x x x =+-。

解：1）二次型矩阵为320242025⎛⎫
⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ ， 又30>，
328024=> ，320
242280025
-=>- 。

所以二次型正定。

2）二次型矩阵为522260204-⎛⎫
⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ ， 又50-<， 5226026-=>- ，
522
260800204
--=-<- 。

所以二次型负定。

3）取 1(1,1,0)X '=，则1()20f X => ；又取2(0,1,1)X '=，则
2()60f X =-< 。

所以二次型既不正定，也不负定。

4. t 为何值时，下列二次型是正定的：
1）222
123122322f x x x x x tx x =++++；
2）22212312132342106f x x x tx x x x x x =+++++。

解：1）二次型对应的矩阵为2
101
12012
t t ⎛⎫
⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭。

又20>， 211011=> ，2210
1111220
1
2
t t t =- 。

所以当21102t ->
，即t << 2）二次型对应的矩阵为1543531t t ⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ， 又10>， 2
144t t t =- ，
2
15
4330105531
t t t t =-+- 。

因为22
40301050t t t ⎧->⎨-+<⎩无解，即无论t 为何值二次型是均不正定。

5. 如果二次型f X AX '
=，对于任意n 维列向量0X ，都有000X AX '=。

证明 0A =。

证明：记()
ij
n n
A a ⨯=，取0i X ε=（表示第i 个分量为1其余分量为0的n 维列向
量），由000X AX '=，得0ii a =；取0ij X ε=（表示第i 、第j 两个分量为1其余分量为0的n 维列向量），由000X AX '=，则有20ij a =。

故0A = 。

6. 如果A 是正定矩阵，证明1A -是正定矩阵。

证明：因为A 是正定矩阵，所以存在可逆实矩阵B ，使得A B B '= 。

故11111()[()][()]A B B B B -----''''== ，即1A -是正定矩阵。

7. 如果A ，B 是n 阶正定矩阵，0k >，0l >。

证明kA lB +为正定矩阵。

证明：A ，B 是n 阶正定矩阵，对任意n 维实的列向量0X ≠，0X AX '>，0X BX '>。

从而()()()0X kA lB X k X AX l X BX '''+=+> 。

即kA lB +为正定矩阵。

8. 设A 是实对称矩阵，证明当实数t 充分大之后，tE A +是正定矩阵。

证明：取11max n ij j n i M a ≤≤==∑ ，则当t M >时，()0X tE A X '+> 。

所以tE A +是
正定矩阵。

提高题
1. 如果A 为正定矩阵，证明：
1）0 (1,,)ii a i n >=L ；
2）0 ( ; ,1,,)ii ij ji jj
a a i j i j n a a >≠=L 。

证明：1）（反证）若0 ii a ≤，取0X 为1i x =、其余未知量为零的列向量，则有000ii X AX a '=≤。

与A 为正定矩阵矛盾。

故0 (1,,)ii a i n >=L 。

2）由1）0 ,0ii jj a a >>。

（反证）若0ii ij ji jj
a a a a ≤ ，则二元二次型221122
2ii ij jj g a y a y y a y =++ 不正定，故存在1020(,)0y y ≠ ，使得221010202020ii ij jj a y a y y a y ++≤ 。

取0X 为10i x y =、20j x y =、其余未知量为零的
列向量，则00X ≠，且220010
10202020ii ij jj X AX a y a y y a y '=++≤。

与A 为正定矩
阵矛盾。

所以0 ( ; ,1,,)ii ij ji jj
a a i j i j n a a >≠=L 。

2. 若A 为n 阶正定矩阵，1(,,)n X x x '=L 。

证明：()0
A X f X X =
'是n 元负定二次型。

证明：因为A 为正定矩阵，由习题6知1A -也为正定矩阵。

故对任意0X ≠ 1110()00100A X E A X A X f X A X A X X X A X X A X
---'====-<''''-- 。

即()0
A X f X X ='是n 元负定二次型。

3. 设A 、
B 为实对称矩阵，A 的特征值小于a ，B 的特征值小于b ，证明A B +特征值小于a b +。

证明：因为A 的特征值小于a ，所以aE A -的特征值全大于零，即aE A -为正定矩阵；同理可得bE B -为正定矩阵。

故对任意实n 维列向量0X ≠，有X AX aX X ''< ，X BX bX X ''< 。

于是()()X A B X a b X X ''+<+。

即()()a b E A B +-+为正定矩阵，亦即A B +特征值小于a b +。

4．设f X AX '=是n 元实二次型。

若存在实n 维列向量1X 和1X ，使得1
10X AX '<，2
20X AX '>。

证明存在n 维列向量00X ≠，使得000X AX '=。

证明：取121()()X t X t X X =+-，记()[()]()()g t f X t X t AX t '==为t 的连续函数。

又11(0)[(0)]0g f X X AX '==<，22(1)[(1)]0g f X X AX '==>，故有0(0,1)t ∈，使得0()0g t =。

记00()X X t =，则000X AX '=。

下证00X ≠ 。

（反证）若00X = ，则有0(0,1)t ∈ ，使得0210
1t X X t -=，从而2
0221120
(1)t X AX X AX t -''= 与11X AX '同小于零。

矛盾。

所以00X ≠ 。