理论力学湖南大学刘又文第一章课件

C
M AC (F )
MC (F )AC
c
M
C
(F )
F
A
2
b

2
Fab a b c
2
a
1.2 力的投影、力矩与力偶
1.2.2 力矩 4. 合力矩定理
汇交力系: FR Fi
(1)对点
MO (FR ) r FR r Fi r Fi MO (Fi )
* 主矢 FR Fi Fi，与简化中心无关
主矩
MO MO (Fi )，与简化中心有关
能否找到两个不同简化中心，使某力系主矩相同? 2)解析表示 主矢大小
1.3 力系的简化
FR
*
( Fx ) ( Fy ) ( Fz )
2 2
2
1.3.2 一般力系向一点简化
受力分析的理论基础，研究力系平衡规律的途径 一般力系 1.3.1 力的平移定理 1.3.2 一般力系向一点简化 1.3.3 力系的最简形式 汇交力系+力偶系。
1.3.1 力的平移定理
1.过程:
F
(加 )
F'
F
F'
B
A
B
B A A
F = F' = F"
F
M
2.定理: 作用于刚体上的力，可平移至该刚体内任一点，但 须附加一力偶，其力偶矩等于原力对平移点之矩。
A
M
A
M
A 端受力如何?
1.2 力的投影、力矩与力偶
1.2.3 力偶
F
M
静止时力偶 M 与 F 平衡吗?
F
2.力偶矩矢
A
定 义:
MO F , F rA F rB F
F
F
B
rA
而
rA AB rB , F F '
rB
O
M 0 F , F AB F BA F M
改变了A、B、C处约束力
第一章 力系的简化
1.1 静力学公理 推论1 力对刚体的可传性
F
B
加
A
B
B
F
A
减
A
F
力对刚体为滑移矢。作用点
适用: 同一刚体
F
F
作用线
1.如图，力F滑移，改变哪些受力与变形?
F
B A
C
F
B A
C
不改变B处外力，却改变AC段内力与变形。
第一章 力系的简化
1.1 静力学公理 2.力F滑移改变外力吗?
结论：
力系的最简形式有平衡，合力、合力偶和力螺旋4种 情形。
1.3 力系的简化
1.3.3 力系的最简形式
1.3 力系的简化
1.3.3 力系的最简形式
1.图示力系沿正方体棱边作用，F1=F2=F3=F,
其向O点简化结果是什么?
力螺旋。
z
F1
A
F3
O
y
x
F2
2.一般力系简化为合力或合力偶条件是什么?
， MO ，MO ，MO
a . FR M O
M
O
，即 FR MO
h = M 0 /FR
O
O1
h
O1

FR
FR = FR = FR F R
FR
FR
O
1.3 力系的简化
1.3.3 力系的最简形式
平面一般力系的最简形式?
一合力。
b.
FR
M0
O O
FR // MO
——力螺旋
FR
h MO / F
1.3.3 力系的最简形式
2.力系的最简形式 力系向任一简化中心简化的结果，有哪些特殊情形?
能否进一步简化? (1) FR 0 ，MO (2) (3) (4)
FR 0
FR 0 FR 0 0 0 0 0 0, 时，简化为一合力。
F R
O
与零力系等效，平衡 。
简化为一力偶 。 简化为一合力 。
B
G G
C
第一章 力系的简化
1.1 静力学公理 公理五(刚化原理) 变形体平衡，刚化后仍平衡。其逆不成立。 1.如绳
刚体
F1 F2

