线性代数课后答案_习题5和习题
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习题五
1. 求下列矩阵的特征值和特征向量:
1)1124-⎛⎫ ⎪⎝⎭;2)123213336⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭;3)001010100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭;4)310410482⎛⎫
⎪-- ⎪ ⎪
--⎝⎭。
并说明哪些矩阵可以相似于对角形矩阵。
解:1)
1
1
(2)(3)24
λλλλ-=----,特征值2,3λ= 。
当2λ=时, 1(1,1)η'=- ,故属于2λ=的特征向量为 11k η(10k ≠)。
当3λ=时 ,2(1,2)η'=- ,故属于3λ=的特征向量为 22k η(20k ≠)。
由于线性无关的特征向量个数为2,故可以对角化。
2)1
23
2
13(1)(9)3
36
λλλλλλ------=+----,特征值0,1,9λ=- 。
当0λ=时, 1(1,1,1)η'=-- ,故属于0λ=的特征向量为 11k η(10k ≠)。
当1λ=-时, 2(1,1,0)η'=- ,故属于1λ=-的特征向量为 22k η(20k ≠)。
当9λ=时, 3(1,1,2)η'= ,故属于9λ=的特征向量为 33k η(30k ≠)。
由于线性无关的特征向量个数为3,故可以对角化。
3)201
010(1)(1)10λ
λλλλ
--=+--,特征值1,1λ=- 。
当1λ=时, 1(0,1,0)η'= ,2(1,0,1)η'=。
故属于1λ=的特征向量为
1122k k ηη+(12,k k 不全为零)。
当1λ=-时, 3(1,0,1)η'=- ,故属于1λ=-的特征向量为 33k η(30k ≠)。
由于线性无关的特征向量个数为3,故可以对角化。
4)
23
10410(1)(2)4
82
λλλλλ--+=-+-+ ,特征值1,2λ=- 。
当1λ=时, 1(3,6,20)η'=- ,故属于1λ=的特征向量为 11k η(10k ≠)。
当2λ=-时, 2(0,0,1)η'= ,故属于2λ=-的特征向量为 22k η(20k ≠)。
由于线性无关的特征向量个数为2,故不可以对角化。
2. 已知方阵A 满足2320A A E -+=,求A 的所有可能的特征值。
解:设λ是A 的特征值,则有非零向量X 满足AX X λ=。
于是22A X X λ=,
22(32)(32)0A A E X X λλ-+=-+=。
因为X 非零,所以2320λλ-+=。
即
A 的特征值只能为1λ=或2λ= 。
3. 设λ是A 的特征值,证明:
1)2λ是2A 的特征值,i λ(i 为正整数)是i A 的特征值; 2)设()f λ是λ多项式,则()f λ是()f A 的特征值; 3)如果A 可逆,则1λ-是1A -的特征值。
证明:1)因为AX X
λ=,则22()A X A X AX X
λλλ===。
323()A X A X X λλ==,依此类推,i i A X X λ=,即i λ是i A 的特征值。
2)由1)i i A X X λ=(i 为正整数),记01()n n f a a a λλλ=+++L ,则
01()()()n n f A X a E a E a E X f X λ=+++=L ,即()f λ是()f A 的特征值。
3)如果A 可逆,对AX X λ=两边左乘1A -有:1X A X λ-=。
又可逆矩阵的特征值不为零(否则00E A -=,与A 可逆矛盾)。
故11X A X λ--= 。
4. 设1X 和2X 是A 的属于两个不同特征值的特征向量,证明12X X +不是A 的特征向量。
证明:由题意,设111AX X λ= ,222AX X λ= ,12λλ≠,则 12,X X 线性无关。
(反证)若12X X +是A 的特征向量,则有:1212()()A X X X X λ+=+ 。
从而
1122()()0X X λλλλ-+-=。
因为12λλ≠,所以12(),()λλλλ--不全为零,于
是12,X X 线性相关,矛盾。
故12X X +不是A 的特征向量。
5. 如果方阵A 可逆,证明矩阵AB 和BA 相似。
证明:因为1()A AB A BA -=,所以矩阵AB 和BA 相似。
6. 设A 与B 相似,C 与D 相似。
证明A C ⎛⎫ ⎪⎝⎭与B D ⎛⎫
⎪⎝⎭
相似。
证明:因为A 与B 相似,C 与D 相似,
故有可逆矩阵P 与Q , 使得:1P AP B -=,1
Q CQ D -=。
于是1
1A P B P C Q D Q --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝
⎭,即A C ⎛⎫
⎪⎝
⎭与B D ⎛⎫
⎪⎝
⎭相似。
7. 计算k A ,其中142034043A ⎛⎫
⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭。
