平面桁架程序计算原理及程序编制
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U12k51(EF)k(L)k2/Lk
对于该平面桁架，有
杆号 L
△L
1
2
3
4
a
a
a
sqrt(2)a
v1
u1-u2
v2
(u1+ v1)/ sqrt(2)
把上述值代入应变能表达式，得到
5 sqrt(2)a (v2- u2)/ sqrt(2)
U E 2 F a v 1 2 ( u 1 u 2 ) 2 v 2 2 ( u 1 v 2 ) 2 /2 2 ( v 2 u 2 ) 2 /2 2
v 2
单元局部刚度阵
考虑单根杆件在位移下产生的内力。
根据虎克定律，对于任意一根杆，有：
N EF gL L
式中 L 为杆的伸长，L 为杆的长度，N 为杆的内 力，E F 称为单根杆的刚度(单元刚度阵)。
L
用RD来表示单元刚度阵，于是
RD EF L
胡克定律可表达如下
NRDgL
y
பைடு நூலகம்
u v
A A
A
u v
B B
B
x
由单根杆件的变形几何关系可得
L u g co s vg sin (u B u A )g co s (vB vA )g sin
角是杆件轴线与 x 方向的夹角，由 x 正向逆时 针向转至杆轴的角度为正。
进一步有内力和节点位移之间的关系
N E L F (u B u A )g c o s (v B v A )g s in
位移
E a Fg00212u21212v2P
写成矩阵形式 RWP，即正则方程。
其中
1212
r11 r12 r13 r14
1
Rr21
r22
r23
r24
EF/
a
2
2
rr3411
r32 r42
r33 r43
rr3444
1
0
结构刚度矩阵
1 22 1 1
22 0
0
1
0 1 1
22 1
22
0
0
1 22
1212
而外力向量为：
P1 P
P
P P
2 3
0
P
P 4 0
采用高斯消元法求得位移为
u13.824a/EF
v11.000a/EF
u2 u1
v2 v1
利用每根杆的内力-位移关系计算杆内力
N1 1 N3 1
N5 1.412
N2 0 N4 1.412
5-3 最小总势能原理的应用
对于每根杆件（以两端节点编号A和B定出 角） 应用上述公式，有
N1
EF
v1 a
N2
EF
u1
u2 a
N3
EF
v2 a
N4
EF
u1 v1 2a
N5
EF
v2 u1 2a
平面桁架结构
应用上述各杆内力和位移关系后，便可建立以位 移为未知数的节点平衡方程。
节点平衡方程为
N 2N 4cos450P0 N1N4cos4500
v u
1 2
w 4 v 2
现对各位移变量分别取偏微商后，得
E a Fg1212u1212v1u20P E a Fg 212u 1 1212 v100 P
E a Fg u10 1212 u2212v2 P
E a Fg00212u21212v2P
注：值得指出的是刚度矩阵中的系数只与结构本身的几何形态和约 束条件有关，而与外载无关。
结构有限元程序设计基本原理
——平面桁架程序的计算原理及程序编制
平面桁架程序的计算原理
5-01 矩阵位移法 5-02 矩阵位移法算例 5-03 最小总势能原理的应用 5-04 矩阵位移法的求解步骤 5-05 结构计算简图的数据结构 5-06 位移未知数的确定 5-07 单根杆件的分析 5-08 结构总刚度矩阵的形成 5-09 杆件内力的计算 5-10 能量原理和矩阵位移法
5-1 矩阵位移法
• 桁架是由离散杆件组成的构架结构，杆件的端点 借助于无摩擦的铰连接起来。
• 桁架主要靠各杆中的轴向拉力或压力来传递作用 在桁架节点上的荷载，杆件的任何弯曲均忽略不 计。
• 用有限元分析桁架时，桁架中的每根杆件都是一 个单元，称为杆单元。它是一维单元。
不同分类： （1）平面桁架/空间桁架 （2）静定桁架/超静定桁架
5-2 矩阵位移法算例
如图所示平面桁架，各根杆的截面积F相等，材料的 弹性模量E相同，在两个单位力P=1的外荷载作用下， 用位移法计算节点位移和各杆内力。
