误差分布与精度指标
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0
0.640 0.575 0.460 0.295 0.225 0.180 0.070 0.030
0
0.495
1.误差的绝对值有 一定限值 2.绝对值较小的误 差比绝对值较大的 误差多 3.绝对值相等的正 负误差的个数相近
§2-3 偶然误差的规律性
(vi /n)/d△
面积= [(vi /n)/d△]* d△=
§2-1 随机变量的数字特征
❖三、协方差
表示两两随机变量X,Y相关程度 性质
cov (X , Y ) =E(XY)- E(X) E(Y) cov (X , Y ) = cov (Y , X ) cov (aX ,bY ) =ab cov (X , Y )
cov(X1+X2 ,Y)= cov (X1 , Y )+ cov (X2 , Y )
x ~ N(, 2)
x
§2-2 正态分布
2.数字特征
E(X)=μ
D(X)=σ2
σ＝0.5
O μ一定 ｘ
§2-2 正态分布
3.性质
• 曲线在x轴上方,与x轴不相交. • 曲线关于直线x=μ对称 • 在x=μ时位于最高点
σ＝0.5
σ＝1 σ＝2
O μ一定
ｘ
§2-2 正态分布
• 当μ一定时， 曲线的形状由σ确定。σ越大，曲线越 “扁平”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越 “尖陡”，表示总体的分布越集中
L1
L
L2
n,1
观
Ln
测
值
~
L1
~
~
L
n ,1
L2
~
真 Ln
值
n ,1
真
~
L1
~
L2
~
Ln
L1
L2
Ln
误
差
§2-3 偶然误差的规律性
❖二、偶然误差的分布特性
1.引例
• 例1.在相同的条件下独立观测了358个三角形的全 部内角，每个三角形内角之和应等于180度，但由 于误差的影响往往不等于180度，计算各内角和的 真误差，并按误差区间的间隔0.2秒进行统计。
1
n
D
1 2
(
x
x
)T
e 1
1 XX
( xx
)
(2 )2 | DXX |2
§2-2 正态分布
2.数学期望
E( X1) 1
E(
X
2
)
2
x n,1
Βιβλιοθήκη Baidu
E
(
X
n
)
n
2 x1
DXX n,n
x2x1
xnx1
x1x2 2
x2
xnx2
x1xn x2xn
2 xn
协方差阵
§2-3 偶然误差的规律性
第二章 误差分布与精度指标
第二章 误差分布于精度指标
❖§2-1 随机变量的数字特征 ❖§2-2 正态分布 ❖§2-3 偶然误差的规律性 ❖§2-4 衡量精度的指标 ❖§2-5 精度、准确度与精确度 ❖§2-6 测量不确定度 ❖小 结
§2-1 随机变量的数字特征
❖一、数学期望E(X)
表示变量集中位置
vi /n=频率 误差分布曲线
§2-3 偶然误差的规律性
• 例2：在相同的条件下独立观测了421个三角形的全 部内角，每个三角形内角之和应等于180度，但由 于误差的影响往往不等于180度，计算各内角和的 真误差，并按误差区间的间隔0.2秒进行统计。
§2-3 偶然误差的规律性
误差的区
Δ为负值
Δ为正值
定义式：DX=E{ [ X-E(X) ]2 } 计算方差的公式：DX=E (X2) - [ E(X) ]2
性质
D (C ) = 0 (C 为常数) D (CX ) = C2D (X ) D (X + C ) = D (X )
设X ，Y 是两个相互独立的随机变量
D (X + Y ) = D (X ) + D (Y )
❖一、几个概念
1.真值：观测量客观上存在的一个能代表其
~
真正大小的数值，一般用 Li 表示`
2.观测值：对某一量观测所得的值，用Li表 示。
3.真误差：观测值与真值之差，用Δi表示。
i L~i Li
§2-3 偶然误差的规律性
4.观测向量：若进行n此观测，观测值：L1,L2,...,Ln 则有下列表示：
§2-1 随机变量的数字特征
❖四、相关系数 性质：|ρXY| ≤ 1
0<ρ≤1 正相关 ρ=0 不相关 -1≤ρ<0 负相关
§2-2 正态分布
❖一、一维正态分布
1.定义：若连续型随机变量x的概率密度函数
为
f (x)
1
e
(
x) 2 2
2
,
x