解:
1
42
34(1)(5)(5)0
43
λλλλλλ---+-=--+-- ,特征值1,5,5λ=- 。
当1λ=时,对应的特征向量为 1(0,0,1)η'=;当5λ=时,对应的特征向量为 2(2,1,2)η'= ;当5λ=-时,对应的特征向量为3(1,2,1)η'=-。
故可取
021012121P ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,有150512105120P --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,使得:1155A P P -⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ 。
从
而11
45(5)252(5)015252(5)54(5)05(5)45(5)5252(5)5k k k k k k
k k k k
k k k k k A P P -⎛⎫
⋅+-⋅--⎛⎫
⎪ ⎪==⋅--+- ⎪
⎪ ⎪ ⎪-⋅+--⋅--⎝
⎭⎝
⎭。
8. 求x ,y 的值,使得矩阵A 与B 相似,其中11111x A x y y ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,000010002B ⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。
解:因为B 的特征值为0,1,2,由A 与B 相似,可得00E A ⋅-=,10E A ⋅-=,
20E A ⋅-=。
即22()0
20
x y xy ⎧--=⎨
-=⎩,从而0x y == 。
9. 证明:
1)实反对称矩阵的特征值为0或纯虚数; 2)正交矩阵的特征值的模等于1。
证明:1)设A 是实反对称矩阵, λ是A 的特征值,则有0X ≠,AX X λ=。
取共轭有AX X λ=。
考虑 X AX ',一方面X AX X X λ''=;另一方面,
()X AX X A X AX X X X λ'''''=-=-=-;于是()0X X λλ'+=。
又因为0X ≠,
所以0X X '>。
故0λλ+=,即λ为0或纯虚数。
2)设A 是正交称矩阵, λ是A 的特征值,则有0X ≠,AX X λ=。
取共轭有AX X λ=,再转置X A X A X λ''''==。
所以X X X A AX X X λλ''''==。
因为0X ≠,所以0X X >。
故1λλ=,即λ的模为1 。
10. 判断下列矩阵是否为正交矩阵:
1)221333212333122333A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭ ,2)111231112211132A ⎛
⎫- ⎪
⎪ ⎪=- ⎪ ⎪
⎪- ⎪⎝⎭。
解:1)因为A A E '=,故A 为正交矩阵;2)不是正交矩阵。
11. 设, A B 为正交矩阵,证明:
1)1A -与A '为正交矩阵;
2)A B ⎛⎫ ⎪⎝
⎭为正交矩阵。
证明:1)因为A 为正交矩阵,所以A A E '=,即1A A -'=。
又
()()A A AA E E ''''''===,故1A -与A '为正交矩阵。
2)因为, A B 为正交矩阵,所以A A E '=,B B E '=。
从而
A A A A A A E
B B B B B B '''⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪''⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
,即A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭为正交矩阵。
12. 在4R 中,求一单位向量α与向量(1,1,1,1), (1,1,1,1), (2,1,1,3)---正交。
解:设所求向量为1234(,,,)x x x x α=,则有12341234123
40
0230
x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪
--+=⎨⎪+++=⎩。
求得基础解
系为 (4,0,1,1)η=-。
故(4,0,1,1)k α=-(k 为任意数)。
13. 求正交矩阵Q ,使得1Q AQ -为对角形:
1)111111111A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ; 2)222254245A -⎛⎫
⎪=- ⎪
⎪--⎝⎭。
解:1)21
11
1
11(3)1
11
E A λλλλλλ----=---=---- ,特征值0,3λ= 。
当0λ=时, 1(1,1,0)η'=- ,2(1,0,1)η'=-。
当3λ=时, 3(1,1,1)η'= 。
由施密特正交化,
取11,1,0)β'=
-
,22)β'=-
,3β'=。
令0Q ⎛- = - ⎝
