2章1轴向拉压
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t
P
S
s S cos t S sin
斜截面上任一点 的应力公式
s s cos cos s cos 2 s t s cos sin sin 2
2
1. 0时,(横截面)
2. 900时，（纵截面） 3. 450时，
轴向压缩：杆的变形是轴向缩短 ，横向变粗。 力学模型如图
F
F
轴向拉压，对应的内力称为轴力（压力）。
二. 工程实例
连接大桥的绳索受拉；立柱受压。
绳索与立柱
§2–2 轴向拉压杆横截面的的内力和应力
一、轴向拉压的内力(轴力)
1. 截面法的基本步骤：
① 截开：在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件一分为二。 ② 代替：任取一部分，其弃去部分对留下部分的作用，用作用 在截开面上相应的内力（力或力偶）代替。 ③ 平衡：对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外力来 计算杆在截开面上的未知内力（此时截开面上的内力 对所留部分而言是外力）。
2 0
450的斜截面上 正应力与切应力 的数值相等。
t
例3:直径为d=1cm的圆杆,P=10kN。试求最大剪 应力；并求与横截面夹角为 30 的斜截面 上的正应力和剪应力。 1.求最大剪应力
P
t
s
2
30
sin 2
P
当 45 时，有 s N P t max 63.7MPa 2 d 2 2A 2 4
FNBC 60kN 103 6 s BC ＝ ＝ ＝ 120 10 Pa＝120MPa ABC 5 102 mm 2 10－6
s
max
＝s AD＝s BC ＝ 120MPa
§ 2.3 、拉(压)杆斜截面上的应力 问题的提出：铸铁试件在轴向压缩时沿 与轴线呈450方向的斜截面发生破坏。 需要研究直杆轴向拉压时斜截面上的应力 450
N1 5P 8P 4P P 0
N1 2P
O
A
PA
B
PB B PB N3
C
PC C PC
D PD D PD D PD D PD P x
同理，求得AB、 BC、CD段内力分 别为：
N2
N2= –3P N3= 5P N4= P
C
PC
N4
N 5P
轴力图如右图
2P +
–
+
轴力(图)的简便求法： 8kN B + 8kN – 3kN
5kN A 5kN
3kN C
二、拉（压）杆横截面上的应力 1. 变形规律试验及平面假设 变形前 P a c a´ c´ b d b´ d´ P
受载后
平面假设：原为平面的横截面在变形后仍为平面。
当外力沿着杆件的轴线作用时，其横截面上只有轴 力一个内力分量。与轴力相对应，杆件横截面上将只有 正应力。
P
k P k
P
P
1.斜截面上的内力
P
X 0, P P 0
P P
斜截面上的应力
由“平面假设”知斜截 面上的应力S均匀分布。 则有
P A 因S ，A A cos P 故S cos s cos A
P
P S
S A P P
s
例如： 用截面法求N。 P 截开： P P A 平衡： 简图 N A P P
A
代替：
X 0
PN 0
PN
2. 轴力——轴向拉压杆的内力，用N 表示。
3. 轴力的正负规定
N N
N N
拉正，压负
三、 轴力图—— N (x) 的图象表示。 轴力图表示沿杆的轴线轴力的变化规律。 意 ①反映出轴力与截面位置变化关系，较直观； 义 ②确定出最大轴力的数值 N P 及其所在横截面的位置， + 即确定危险截面位置，为
AAC 2 3.897 7.794cm
3.求各杆横截面上的应力
2
B
NAC NAB
A
s AB
s AC
N AB 146 10 6 2 75 10 N / m 75MPa 6 AAB 1963 10
3
P
N AC 138 103 6 2 176 10 N / m 176MPa 4 AAC 7.794 10
§2–1 轴向拉压的概念 一、概念
轴向拉压的外力特点：外力的合力作用线与杆的轴线重合。 轴向拉压的变形特点：杆的变形主要是轴向伸缩，伴随横向缩扩。 轴向拉伸：杆的变形是轴向具有伸长量(elongation)，横向缩短
(contraction) 。
力学模型如图
F F
轴向拉压，对应的内力称为轴力（拉力）。
杆件在轴力作用下产生均匀的伸长或缩短变形， 又，根据材料均匀性的假定，杆件横截面上的应力均匀分布.
