运筹学与图论

无向图
• 有向图的例子
V v1 ,v2 ,v3 ,v4 ,v5 ,v6 ,v7 , A a1 ,a2 ,a3 ,a4 ,a5 ,,a11
其中
a1 = v1 ,v2 ,a2 = v1 ,v3 ,a3 = v3 ,v2 ,a4 = v3 ,v4 ,a5 = v 2 ,v 4 , a6 = v4 ,v5 ,a7 = v4 ,v6 ,a8 = v5 ,v3 ,a9 v5 ,v4 , a10 = v5 ,v6 , a11 = v6 ,v7
15
④
14
6
⑤
⑥ 25
图的模型应用
例6.1 有甲,乙,丙,丁,戊,己6名运动员报名参加A,B,C,D,E,F 6个 项目的比赛。下表中打√的是各运动员报告参加的比赛项目。问 6个项目的比赛顺序应如何安排，做到每名运动员都不连续地参 加两项比赛。
a1
(v1) 赵 a2 a3 a14 a15 a8
a7
a4 (v3)孙
a5 (v5) 周 a6 a10
a9
(v4) 李
a12 a11 (v6)吴 a13
(v7)陈
无向图：由点和边构成的图，记作G=（V，E）。 有向图：由点和弧构成的图，记作D=（V，A）。
• 图的概念 – 图是由一些点及一些点之间的连线(不带箭头或带箭头) 组成的图形。 – 两点之间不带箭头的连线称为边，带箭头的连线称为弧。 – 如果一个图G由点及边所构成，则称之为无向图(也简称 为图)，记为 ，式中V，E分别是G的点集合和边 G = (V,E) 集合。一条连结点 的边记为［ ］( 或 v ,v V ［ ］)。 vi ,v j v j ,vi – 如果一个图 D由点及弧所构成，则称为有向图，记为 D=(V，A)，式中V，A分别表示D的点集合和弧集合。一 条方向是从vi指向vj的弧，记为( )。
e1 v1
如果边e的两个端点相重合，称该 边为环。如右图中边e1为环。如果两 个点之间多于一条，称为多重边，如
v2
e2
e4
e5
e3 v3
右图中的e4和e5，对无环、无多重边
的图称作简单图。
e6
e7
e8
v4
v5
链，圈，连通图
图中某些点和边的交替序列，若 其中各边互不相同，且对任意vi,t-1和 vit均相邻称为链。用μ表示：
(v1) 赵 e1
(v2)钱 e2
(v3)孙
e4 (v4) 李 (v5) 周 e5 (v7)陈
e3
(v6)吴
e2
(v1) e1 e4 e3 赵 (v2)钱 孙(v3) 李(v4) 周(v5) e5 吴(v6) 陈(v7)
可见图论中的图与几何图、工程图是不一样的。
如果我们把上面例子中的“相互认识”关系改为“认识” 的关系，那么只用两点之间的联线就很难刻画他们之间的关 系了，这是我们引入一个带箭头的联线，称为弧。下图就是 一个反映这七人“认识”关系的图。相互认识用两条反向的 (v2)钱 弧表示。
i j
vi ,v j
• 无向图的例子
V = v1 ,v2 ,v3 ,v4
其中
E e1 ,e2 ,e3 ,e4 ,e5 ,e6 ,e7
e1 = v1 ,v2 , e2 = v1 ,v2 , e3 = v2 ,v3 , e4 = v3 ,v4 , e5 = v1 ,v4 , , e6 = v1 ,v3 , e7 v4 ,v4
v2 e1 e2 v1 e4 e5 e6 e3 v3 e8
{v 0 , e1 , v1 ,, e k , v k }
起点与终点重合的链称作圈。如 果每一对顶点之间至少存在一条链， 称这样的图为连通图，否则称图不 连通。
e7
v4
v5
网络（赋权图）
设图G＝（V，E），对G的每一条边(vi,vj)相应赋予数量指标 wij，wij称为边(vi,vj)的权,赋予权的图G称为网络(或赋权图）。 权可以代表距离、费用、通过能力(容量)等等。 端点无序的赋权图称为无向网络，端点有序的赋权图称为有 向网络。 ② 9 ① 20 ③ 10 19 7
图与网络分析
( Graph Theory and Network Analysis )
本章主要内容：
1.图的基本概念与模型
2. 最小生成树问题 3.最短路问题
• 图论
– 运筹学的重要分支 – 主要应用领域
• 物理学、化学、控制论、信息论、科学管理、电子计算机等
– 图论理论和方法应用实例
• 在组织生产中，为完成某项生产任务，各工序之间怎样 衔接，才能使生产任务完成得既快又好。 • 一个邮递员送信，要走完他负责投递的全部街道，完成 任务后回到邮局，应该按照怎样的路线走，所走的路程 最短。 • 各种通信网络的合理架设，交通网络的合理分布等问题， 应用图论的方法求解都很简便。
1.图的基本概念与模型
图：由点及点与点的连线构成，反映了实际生活中某些 对象之间的某些特定关系。 点：代表研究的对象； 连线：表示两个对象之间特定的关系。 图：是反映对象之间关系的一种抽象。 一般情况下，图中点的相对位置如何，点与点 之间连线的长短曲直，对反映对象之间的关系并不 重要。
例如：在一个人群中，对相互认识这个关系我们可以用图来 表示。
• 图论的起源与发展 – 欧拉在1736年发表了图论方面的第一篇论文，解决了著 名的哥尼斯堡七桥问题。 – 七桥问题： • 哥尼斯堡城中有一条河叫普雷格尔河，该河中有两个 岛，河上有七座桥。当时那里的居民热衷于这样的问 题：一个散步者能否走过七座桥，且每座桥只走过一 次，最后回到出发点。图(a) – 欧拉将此问题归结为如图(b)所示图形的一笔画问题。即 能否从某一点开始，不重复地一笔画出这个图形，最后 回到出发点。欧拉证明了这是不可能的，因为图(b)中的 每个点都只与奇数条线相关联，不可能将这个图不重复 地一笔画成。
有向图
端点,关联边,相邻
边e可表示为e=[vi,vj]，称vi和vj是
边e的端点，反之称边e为点vi或vj的 关联边。若点vi、vj与同一条边关联，
e2
v2
e1 v1 e4 e5 e3
Biblioteka Baidu
v3 e6
e8
称点vi和vj相邻；若边ei和ej具有公
共的端点，称边ei和ej相邻。
e7
v4
v5
环, 多重边, 简单图