2
其中参数μ是数学期望，σ是标准差，则称x服
从正态分布，记作
§2-3 偶然误差的规律性
误差的区 间
个数 vi
0.00-0.20 45
0.20-0.40 40
0.40-0.60 33
0.60-0.80 23
0.80-1.00 17
1.00-1.20 13
1.20-1.40 6
1.40-1.60 4 1.60以上 0
和
181
Δ为负值
频率 vi/n
(vi/n)/dΔ
• 拐点横坐标： x = E(x) σ= μ σ
σ＝0.5
σ＝1
σ＝2
O μ一定
ｘ
§2-2 正态分布
4.3σ原则
• P(μ-σ< X <μ+σ) ≈68.3% • P(μ-2σ< X <μ+2σ) ≈95.5% • P(μ-3σ< X <μ+3σ) ≈99.7%
X 的取值几乎全部集中在[-3σ,3σ]区间
个数 vi
0.126 0.630 46
0.112 0.560 41
0.092 0.460 33
0.064
0.32
21
0.047 0.235 16
0.036 0.180 13
0.017 0.085
5
0.011 0.055
2
0
0
0
0.505
177
Δ为正值
频率 vi/n
(vi/n)/dΔ
0.128 0.115 0.092 0.059 0.045 0.036 0.014 0.006
间
个数 vi
频率 vi/n
性质
E (C ) = C （ C 为常数） E (CX ) = CE (X )
设X ，Y 是两个随机变量： E (X + Y ) = E (X ) + E (Y )
当X ,Y 独立时，E (X Y ) = E (X )E (Y )
§2-1 随机变量的数字特征
❖ 二、方差D(X)
表示随机变量偏离集中位置的离散程度
内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%,
一般的将2σ或3σ作为极限误差。这是判断
粗差的依据。
§2-2 正态分布
❖二、n维正态分布
1.定义：设随机变量X=(x1,x2,...,xn)T，若X 服从正态分布，则X为n维正态随机向量。 n维正态随机向量X的联合概率密度为：
f (x1, x2,..., xn )
0.640 0.575 0.460 0.295 0.225 0.180 0.070 0.030
0
0.495
1.误差的绝对值有 一定限值 2.绝对值较小的误 差比绝对值较大的 误差多 3.绝对值相等的正 负误差的个数相近
§2-3 偶然误差的规律性
(vi /n)/d△
面积= [(vi /n)/d△]* d△=
§2-1 随机变量的数字特征
❖三、协方差
表示两两随机变量X,Y相关程度 性质
cov (X , Y ) =E(XY)- E(X) E(Y) cov (X , Y ) = cov (Y , X ) cov (aX ,bY ) =ab cov (X , Y )
cov(X1+X2 ,Y)= cov (X1 , Y )+ cov (X2 , Y )
x ~ N(, 2)
x
§2-2 正态分布
2.数字特征
E(X)=μ
D(X)=σ2
σ＝0.5
O μ一定 ｘ
§2-2 正态分布
3.性质
• 曲线在x轴上方,与x轴不相交. • 曲线关于直线x=μ对称 • 在x=μ时位于最高点
σ＝0.5
σ＝1 σ＝2
O μ一定
ｘ
§2-2 正态分布
• 当μ一定时， 曲线的形状由σ确定。σ越大，曲线越 “扁平”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越 “尖陡”，表示总体的分布越集中
L1
L
L2
n,1
观
Ln
测
值
~
L1
~
~
L
n ,1
L2
~
真 Ln
值
n ,1
真
~
L1
~
L2
~
Ln
L1
L2
Ln
误
差
§2-3 偶然误差的规律性
❖二、偶然误差的分布特性
1.引例
• 例1.在相同的条件下独立观测了358个三角形的全 部内角，每个三角形内角之和应等于180度，但由 于误差的影响往往不等于180度，计算各内角和的 真误差，并按误差区间的间隔0.2秒进行统计。
1
n
D
1 2
(
x
x
)T
e 1
1 XX
( xx
)
(2 )2 | DXX |2
§2-2 正态分布
2.数学期望
E( X1) 1
E(