平面假设的作用：得出横截面上正应力均布的规律。
2. 拉伸应力： P
s
N(x)
N ( x) s A
轴力引起的正应力 —— s ： 在横截面上均布。 3. 公式的应用条件 直杆、杆的截面无突变、截面到载荷作用点有一定 的距离。
强度计算提供依据。
N>0 N<0
x
[例1] 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、4P、 P 的力，方向如图，试画出杆的轴力图。 O A PA N1 A B PB B C PC C D PD D
PA
PB
PC
PD
解： 求OA段内力N1：设置截面如图
X 0 N1 PA P B P C P D 0
解：1． 作轴力图
应用截面法，可以确定AD、 DEB、BC段杆横截面上的轴力 分别为：
FNAD＝－2FP＝120 kN FNDE＝FNEB＝－FP＝60 kN FNBC＝－FP＝60 kN
2．计算直杆横截面上绝对 值最大的正应力
FNAD 120kN 103 s AD＝ ＝－ ＝－120 106 Pa＝－120MPa 2 2 －6 AAD 10 10 mm 10
例题1：轴向拉压杆系结构，杆AB为直径 d = 50 mm的 圆截面钢杆；杆AC由两根5号等边角钢构 成。 不计杆 的自重， ，P = 50kN。试求各杆横截面上的应 20 力。 解：1.求各杆的轴力(截面法)
5号等边角钢
50 50 4
X 0, N Y 0, N
AB
cos N AC 0
s 00 s cos2 00 s s t 00 sin 00 0 2
横截面上的正应 力出现极值，而 切应力为零。
s 900 s cos2 900 0 t 900 s sin 900 0 2
纵向截面上既 无正应力又无 切应力。
s s 450 s cos 45 2 s s 0 t 450 sin 90 2 2
2.求 30 斜截面上的应力
P
s s cos
2
30
t
s
2
2ห้องสมุดไป่ตู้
sin 2
P
s 30 s cos 30 95.6MPa
t 30 s
2 sin 2 30 55.2MPa
本次作业
2-1，2-2
例题2
变截面直杆，ADE段为铜制, EBC段为钢制；在A、D、 B 、 C 等 4 处承受轴向载荷。已知： ADEB 段杆的横截面面 积 AAB ＝10×102 mm2， BC段杆的横截面面积 ABC＝5×102 mm2；FP＝60 kN；各段杆的长度如图中所示，单位为mm。 试求：直杆横截面上的绝对值最大的正应力。
C
A
AB
sin P 0
P
B NAC NAB P A
N AB 2.92P 146kN N AC 2.75P 138kN
2.求各杆的横截面积
5号等边角钢
50 50 4
AAB
d2
4
502
4
1963mm
2
C
A
P
查型钢表求角钢的横截面积 5号等边角钢 A=3.897cm2
P
S
s S cos t S sin
斜截面上任一点 的应力公式
s s cos cos s cos 2 s t s cos sin sin 2
2
1. 0时,(横截面)
2. 900时，（纵截面） 3. 450时，
轴向压缩：杆的变形是轴向缩短 ，横向变粗。 力学模型如图
F
F
轴向拉压，对应的内力称为轴力（压力）。
二. 工程实例
连接大桥的绳索受拉；立柱受压。
绳索与立柱
§2–2 轴向拉压杆横截面的的内力和应力
一、轴向拉压的内力(轴力)
1. 截面法的基本步骤：
① 截开：在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件一分为二。 ② 代替：任取一部分，其弃去部分对留下部分的作用，用作用 在截开面上相应的内力（力或力偶）代替。 ③ 平衡：对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外力来 计算杆在截开面上的未知内力（此时截开面上的内力 对所留部分而言是外力）。
2 0
450的斜截面上 正应力与切应力 的数值相等。
t
例3:直径为d=1cm的圆杆,P=10kN。试求最大剪 应力；并求与横截面夹角为 30 的斜截面 上的正应力和剪应力。 1.求最大剪应力
P
t
s
2
30
sin 2
P
当 45 时，有 s N P t max 63.7MPa 2 d 2 2A 2 4
FNBC 60kN 103 6 s BC ＝ ＝ ＝ 120 10 Pa＝120MPa ABC 5 102 mm 2 10－6
s
max
＝s AD＝s BC ＝ 120MPa
§ 2.3 、拉(压)杆斜截面上的应力 问题的提出：铸铁试件在轴向压缩时沿 与轴线呈450方向的斜截面发生破坏。 需要研究直杆轴向拉压时斜截面上的应力 450
N1 5P 8P 4P P 0
N1 2P
O
A
PA
B
PB B PB N3
C
PC C PC
D PD D PD D PD D PD P x
同理，求得AB、 BC、CD段内力分 别为：
N2
N2= –3P N3= 5P N4= P
C