,则1003Q AQ Q AQ -⎛⎫ ⎪'== ⎪ ⎪⎝⎭。
2)22
222
54(1)(10)2
45
E A λλλλλλ---=--=--- ,特征值1,10λ= 。
当1λ=时, 1(2,1,0)η'=- ,2(2,0,1)η'=。
当10λ=时, 31
(,1,1)2
η'=-- 。
由施密特正交化,取12,1,0)β'=
-
,2β'=,31(1,2,2)3β'=--。
令1323203Q ⎛⎫- ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎝
⎭
,则11110Q AQ Q AQ -⎛⎫ ⎪'== ⎪ ⎪⎝⎭。
14. 设3阶方阵A 的特征值为1,2,3;对应的特征向量为1(0,1,0)η'=,
2(1,1,0)η'=,3(0,0,1)η'=。
求矩阵A 。
解:由题意,令010110001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则有1123P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪
⎪⎝⎭。
故
1120021103003A P P -⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
15. 设3阶实对称矩阵A 的特征值为6和3(二重根)。
属于6的特征向量为
3(1,1,1)η'=,求A 及3|3|A E -。
解:设123(,,)X x x x '=是实对称矩阵A 属于特征值为3的特征向量,则有
1230x x x ++= 。
故特征值为3的特征向量1(1,1,0)η'=-, 2(1,0,1)η'=- 。
令
111101011P --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则1341131416114A P P -⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 。
3|3|A E -=
33
1
3324|33|241226886213P P E -⎛⎫ ⎪-=
= ⎪ ⎪⎝
⎭。
提高题
1. 设矩阵15310a c A b c a -⎛⎫ ⎪= ⎪
⎪--⎝⎭
,1A =-,*A 有特征值0λ,属于0λ的一个特
征向量为(1,1,1)α'=--。
求,,a b c 和0λ的值。
解:因为1A =-,所以AA E *=-,即1A A *-=- 。
由于0A αλα*= ,可得
1A ααλ-=,又1A =-,所以00
0(1)1(2)1(1)11c a b c a A λλλ+-=⎧⎪--=⎪⎨
-+-=-⎪⎪=-⎩。
解得:01
3
22b c a λ=⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩ 。
2. 已知3阶矩阵A 与3维列向量X ,向量组X ,AX ,2A X 线性无关,且满足3232A X AX A X =-。
1)记2(,,)P X AX A X =,求3阶矩阵B ,使得1A PBP -=; 2)计算行列式A E +。
解:1)因为112(,,)P P P X AX AX E --==,所以1(0,1,0)P AX -'=,
12(0,0,1)P A X -'=。
由1A PBP -=,可得1123(,,)B P AP P AX A X AX --===
112112000(,,32)103012P AX P A X P AX P A X ----⎛⎫ ⎪
-= ⎪ ⎪-⎝⎭。
2)11
100
1134011
A E PBP PP
B E --+=+=+==-- 。
3. 设A 是n 阶方阵,记11()n n n f E A a a λλλλ-=-=+++L ,
1,,n λλL 是()f λ的n 个根(重根按重数计算)。
证明:
1)1111nn n a a a λλ++=++=-L L ,称为方阵A 的迹,记为()tr A ; 2)1(1)(1)n n n n a A λλ=-=-L 。
证明:因为111()()()n n n n f E A a a λλλλλλλλ-=-=+++=--L L ,令0λ=,则有1(1)(1)n n n n a A λλ=-=-L ,即2)成立。
又由于特征多项式E A λ-中1n λ-项由行列式定义知只能出现在11()()nn a a λλ--L 内,它的系数为
111()nn a a a -++=L ;而 1()()n λλλλ--L 中1n λ-项的系数为1()n λλ-++L 。
故1)成立。
4.设1(,,)n A a a =L ,i a 均为非零实数,B A A '=,求可逆矩阵P ,使得1P BP -为对角阵。
解:21121n n n a a a B A A a a a ⎛⎫
⎪
'== ⎪ ⎪⎝⎭
L
L
L L L ,它为实对称矩阵。
当0λ=时,E A λ-的秩为1,所以0λ=是0E B λ-=的1n -重根,由上题1)的结果知1n λ-项系数为
22
1()n a a -++L 。
