圆锥曲线的极坐标方程介绍

圆锥曲线的极坐标方程介绍

很多老师在讲授圆锥曲线或进行总复习时，为了解题方便的需要，对圆锥曲线的极坐标方程作了相应的介绍．因为介绍的不是很详细，很多同学还是很不清楚．下面，我再详细地介绍一下圆锥曲线的极坐标方程．

利用坐标系来确定平面内点的位置和建立曲线的方程，除了直角坐标系外，常用的还有极坐标系．它是用长度和角度来确定平面内点的位置的一种坐标系．

在平面内取一固定点O ，从O 引一条射线OX ，再确定一个计

算长度的单位长和计算角度的正方向（通常我们选取逆时针方向作为

正方向）．这样就构成了一个极坐标．其中，O 点叫做极点，OX 叫极轴（如图一）．

设P 是平面内一点，连接线段OP ，那么极点和P 点的距离||OP ，叫做P 点的极半径，通常用ρ来表示；以极轴OX 为始边，射线OP 为终边的所成的XOP ∠，叫做P 点的极角，通常用θ来表示．（ρ，θ）就是P 点的极坐标．

为了研究的方便，我们也允许ρ取负值．当ρ<0时，点(,)P ρθ的位置可按下列规则来确定：

作射线OM （如图二）使XOM θ∠=，在OM 的反向延长线上P 点，使||||OP ρ=，那么P 点就是极坐标是（ρ，θ）的点(0)ρ<．

下面用极坐标来求圆锥曲线的方程．根据圆锥曲线的定义，我们如下建立直角坐标系： 取焦点F 为极点，作FG 垂直于准线l ，垂足为G ，取FG 的反向延长线FX 为极轴（如图三），设焦点到准线的距离为(0)p p >．

设(,)P ρθ是圆锥曲线上的任意一点，连接PE ，过P 作OQ l ⊥，PM FX ⊥，垂足分别为Q M 、，那么由圆锥曲线的第二定义，得：

因为||PF ρ= ， ||||cos PQ GM p ρθ==+ 所以cos e p ρρθ

=+

(,)P ρθ(ρ<0)

图一 图二 图三

就是1cos ep e ρθ

=-(0)p >． 这就是圆锥曲线的极坐标方程． 注意：对于椭圆和双曲线的一支，有2

(,0)b p b c c

=>．然而对于抛物线，其中的p 即为抛物线标准方程22(0)y px p =>中的p ．

下面我们就可以使用极坐标方程的方法很容易的解出重庆市０７年高考最后一题的第二问．

(22) (本小题满分12分)如图，中心在原点O 的椭圆的右焦点为F （3，0），右准线的方程为：x = 12。

（1）求椭圆的方程；

（2）在椭圆上任取三个不同点321,,P P P ，使133221FP P FP P FP P ∠=∠=∠，证明 |

|1||1||1321FP FP FP ++为定值，并求此定值。 下面是答案中提供的方法，可以看到该解法明显比极坐标方程方法复杂．但是在高考中是允许使用极坐标方程方法的．

解：（I ）设椭圆方程为22

221x y a b

+=． 因焦点为(30)F ，，故半焦距3c =．

又右准线l 的方程为2

a x c

=，从而由已知 2

21236a a c

==，， 因此6a =

，b ==． 故所求椭圆方程为22

13627

x y +=． （II ）记椭圆的右顶点为A ，并设i i AFP α∠=（i =1，2，3）

，不失一般性， 假设1203απ<

≤，且2123ααπ=+，3143

ααπ=+． 又设点i P 在l 上的射影为i Q ，因椭圆的离心率12

c e a ==，从而有 1(9cos )2i i FP α=- (123)i =，，． 答（22）图

解得

1211cos 92i i FP α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭

(123)i =，，． 因此 1111

2311121243cos cos cos 9233FP FP FP ααα⎡⎤⎛ππ⎫⎛⎫⎛⎫++=+++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 而11124cos cos cos 33αααππ⎛

⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭

1111111cos cos sin cos sin 02222

ααααα=---+=， 故12311123FP FP FP ++=为定值．