P 1
P 2
节点总数： NW=4 可动节点数：NU=2 位移未知数总数：NDISP=2*NU=4
4
平面桁架结构
3
u1
W
v u
1 2
注意：节点自由 度排序和节点平 衡方程相对应。
由上式可见，公式中只有位移的二次项，也就是说 是位移的一个二次齐次函数，或者说是一个位移的 二次型。（位移的正定二次型，应变能总是正的）
现在计算外力势能。外力 P 产生势能的原因是当节
点发生位移时，外力要作功。所作功的负值便是它
们具有势能的改变量，如果取未变形位置外力的势
能为零，有
P
P
1
2
VPu1Pu2
4
3
平面桁架结构
将 U 和 V 相加，得到总势能。
由于V 是位移的一次函数，总势能就成为位 移的二次非齐次函数。
根据最小总势能原理，在所有可能的位移状态中， 真正发生的位移状态使总势能为最小。即函数对 自变量的偏微商为零，即
式中
(UV)0 (i1,2,3,4) wi
w1 u1
W
w2 w3
求解方法
力法：以力未知数，必须预先满足平衡条件，然 后通过连续条件求解未知力；超静定基的选取。 位移法：以位移为未知数，各杆件的变形由相连 接的节点位移确定（变形协调条件），通过各个 节点的平衡方程求出未知位移，再由位移计算出 各杆件的内力；各节点的平衡方程也可由最小总 势能原理推导。
以平面桁架结构分析的程序设计为例，介绍结构分 析和程序设计的方法。
最小总势能原理与位移法都是以位移为未知 数使变形状态预先满足连续条件。现对上述 例题采用最小总势能原理进行求解。
• 总势能由两部分组成
➢结构的弹性应变能 U ➢外力由于结构变位所产生的势能 V
由于桁架结构的杆件只能承受拉压力，所以 单根杆件的应变能为
U EF(L)2 / L 2
对于整个桁架应变能是所有杆件应变能的叠 加，即
N 2N 5cos450P0 N3N5cos4500
注意：节点自由度排序和节点平衡方程相对应。
将各杆的内力用位移表示的方程代入上式，有
E a Fg1212u1212v1u20P
E a Fg 212u 1 1212 v100 P
未知 数为 节点
E a Fg u10 1212 u2212v2 P
对于该平面桁架，有
杆号 L
△L
1
2
3
4
a
a
a
sqrt(2)a
v1
u1-u2
v2
(u1+ v1)/ sqrt(2)
把上述值代入应变能表达式，得到
5 sqrt(2)a (v2- u2)/ sqrt(2)
U E 2 F a v 1 2 ( u 1 u 2 ) 2 v 2 2 ( u 1 v 2 ) 2 /2 2 ( v 2 u 2 ) 2 /2 2
v 2
单元局部刚度阵
考虑单根杆件在位移下产生的内力。
根据虎克定律，对于任意一根杆，有：
N EF gL L
式中 L 为杆的伸长，L 为杆的长度，N 为杆的内 力，E F 称为单根杆的刚度(单元刚度阵)。
L
用RD来表示单元刚度阵，于是
RD EF L
胡克定律可表达如下
NRDgL
y
பைடு நூலகம்
u v
A A
A
u v
B B
B
x
由单根杆件的变形几何关系可得
L u g co s vg sin (u B u A )g co s (vB vA )g sin
角是杆件轴线与 x 方向的夹角，由 x 正向逆时 针向转至杆轴的角度为正。
进一步有内力和节点位移之间的关系
N E L F (u B u A )g c o s (v B v A )g s in
位移
E a Fg00212u21212v2P
写成矩阵形式 RWP，即正则方程。
其中
1212
r11 r12 r13 r14
1
Rr21
r22
r23
r24
EF/
a
2
2
rr3411
r32 r42
r33 r43
rr3444
1
0
结构刚度矩阵
1 22 1 1
22 0
0
1
0 1 1
22 1
22
0
0
1 22
1212
而外力向量为：
P1 P
P
P P
2 3
0
P
P 4 0
采用高斯消元法求得位移为
u13.824a/EF
v11.000a/EF
u2 u1
v2 v1
利用每根杆的内力-位移关系计算杆内力
N1 1 N3 1
