大学物理8振动

8.2 简谐振动的运动学方程
1.振幅
Ad d
2x t2
xm2axx
0
2.周期、频率、圆频率
x Acos(t )
x Acos(t ) Acos[(t ) 2 ]
x Acos(t ) Acos[((t T ) ]
周期
T 2
频率
1 T 2
圆频率
2 2
T
3. (t ) 称相位，是描述状态的物理量。 称初相位。
相位比时间更直接更清晰地反映振动的状态和周期性。
4. 周期由系统本身性质决定，振幅和初相由初始条件决定。
x Acos(ω t ) v ω Asin( ω t )
A
x 2 0
v2 0 2
x0 Acos
v0 ω Asin tan v0
x0
例：已知简谐振动 t 0 时x0 0, v0 0，写出其振动方程式。
x Acos(t )
例:定滑轮质量为M,半径为R。跨过滑轮的轻绳分别与重物(m)和 弹簧(k)相连，弹簧它端固定。① 求系统的振动周期；② 托住重 物使绳子刚好拉直且弹簧无形变时将其释放,写出重物的振动方程。
解：① mg kx x mg / k
mg T ma
TR f R J 1 MR2
An
n1
cosnt
Bn sin nt
A0
2 T
T
x(t)dt
0
2 An T
T
x(t) cos ntdt
0
Bn
2 T
T
x(t) sin ntdt
0
x(t) 被分解为（常数项除外）频率为 n 的一系列简谐振动
，2 , 3 构成离散的傅里叶频谱 A0，An ，Bn 为相应简谐振动的振幅
方波
x
x(t)
1,
1,
nT nT
t nT T 2
T t (n 1)T 2
1
O
Tt
x(t )
4
s in
t
1 3
sin
3t
1 5
sin
5t
锯齿波 x(t) 1 2 t T
x 1
O
nT t (n 1)T
T
t
x(t )
2
sin t
1 2
sin
2t
1 3
sin
3t
8.1 简谐振动的微分方程
v0 2 sin 0
4
当 t = 1时, 有
x1
2
cos(
4
)
0
v1
2
sin(
4
)
0
解得： 3
4
x 2 cos(3 t )
44
8.3 旋转矢量
A
o
x
t
物理模型与数学模型比较
简谐振动 旋转矢量
振幅
模
初相 初始夹角
相位
夹角
圆频率 角速度
旋转矢量 A的端点在 x 轴上
的投影点的运动为简谐运动。
① 弹簧振子
k
k
x
m
d d
2
t
x
2
F
m
o
x
d d
2x t2
k m
x
0
令 2 k
m
d d
2x t2
2
x
0
② 单摆
M J M mgl sin
d 2
dt 2
mgl s ml
in
2
g sin
l
令 2 g
l
较小时 sin
T
mg sin mg cos
mg
d 2
dt2
2
0
不同振动系统的微分方程具有相同的数学形式。
解：
F
Gm r2
r3 ( R3
Me)
GmMe R3
r
Fx
GmMe R3
r sin
GmMe R3
x
r
F
Ro o x
GmMe x m d 2x
R3
dt2
d2x dt2
GM e R3
x
0
满足简谐振动方程，故为简谐振动。
周期：
T 2 2 R3 84.3min
G Me
8.4 简谐振动的能量
Ek
解：设偏离平衡位置的液柱高度为y
y
机械能守恒 1 mv2 ( Sy)gy C
2
平衡位置
O
两边求导 my 2Sgy 0
分析受力 微分方程 振动周期
my 2Syg y 2 Sg y 0
m
T 2 m
2Sg
质心位置上升了 y 液柱作简谐振动。
例：半径为 r 的小球在半径为R 的半球形大碗内作纯滚动， 这种运动是简谐振动吗？如果是，求出它的周期。
A
x02
v02
2
v0
arctan π
2
x v0 cost π 2
例：某质点作简谐运动，振动曲线如图所示。试根据图中数据 写出振动表达式。
解：设振动方程为 x Acos(t )
x (m)
2
由图，A= 2m。当 t = 0 时有： 2
O
x0 2cos 2 -2
1
t (s)
1 2
mv
2
1 2
m2 A2
sin 2 (
t
)
Ep
1 2
k x2
1 2
k A2
cos2 (t
)
E
Ek
Ep
1 2
m 2 A2
1 2
k A2
★ 可由能量守恒确定系统的微分方程和振动周期
1 mv 2 1 kx2 C mv dv kx dx 0
2
2
dt dt
d d
2
t
x
2
k m
x
0
例：U 形管截面面积 S ，管中流体的质量 m、密度ρ，求 液体振荡周期 T。
解：设小球质心速度 vc ，角速度
机械能守恒
mg(R
r)(1 cos )
1 2
mvC2
1 2
J C 2
E0
其中
JC
2 5
mr 2
vC
(R r)
d
dt
rdd(RRrr)dd
dt r dt
将上三式代入后，对时间求导数
d 2 5g sin 0
mr
2
d 2
dt 2
. r( O) R
接触点纯滚动：
(
R
r
)
d d
2
t2
r
d 2
dt 2
N f
小幅度振动条件： sin
mg
联立解得：
d 2
d t2
5g
7(R r)
0
来自百度文库
周期 T 2 2 7(R r)
5g
例：设想地球内有一光滑隧道，如图所示。证明质点m在此 隧道内的运动为简谐振动，并求其振动周期。
第 8 章 振动
机械振动：物体在平衡位置附近来回往复的运动。 广义振动：任何物理量在某定值附近的周期变化。
E
B
E
B
简谐运动
合成 分解
复杂振动
周期性复杂振动可以表示为傅里叶（Fourier）级数 非周期性复杂振动可表示为傅里叶（Fourier）积分
一般的周期性函数都可以用傅里叶级数展开
x(t)
A0 2
/
2
t
例：半径为 r 的均匀小球，可以在一半径 R 为的球形碗底部作 纯滚动。求圆球在平衡位置附近做小振动的周期。
解：建立图示坐标系，以小球为研究对象。
小球作平面平行运动可分解为质心的运动 + 绕质心的转动
质心沿圆周切向方程：
f
mg sin
d 2
m(R r)
dt 2
小球绕质心转动方程：
f
r
2 5
f
2
a R
f k (x x0 )
k
d d
2x t2
m
k M
/
2
x
0
k
mM /2
T 2 2 m M / 2
k
MR
m
x
O
Tx
mg
x
② x Acos(t )
x0
x
mg k
v0 0
A
x02
v02
2
mg k
arctan
v0
x0
0
M
f
R
m
k
x
O
Tx
mg x
x
mg k
cos
m
k M