故211122
12
1[()]n
n n n
n
a a a E B a a a a a λλλλλ----=
=-++--L
L
L L L L。
当0λ=时,可得:221(,,,0)a a η'=-L ,L ,1(,0,,)n n a a η'=-L 。
由于属
于特征值22
1()n a a λ=++L 的特征向量1(,,)n X x x =L 与上述向量组正交,所以
11j j a x a x =(2,,j n =L )。
故11(,,)n a a η=L 。
令2
311
211
0000000n n n a a a a a a P a a a ----⎛⎫
⎪
⎪ ⎪= ⎪
⎪ ⎪⎝
⎭
L L L
L L L L
L L
,则122100n P BP a a -⎛⎫
⎪ ⎪= ⎪
⎪++⎝
⎭
L 。
5.证明上三角正交矩阵必为对角阵。
证明:设上三角矩阵A 正交,则1A A -'=。
一方面由第二章习题知1A -也为上三角,另一方面A '为下三角,故1A A -'=既为三角又为下三角,从而为对角矩阵。
6., A B 是正交矩阵,且0A B +=。
证明A B +不可逆。
证明:因为0A B +=,所以2
2
20A B A B ++=,即1A B =-。
又, A B 是正交矩阵,所以 A B AB B AA B A B A B A B A B ''''+=+=+=+ 。
即
(1)0A B A B -+=,从而0A B +=,A B +不可逆。
习题六
1. 写出二次型的矩阵表示形式:
1)2224424f x y z xy xz yz =+++++; 2)2227244f x y z xy xz yz =+----;
3)2222
1234121314232424264f x x x x x x x x x x x x x x =+++-+-+-。
解:1)121(,,)242121x f x y z y z ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ;2)112(,,)112227x f x y z y z --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=-- ⎪⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭
; 3)1212343411
2111
32(,,,)231012
01x x f x x x x x x --⎛⎫
⎛⎫ ⎪
⎪-- ⎪
⎪= ⎪
⎪ ⎪
⎪--⎝⎭⎝⎭。
2. 化下列二次型为标准形:
1)222
123232334f x x x x x =+++;
2)22221234121423342222f x x x x x x x x x x x x =++++--+。
解:1)二次型矩阵为200032023⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
,
200032(1)(2)(5)023λλλλλλ---=-----。
所以二次型为标准形为222
123
25f y y y =++ 。
2)二次型矩阵为1101111001111011-⎛⎫
⎪
- ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭
, 1101111001111011λλλλ--------等于
2(1)(1)(3)λλλ+-- 。
所以二次型为标准形为2222
1234
23f y y y y =-+++ 。
3. 判断下列二次型的正定性:
1)22234544f x y z xy yz =+++-;
2)222
123121356444f x x x x x x x =---++;
3)121323226f x x x x x x =+-。
解:1)二次型矩阵为320242025⎛⎫
⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ , 又30>,
328024=> ,320
242280025
-=>- 。
所以二次型正定。
2)二次型矩阵为522260204-⎛⎫
⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ , 又50-<, 5226026-=>- ,
522
260800204
--=-<- 。
所以二次型负定。
3)取 1(1,1,0)X '=,则1()20f X => ;又取2(0,1,1)X '=,则
2()60f X =-< 。
所以二次型既不正定,也不负定。
4. t 为何值时,下列二次型是正定的:
1)222
123122322f x x x x x tx x =++++;
2)22212312132342106f x x x tx x x x x x =+++++。
解:1)二次型对应的矩阵为2
101
12012
t t ⎛⎫
⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭。