X
2
)
2
x n,1
Βιβλιοθήκη Baidu
E
(
X
n
)
n
2 x1
DXX n,n
x2x1
xnx1
x1x2 2
x2
xnx2
x1xn x2xn
2 xn
协方差阵
§2-3 偶然误差的规律性
第二章 误差分布与精度指标
第二章 误差分布于精度指标
❖§2-1 随机变量的数字特征 ❖§2-2 正态分布 ❖§2-3 偶然误差的规律性 ❖§2-4 衡量精度的指标 ❖§2-5 精度、准确度与精确度 ❖§2-6 测量不确定度 ❖小 结
§2-1 随机变量的数字特征
❖一、数学期望E(X)
表示变量集中位置
vi /n=频率 误差分布曲线
§2-3 偶然误差的规律性
• 例2：在相同的条件下独立观测了421个三角形的全 部内角，每个三角形内角之和应等于180度，但由 于误差的影响往往不等于180度，计算各内角和的 真误差，并按误差区间的间隔0.2秒进行统计。
§2-3 偶然误差的规律性
误差的区
Δ为负值
Δ为正值
定义式：DX=E{ [ X-E(X) ]2 } 计算方差的公式：DX=E (X2) - [ E(X) ]2
性质
D (C ) = 0 (C 为常数) D (CX ) = C2D (X ) D (X + C ) = D (X )
设X ，Y 是两个相互独立的随机变量
D (X + Y ) = D (X ) + D (Y )
❖一、几个概念
1.真值：观测量客观上存在的一个能代表其
~
真正大小的数值，一般用 Li 表示`
2.观测值：对某一量观测所得的值，用Li表 示。
3.真误差：观测值与真值之差，用Δi表示。
i L~i Li
§2-3 偶然误差的规律性
4.观测向量：若进行n此观测，观测值：L1,L2,...,Ln 则有下列表示：
§2-1 随机变量的数字特征
❖四、相关系数 性质：|ρXY| ≤ 1
0<ρ≤1 正相关 ρ=0 不相关 -1≤ρ<0 负相关
§2-2 正态分布
❖一、一维正态分布
1.定义：若连续型随机变量x的概率密度函数
为
f (x)
1
e
(
x) 2 2
2
,
x
2
其中参数μ是数学期望，σ是标准差，则称x服
从正态分布，记作
§2-3 偶然误差的规律性
误差的区 间
个数 vi
0.00-0.20 45
0.20-0.40 40
0.40-0.60 33
0.60-0.80 23
0.80-1.00 17
1.00-1.20 13
1.20-1.40 6
1.40-1.60 4 1.60以上 0
和
181
Δ为负值
频率 vi/n
(vi/n)/dΔ
• 拐点横坐标： x = E(x) σ= μ σ
σ＝0.5
σ＝1
σ＝2
O μ一定
ｘ
§2-2 正态分布
4.3σ原则
• P(μ-σ< X <μ+σ) ≈68.3% • P(μ-2σ< X <μ+2σ) ≈95.5% • P(μ-3σ< X <μ+3σ) ≈99.7%
X 的取值几乎全部集中在[-3σ,3σ]区间
个数 vi
0.126 0.630 46
0.112 0.560 41
0.092 0.460 33
0.064
0.32
21
0.047 0.235 16
0.036 0.180 13
0.017 0.085
5
0.011 0.055
2
0
0
0
0.505
177
Δ为正值
频率 vi/n
(vi/n)/dΔ
0.128 0.115 0.092 0.059 0.045 0.036 0.014 0.006
间
个数 vi
频率 vi/n
性质
E (C ) = C （ C 为常数） E (CX ) = CE (X )
设X ，Y 是两个随机变量： E (X + Y ) = E (X ) + E (Y )
当X ,Y 独立时，E (X Y ) = E (X )E (Y )
§2-1 随机变量的数字特征
❖ 二、方差D(X)
表示随机变量偏离集中位置的离散程度
内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%,
一般的将2σ或3σ作为极限误差。这是判断
粗差的依据。
§2-2 正态分布
❖二、n维正态分布
1.定义：设随机变量X=(x1,x2,...,xn)T，若X 服从正态分布，则X为n维正态随机向量。 n维正态随机向量X的联合概率密度为：
f (x1, x2,..., xn )