N5 1.412
N2 0 N4 1.412
5-3 最小总势能原理的应用
对于每根杆件（以两端节点编号A和B定出 角） 应用上述公式，有
N1
EF
v1 a
N2
EF
u1
u2 a
N3
EF
v2 a
N4
EF
u1 v1 2a
N5
EF
v2 u1 2a
平面桁架结构
应用上述各杆内力和位移关系后，便可建立以位 移为未知数的节点平衡方程。
节点平衡方程为
N 2N 4cos450P0 N1N4cos4500
v u
1 2
w 4 v 2
现对各位移变量分别取偏微商后，得
E a Fg1212u1212v1u20P E a Fg 212u 1 1212 v100 P
E a Fg u10 1212 u2212v2 P
E a Fg00212u21212v2P
注：值得指出的是刚度矩阵中的系数只与结构本身的几何形态和约 束条件有关，而与外载无关。
结构有限元程序设计基本原理
——平面桁架程序的计算原理及程序编制
平面桁架程序的计算原理
5-01 矩阵位移法 5-02 矩阵位移法算例 5-03 最小总势能原理的应用 5-04 矩阵位移法的求解步骤 5-05 结构计算简图的数据结构 5-06 位移未知数的确定 5-07 单根杆件的分析 5-08 结构总刚度矩阵的形成 5-09 杆件内力的计算 5-10 能量原理和矩阵位移法
5-1 矩阵位移法
• 桁架是由离散杆件组成的构架结构，杆件的端点 借助于无摩擦的铰连接起来。
• 桁架主要靠各杆中的轴向拉力或压力来传递作用 在桁架节点上的荷载，杆件的任何弯曲均忽略不 计。
• 用有限元分析桁架时，桁架中的每根杆件都是一 个单元，称为杆单元。它是一维单元。
不同分类： （1）平面桁架/空间桁架 （2）静定桁架/超静定桁架
5-2 矩阵位移法算例
如图所示平面桁架，各根杆的截面积F相等，材料的 弹性模量E相同，在两个单位力P=1的外荷载作用下， 用位移法计算节点位移和各杆内力。
P 1
P 2
节点总数： NW=4 可动节点数：NU=2 位移未知数总数：NDISP=2*NU=4
4
平面桁架结构
3
u1
W
v u
1 2
注意：节点自由 度排序和节点平 衡方程相对应。
由上式可见，公式中只有位移的二次项，也就是说 是位移的一个二次齐次函数，或者说是一个位移的 二次型。（位移的正定二次型，应变能总是正的）
现在计算外力势能。外力 P 产生势能的原因是当节
点发生位移时，外力要作功。所作功的负值便是它
们具有势能的改变量，如果取未变形位置外力的势
能为零，有
P
P
1
2
VPu1Pu2
4
3
平面桁架结构
将 U 和 V 相加，得到总势能。
由于V 是位移的一次函数，总势能就成为位 移的二次非齐次函数。
根据最小总势能原理，在所有可能的位移状态中， 真正发生的位移状态使总势能为最小。即函数对 自变量的偏微商为零，即
式中
(UV)0 (i1,2,3,4) wi
w1 u1
W
w2 w3
求解方法
力法：以力未知数，必须预先满足平衡条件，然 后通过连续条件求解未知力；超静定基的选取。 位移法：以位移为未知数，各杆件的变形由相连 接的节点位移确定（变形协调条件），通过各个 节点的平衡方程求出未知位移，再由位移计算出 各杆件的内力；各节点的平衡方程也可由最小总 势能原理推导。
以平面桁架结构分析的程序设计为例，介绍结构分 析和程序设计的方法。
最小总势能原理与位移法都是以位移为未知 数使变形状态预先满足连续条件。现对上述 例题采用最小总势能原理进行求解。
• 总势能由两部分组成
➢结构的弹性应变能 U ➢外力由于结构变位所产生的势能 V
由于桁架结构的杆件只能承受拉压力，所以 单根杆件的应变能为
U EF(L)2 / L 2
对于整个桁架应变能是所有杆件应变能的叠 加，即
N 2N 5cos450P0 N3N5cos4500
注意：节点自由度排序和节点平衡方程相对应。
将各杆的内力用位移表示的方程代入上式，有
E a Fg1212u1212v1u20P
E a Fg 212u 1 1212 v100 P
未知 数为 节点
E a Fg u10 1212 u2212v2 P