又20>, 211011=> ,2210
1111220
1
2
t t t =- 。
所以当21102t ->
,即t << 2)二次型对应的矩阵为1543531t t ⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ , 又10>, 2
144t t t =- ,
2
15
4330105531
t t t t =-+- 。
因为22
40301050t t t ⎧->⎨-+<⎩无解,即无论t 为何值二次型是均不正定。
5. 如果二次型f X AX '
=,对于任意n 维列向量0X ,都有000X AX '=。
证明 0A =。
证明:记()
ij
n n
A a ⨯=,取0i X ε=(表示第i 个分量为1其余分量为0的n 维列向
量),由000X AX '=,得0ii a =;取0ij X ε=(表示第i 、第j 两个分量为1其余分量为0的n 维列向量),由000X AX '=,则有20ij a =。
故0A = 。
6. 如果A 是正定矩阵,证明1A -是正定矩阵。
证明:因为A 是正定矩阵,所以存在可逆实矩阵B ,使得A B B '= 。
故11111()[()][()]A B B B B -----''''== ,即1A -是正定矩阵。
7. 如果A ,B 是n 阶正定矩阵,0k >,0l >。
证明kA lB +为正定矩阵。
证明:A ,B 是n 阶正定矩阵,对任意n 维实的列向量0X ≠,0X AX '>,0X BX '>。
从而()()()0X kA lB X k X AX l X BX '''+=+> 。
即kA lB +为正定矩阵。
8. 设A 是实对称矩阵,证明当实数t 充分大之后,tE A +是正定矩阵。
证明:取11max n ij j n i M a ≤≤==∑ ,则当t M >时,()0X tE A X '+> 。
所以tE A +是
正定矩阵。
提高题
1. 如果A 为正定矩阵,证明:
1)0 (1,,)ii a i n >=L ;
2)0 ( ; ,1,,)ii ij ji jj
a a i j i j n a a >≠=L 。
证明:1)(反证)若0 ii a ≤,取0X 为1i x =、其余未知量为零的列向量,则有000ii X AX a '=≤。
与A 为正定矩阵矛盾。
故0 (1,,)ii a i n >=L 。
2)由1)0 ,0ii jj a a >>。
(反证)若0ii ij ji jj
a a a a ≤ ,则二元二次型221122
2ii ij jj g a y a y y a y =++ 不正定,故存在1020(,)0y y ≠ ,使得221010202020ii ij jj a y a y y a y ++≤ 。
取0X 为10i x y =、20j x y =、其余未知量为零的
列向量,则00X ≠,且220010
10202020ii ij jj X AX a y a y y a y '=++≤。
与A 为正定矩
阵矛盾。
所以0 ( ; ,1,,)ii ij ji jj
a a i j i j n a a >≠=L 。
2. 若A 为n 阶正定矩阵,1(,,)n X x x '=L 。
证明:()0
A X f X X =
'是n 元负定二次型。
证明:因为A 为正定矩阵,由习题6知1A -也为正定矩阵。
故对任意0X ≠ 1110()00100A X E A X A X f X A X A X X X A X X A X
---'====-<''''-- 。
即()0
A X f X X ='是n 元负定二次型。
3. 设A 、
B 为实对称矩阵,A 的特征值小于a ,B 的特征值小于b ,证明A B +特征值小于a b +。
证明:因为A 的特征值小于a ,所以aE A -的特征值全大于零,即aE A -为正定矩阵;同理可得bE B -为正定矩阵。
故对任意实n 维列向量0X ≠,有X AX aX X ''< ,X BX bX X ''< 。
于是()()X A B X a b X X ''+<+。
即()()a b E A B +-+为正定矩阵,亦即A B +特征值小于a b +。
4.设f X AX '=是n 元实二次型。
若存在实n 维列向量1X 和1X ,使得1
10X AX '<,2
20X AX '>。
证明存在n 维列向量00X ≠,使得000X AX '=。
证明:取121()()X t X t X X =+-,记()[()]()()g t f X t X t AX t '==为t 的连续函数。
又11(0)[(0)]0g f X X AX '==<,22(1)[(1)]0g f X X AX '==>,故有0(0,1)t ∈,使得0()0g t =。
记00()X X t =,则000X AX '=。
下证00X ≠ 。
(反证)若00X = ,则有0(0,1)t ∈ ,使得0210
1t X X t -=,从而2
0221120
(1)t X AX X AX t -''= 与11X AX '同小于零。
矛盾。
所以00X ≠ 。