解三角形中的五种类型题

解三角形中的五种类型题类型一:求边问题:根据条件作图分析,注意正弦、余弦定理的选择

例 1.在厶ABC 中,若b=2,B=30 ° ,C=135 ° ,则= ________

类型二:求角问题:(1) 结合余弦定理的特征求角(2) 正弦定理的一种变式si nA : sinB : si nC=a : b : c

例 2.(1)在厶ABC 中，已知三边a、b、c 满足(a+b+c) • (a+-c)=3ab,则/ C=()

(A) 15 ° (B) 30 ° (C) 45 ° (D) 60 °

(2)在厶ABC 中,若si nA : si nB : si nC=7 : 8 : 13,则/ C= __________ .

类型三:三角形解的个数问题:在使用正弦定理解三角形时,常会碰到多解的情况,判断取舍的依据是(1 )三角形内角和定理(2)大边对大角

例3.在厶ABC中,/ A=60° , a=, b=4, 那么满足条件的厶ABC()

(A)有一个解(B)有两个解(C)无解(D)不能确定

类型四:判断三角形的形状问题两种思路:(1 )运用正弦定理边化角,结合两角和差公式进行变形、化简

(2) 角化边,将角的余弦直接用公式转化为边再化简

例4.在厶ABC中,若aCOSA+bCOSB=cCOSC 则厶ABC的形状是什么？

类型五:正弦、余弦定理应用问题:实际问题中要注意仰角、俯角,以及方位角,重在作图

例5.为了测量上海东方明珠的高度，某人站在A处测得塔尖的仰角为75.5 ° ,前进38.5m后,到达 B 处测得塔尖的仰角为80° . 试计算东方明珠塔的高度(精确到1m).

练习:

一、正弦定理的应用:正弦定理在解三角形中,对解的个数判断是难点,最有效的方法:大边对大角。正弦定理能实现边角的转换,因此设置了第二题,可以利用正弦定理求三角形的面积。

1、满足a=4,b=3 和A=45°, 解三角形。

2、在锐角△ ABC中,a,b,c分别是角A、B、C的对边，且B=2A,求b/a的取值范围。

3、△ ABC 中，若A=120° ,AB=5,BC=7,求厶ABC 的面积。

二、余弦定理的应用:要求学生熟练地掌握余弦定理及其推论,会选择恰当的公式解决问题。

1、在厶ABC 中,(a+b —c)(a+b+c)=ab,角C。

2、在厶ABC 中,a=2,求b.cosC+c.cosB

三、正余弦定理的综合使用:使学生在解答问题的过程中,能根据题设的结构和设问的要求合

理地选择正余弦定理。

1、在厶ABC 中,C=2A,a+c=10,cosA=3/4, 求A。

2、在厶ABC 中，已知a A2+b A2=2010c A2,求证：

2si nAsi nBcosC/si nA2(A+B)为定值。

四、利用正余弦定理判段三角形的形状：根据题设的边角关系,判断三角形的形状。思路一般

是边角转换,让学生学会从题设选择恰当的定理解决。

1、在厶ABC中，如果有性质acosA=bcosB,试判断三角形的形状。

2>△ ABC 中，若(a-c.cosB).sinB=(b-c.cosA).sinA, 判断△ ABC的形状。

五、解三角形在生活中的应用：正、余弦定理在现实生活中有非常广泛的应用,常见题型有测量距离、高度、角度等,解决这类问题要有规范的解题步骤： 1、正确理解题意,分清已知和所求;2、据题意画出示意图; 3、分析与问题有关的三角形; 4、正余弦定理,有序地解相关的三角形; 5、合运用立体几何与平面几何的知识。

1、某观测点C在目标A的南偏西25°方向从A出发有一条南偏东35°走向的公路,在C处测得与C 相距31km的公路上有一人正沿着此公路向A走去，走20km到达D,此时测得CD

距离为21km. 求此人在 D 处距 A 还有多远2、人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40 米后,望见塔在东北方向, 若测得塔的最大仰角为30°, 求塔高。