结构优化设计的基本原理

2-3 方向导数和梯度
I. 方向导数 Directional Derivatives
设空间任一点 X 0，对应函数为 f ( X 0 )，过 X 0 有某一 方向向量（单位向量） T P (P , P , , P ) 1 2 n 其中 P 1, P 2 ,, P n 为单位向量 P 在各坐标轴上的分量 (方向余弦)
P ， 是比 更高阶的无穷小量

f ( X
( 0) T
) P

当 0 时, / 0 , 上式左边的极限存在, 从而得 ( 0) ( 0) f ( X P ) f ( X ) ' ( 0) ( 0) T (X fP ) lim f ( X ) P
0

可见, 方向导数是函数 f ( X ) 在一点处沿某一方向对步长 的变化率。 ' ( 0) (X 方向增大； fP ) 0 函数沿 P ' ( 0) (X fP ) 0 函数沿 P 方向减小。 •结论: (1) 方向导数是一个标量，它是两个向量的线性组合； (2) 优化中，为求目标函数值最小，希望目标函数下降， 为此，要寻找一个 P ，使之沿 P 方向的方向导数为负值， 即： ' ( 0) ( 0) T f P ( X ) f ( X ) P 0 T 或者 gi ( X ) P 0
第二章 结构优化设计的基本原理
2.1 两类主要优化问题列式
I. 问题A --- 无约束最优化问题 该类问题不含任何约束条件. 也可将一个带约束的优化问题转化为无 约束最优化问题.
最优点X*处的函数值f(X*) =
这里引出如下研究问题 : 1. 如何取得极值? 2. 该极值是否是唯一的? 3. 若不是唯一的, 真正的极值何在? 如何求解?
II. 极值的必要条件
设f(X) 在X* 的某个邻域 内对所有点 X 连续可微, 且在 X* 处, 函数 f(X*) 局部极值, 则 f(X*) = 0
证明: 在 邻域内, f( X* ) f( X )，沿任意方向 P 移动P, 则 X X * P, f ( X ) f ( X * ) f ( X * )T P 当 0, / 0, f ( X ) f ( X *) ' * * T f P ( X ) lim f ( X ) P 0
0

函数 f ( X ) 在 X ( 0) 点处的台劳展开为（并用 f ( X (1) ) 代入） f ( X (1) ) f ( X ( 0) ) f ( X ( 0) )( X (1) X ( 0) ) 式中 X
(1)
Leabharlann BaiduX
( 0)
f (X
( 0)
P) f ( X ( 0) )
2-4 极值的必要条件和充分条件
I. 基本概念
1. 绝对或总体极小值 ( Absolute or Global Minimum ) f(X) | xRn 在所有点上都有意义，且存在 f(X*) f(X) X*点称为绝对或总体极小值。 2. 相对或局部极小值 ( Relative or Local Minimum ) f(X) 在X*点的某个邻域 上有意义， 若 0 < < ，使得所有X满足 || X-X* || < ， 则 X* 称为相对或局部极小点， f(X*)为相对或局部极小值。
若 X X , 步长为 , 沿方向 P (1) ( 0) X X P (1) ( 0) f ( X ) f ( X P) ( 0) f ( X P) f ( X ( 0) ) 两设计点间函数值差的商式为
( 0) (1)

若 0 时, 该商式有极限存在, 则此极限叫做点 X 0 处 函数 f ( X ) 沿P的方向导数，记为 ( 0) 0 f ( X P ) f ( X ) ' 0 ( X ) lim fP
II. 问题B --- 二次函数
f ( X ) = ½XTAX – bT X + C 其中 XRn
二次函数是一种简单而典型的函数。许多优化方 法都是以二次函数为基础来分析说明，然后推广应用 到一般函数。
2-2 函数的台劳展开式
假设 f(x) 在任一点 X(0) 的邻域内连续可微, 则可将 f(x) 在 X(0) 点按台劳级数展开； 若函数按台劳级数展开取二阶近似，即得一个二次函数。 目标函数取二阶展开，而约束条件取一阶展开，则构成 一个二次规划问题： 目标函数和约束条件按不同形式展开可得出不同的近似 序列规划问题； 原目标函数和约束条件的规划问题可以近似按台劳展开 的序列子问题通过逐次逼近来完成。
要取得极值的必要条件是其方向导数在该点为 0。 由于 P 0 , 必有 f(X*) = 0 证明完毕!
0
III. 极值的充分条件
设 f(X) 在X* 的某个邻域 内有点二阶X 连续导数，且 满足极值存在必要条件，假如 Hessian 矩阵 H( X* ) 正 定, 则 f(X) 在X* 点有相对极小值。
II. 梯度 Gradient
•梯度函数对设计变量X各分量的一阶导数组合向量. •将式(2-16)具体展开, 有
III. 几种特殊类型函数的梯度
•梯度的几何意义: 1. 梯度是一个向量； 2. 它是函数等值线的法线向量, 方向指向 函数值增加的一方； 3. 它的每一个分量代表函数对这一分量自 变量的偏导数。
证明: f(X) 有二阶连续导数, 则由台劳展开, 有
1 f ( X ) f ( X * ) f ( X * )T ( X X * ) ( X X * )T H ( X * )( X X * ) 2
由极值存在必要条件知, f(X*) = 0 , 则 f( X ) - f( X* ) = ½( X - X* )TH( X* )( X - X* ) + , 0, 若 ½( X - X* )TH( X* )( X - X* ) > 0 , 则 f( X ) - f( X* ) > 0, 得 f( X ) > f( X* ) , 即X* 处函数有相对极小值. 证明完毕!