PC
N4
N 5P
轴力图如右图
2P +
–
+
轴力(图)的简便求法： 8kN B + 8kN – 3kN
5kN A 5kN
3kN C
二、拉（压）杆横截面上的应力 1. 变形规律试验及平面假设 变形前 P a c a´ c´ b d b´ d´ P
受载后
平面假设：原为平面的横截面在变形后仍为平面。
当外力沿着杆件的轴线作用时，其横截面上只有轴 力一个内力分量。与轴力相对应，杆件横截面上将只有 正应力。
P
k P k
P
P
1.斜截面上的内力
P
X 0, P P 0
P P
斜截面上的应力
由“平面假设”知斜截 面上的应力S均匀分布。 则有
P A 因S ，A A cos P 故S cos s cos A
P
P S
S A P P
s
例如： 用截面法求N。 P 截开： P P A 平衡： 简图 N A P P
A
代替：
X 0
PN 0
PN
2. 轴力——轴向拉压杆的内力，用N 表示。
3. 轴力的正负规定
N N
N N
拉正，压负
三、 轴力图—— N (x) 的图象表示。 轴力图表示沿杆的轴线轴力的变化规律。 意 ①反映出轴力与截面位置变化关系，较直观； 义 ②确定出最大轴力的数值 N P 及其所在横截面的位置， + 即确定危险截面位置，为
AAC 2 3.897 7.794cm
3.求各杆横截面上的应力
2
B
NAC NAB
A
s AB
s AC
N AB 146 10 6 2 75 10 N / m 75MPa 6 AAB 1963 10
3
P
N AC 138 103 6 2 176 10 N / m 176MPa 4 AAC 7.794 10
§2–1 轴向拉压的概念 一、概念
轴向拉压的外力特点：外力的合力作用线与杆的轴线重合。 轴向拉压的变形特点：杆的变形主要是轴向伸缩，伴随横向缩扩。 轴向拉伸：杆的变形是轴向具有伸长量(elongation)，横向缩短
(contraction) 。
力学模型如图
F F
轴向拉压，对应的内力称为轴力（拉力）。
杆件在轴力作用下产生均匀的伸长或缩短变形， 又，根据材料均匀性的假定，杆件横截面上的应力均匀分布.
平面假设的作用：得出横截面上正应力均布的规律。
2. 拉伸应力： P
s
N(x)
N ( x) s A
轴力引起的正应力 —— s ： 在横截面上均布。 3. 公式的应用条件 直杆、杆的截面无突变、截面到载荷作用点有一定 的距离。
强度计算提供依据。
N>0 N<0
x
[例1] 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、4P、 P 的力，方向如图，试画出杆的轴力图。 O A PA N1 A B PB B C PC C D PD D
PA
PB
PC
PD
解： 求OA段内力N1：设置截面如图
X 0 N1 PA P B P C P D 0
解：1． 作轴力图
应用截面法，可以确定AD、 DEB、BC段杆横截面上的轴力 分别为：
FNAD＝－2FP＝120 kN FNDE＝FNEB＝－FP＝60 kN FNBC＝－FP＝60 kN
2．计算直杆横截面上绝对 值最大的正应力
FNAD 120kN 103 s AD＝ ＝－ ＝－120 106 Pa＝－120MPa 2 2 －6 AAD 10 10 mm 10
例题1：轴向拉压杆系结构，杆AB为直径 d = 50 mm的 圆截面钢杆；杆AC由两根5号等边角钢构 成。 不计杆 的自重， ，P = 50kN。试求各杆横截面上的应 20 力。 解：1.求各杆的轴力(截面法)
5号等边角钢
50 50 4
X 0, N Y 0, N
AB
cos N AC 0
s 00 s cos2 00 s s t 00 sin 00 0 2
横截面上的正应 力出现极值，而 切应力为零。
s 900 s cos2 900 0 t 900 s sin 900 0 2
纵向截面上既 无正应力又无 切应力。
s s 450 s cos 45 2 s s 0 t 450 sin 90 2 2
2.求 30 斜截面上的应力
P
s s cos
2
30
t
s
2
2ห้องสมุดไป่ตู้
sin 2
P
s 30 s cos 30 95.6MPa
t 30 s
2 sin 2 30 55.2MPa
本次作业
2-1，2-2
例题2
变截面直杆，ADE段为铜制, EBC段为钢制；在A、D、 B 、 C 等 4 处承受轴向载荷。已知： ADEB 段杆的横截面面 积 AAB ＝10×102 mm2， BC段杆的横截面面积 ABC＝5×102 mm2；FP＝60 kN；各段杆的长度如图中所示，单位为mm。 试求：直杆横截面上的绝对值最大的正应力。
C
A
AB
sin P 0
P
B NAC NAB P A
N AB 2.92P 146kN N AC 2.75P 138kN
2.求各杆的横截面积
5号等边角钢
50 50 4
AAB
d2
4
502
4
1963mm
2
C
A
P
查型钢表求角钢的横截面积 5号等边角钢 A=3.897cm2