高中数学必修二 第四章 圆的方程 全套

解：因为A(1, 1)和B(2, －2)，所以线段AB的中点
D的坐标
(
3 2
,
1) 2
，直线AB的斜率
k AB
21 2 1
3
因此线段AB 的垂直平分线l ' 的方程是
yl A
y 1 1(x 3) 23 2
Co
x B
即x 3y 3 0
圆心C 的坐标是方程组
x 3y 3 0 x y 1 0
方程分．析：不在同一条直线上的三个点可以确定一 个圆，三角形有唯一的外接圆．
解：设所求圆的方程是 (x a)2 (y b)2 r2
因为A(5,1), B(7,－3)，C(2, －8) 都在圆
上，所以它们的坐标都满足圆的方程，于是
(5 a)2 (1 b)2 r 2 (7 a)2 (3 b)2 r 2 (2 a)2 (8 b)2 r 2
表示点（2，3）
(3)x2 y2 4x 6 y 15 0
(x 2)2 ( y 3)2 2 不表示任何图形
比较
圆的一般方程和圆的标准方程各有什么特点？ 圆的一般方程的特点 ：
把 M1(5,7) 的坐标代入圆的方程，左右两边相 等，点 M 1 的坐标适合圆的方程，所以点 M 1 在这 个圆上；
把点 M 2 ( 5,1) 的坐标代入方程，左右两边不 相等， 点M 2 的坐标不适合圆的方程，所以点M 2 不在这个 圆上．
例2 ABC 的三个顶点的坐标分别为
A(5,1), B(7,-3)，C(2, -8) ，求它的外接圆的
OC
x
标准方程
特别地，若圆心为O（0，0），则圆的方程为：
x2 y2 r2
圆的标准方程
已知圆的圆心为C(a,b),半径为r,求圆的方程.
解：设点M (x,y)为圆C上任一点，
y
圆上所有点的集合
M(x,y)
P = { M | |MC| = r }
(x a)2 (y b)2 r
OC
x
(x a)2 (y b)2 r2
当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确 定了．因此一个圆最基本要素是圆心和半径．
如图，在直角坐标系中，圆心（点）A的位置
用坐标(a,b)表示，半径 r 的大小等于圆上任意
点M(x, y)与圆心A (a,b)的距离．
y
M(x,y)
OC
x
圆心C(a,b),半径r
y
M(x,y)
(x a)2 (y b)2 r2
的解．解此方程组，得
x 3,
y
2.
所以圆心C 的坐标是(3,2)
圆心为C 的圆的半径长
r | AC | (1 3)2 (1 2)2 5
所以，圆心为C 的圆的标准方程是
(x 3)2 (y 2)2 25
小结
1.圆的标准方程的结构特点.
2.点与圆的位置关系的判定.
3.求圆的标准方程的方法： ①待定系数法；②代入法.
其中 D2 E2 4F 0
圆心
-
D 2
,
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E 2
r D2 E2 4F 2
练习
判断下列方程是不是表示圆
(1)x2 y2 4x 6 y 4 0
(x 2)2 ( y 3)2 9
表示以（2，3）为圆心，以3为半径的圆
(2)x2 y2 4x 6 y 13 0
(x 2)2 ( y 3)2 0 x 2, y 3
第四章
4.1 4.2 4.3
4.1 圆的方程
主要内容
4.1.1 圆的标准方程 4.1.2 圆的一般方程
4.1.1 圆的标准方程
在平面直角坐标系中，两点确定一条直线， 一点和倾斜角也能确定一条直线.
在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？
平面内到定点的距离等于定长的点的集合.
·r
C
定点 定长
圆心 半径
在直角坐标系中，已知点M(x0，y0)和圆C:
(x a)2 ( y b)2 r2，如何判断点M在圆外、圆上、 圆内？
1.点M在圆外，|MC|>r
y
M
(x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点M在圆C外;
2.点M在圆上，|MC|=r
(x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆C上; O C
作业
P120-121练习：1，2，3，4
4.1.2 圆的一般方程
1. 圆的标准方程 (x a)2 ( y b)2 r2展开 可得到一个什么式子?
2. 方程 x2 y2 2x 4 y 1 0 与x2 y2 2x 4 y 6 0 都表示的图形是圆吗？ 解：分别配方得
(x 1)2 ( y 2)2 4
解此方程组，得
a 2, b 3, r 2 25.
所以，ABC 的外接圆的方程是
(x 2)2 ( y 3)2 25
结论：在平面直角坐标系中，已知三个点的 坐标可以确定一个圆的方程
例3 已知圆心为C 的圆经过点A(1,1)和B(2,-2)， 且圆心C 在直线上l：x - y+1=0，求圆心为C 的圆的标
准方程．
分析：如图，确定一个圆只需确定圆心位置与半
径大小．圆心为C 的圆经过点A(1,1)和B(2,-2)，由 于圆心C 与A,B 两点的距离相等，所以圆心C 在线段 AB 的垂直平分线 l '上．又圆心C 在直线l 上，因此圆 心C 是直线 l 与直线 l ' 的交点，半径长等于|CA|或
|CB|．
y
E 2
2
D2
E2 4
4F
（1）当 D2 E2 4F 0 时，表示圆，
圆心
-
D 2
,
E 2
（2）当 D2 E2 4F
r D2 E2 4F 2
0 时，表示点
-
D 2
,
E 2
（3）当 D2 E2 4F 0 时，不表示任何图形
圆的一般方程 x2 y2 Dx Ey F 0
(x 1)2 ( y 2)2 1
第一个方程表示以（1，-2）为圆心，2为半径 长的圆. 第二个方程没有实数解，不存在点的坐标 （x,y)满足这个方程，它不表示任何图形.
方程 x2 y2 Dx Ey F 0在什么条件
下表示圆？
x2 y2 Dx Ey F 0
x
D 2
2
x
3.点M在圆内，|MC|<r
(x0-a)2+(y0-b)2<r2时,点M在圆C内.
例1 写出圆心为 A(2,3) ，半径长等于5的圆的
方程，并判断点 M1(5,7) 是否在这个圆上．
，M 2 (
5,1)
解: 圆心是 A(2,3) ，半径长等于5的圆的标 准方程是 (x 2)2 (y 3)2 25