F1
绳
F2
效应: 提供用刚体模型研究变形体平衡的依据。
刚体平衡条件对变形体是必要而非充分。 2.如何寻求质点系平衡的充要条件? 虚功原理。
第一章 力系的简化
1.1 静力学公理
FR M O 0 FR 0, MO力系的简化
1.3.3 力系的最简形式
3.哪些特殊力系不可能简化为力螺旋? 汇交、平面、平行、力偶系。
4.某力系对不共线的三个简化中心主矩相同，
该力系最简形式? 力偶。
1.3 力系的简化
1.3.3 力系的最简形式
1.试求图示平面力系向O点简化结果及最简形式。
FR
M0
F
F'
h
力螺旋是力系的最简形式
力学基本参量。
1.3 力系的简化
1.3.3 力系的最简形式
c. FR
与 M O 斜交
MO
FR
M O //
M O //
O
FR
O
M O //
F F M O R R P FR FR FR
O
MO
P
M O FR FR
2
称为力系第三不变量。
OO M O FR
FR Fi
*
——第一不变量
M A M O AO FR
FR M A FR MO FR AO FR
其中 故
FR AO FR 0
FR M A FR M O
——第二不变量
力系主矢和主矩的点积不随简化中心变化 (第三不变量待后引出)
1.3 力系的简化
公理三 (加减平衡力系原理) 在已知力系上加上或减去任意平衡力系，不改变 原力系对刚体的效应。
F1
F
F
F1
第一章 力系的简化
1.1 静力学公理 效应: 力系等效替换与简化 适应: 同一刚体 若为变形体，上图中物体变形不同。 图(a)和(b)受力等效吗?
A
F
A
F
F1
C
(b)
B

C
(a)
F1
B
FB
FC
i MO F r F x Fx j y Fy k z Fz
O
M O (F )
F
r
2.力对轴之矩是标量
z
M z (F ) M z (F1 ) M z (F2 )
M
O
F
M O ( F2 )
(F )
O
0 M z (F ) M z (F2 )
F2
F1
F2
M
O
( F1 )
— 力F在与轴垂直平面上的投影
第一篇 静力学基础
几何静力学: 各类力系: 平衡力系: 平衡条件:
用矢量方法研究物体的平衡规律。 一群力: 平面 (一般、平行 、汇交)
空间
作用在平衡物体上的全部外力 平衡力系满足的条件 力系的简化(理论基础)与力系的平衡
基本任务:
公理化体系
第一章 力系的简化
静力学基础 寻求平衡条件的途径 受力分析的依据
2)对轴:
上式投影
M x M ix
M
M y M iy
Mx My Mz
2 2
M z M iz
2
cos(M , i )
cos(M , j ) My M
Mx M
cos(M , k )
Mz M
3)平面力偶系:
1.2 力的投影、力矩与力偶
M Mi
1.3 力系的简化
仅适应于同一刚体。
1.3 力系的简化
1.3.1 力的平移定理
1.单手攻丝为何不正确?
F
M
F
F 易使丝锥折断。
2.试将下图分布力简化。
q
l l
q0
ql
1 2
q0l
l 2
l 3
1.3 力系的简化
1.3.1 力的平移定理
3.力F平移可行吗?
F
F
M

改变外力与变形
F
B A
a
C
F
A B
C
M Fa
改变BC段受力与变形
1.2 力的投影、力矩与力偶
1.2.3 力偶
A
F
F
B

M

M
rA
O
rB
性 质: 力偶矩矢与矩心O位置无关,为自由矢；经滑移、 平移后不改变矩矢效果。
三要素: 大小、方位、转向。
力偶对轴之矩等于该矩矢在该轴上的投影。 1.求力偶M对x,y,z三轴之矩?
a
z
M
o
n
a
a
y
Mx My Mz
3 3
Fx
(1)直接投影
Fx F cos
x
F xy
(2)两次投影
(3)力的坐标表示
Fx Fcos cos
F Fx i Fy j Fz k
其中 Fx F i
力在轴上的投影等于该力与该轴单位矢的点积。
1.2 力的投影、力矩与力偶
1.2.2 力矩 1.力对点之矩是矢量(定位矢)
动力学受力分析基础(力向质心简化)
1.1 静力学公理 经长期实践与反复验证的真理。通向公理，无逻 辑之路，全靠人的直觉与经验。 公理一(力的 法则) 力的多边形法则: FR Fi
F1 F1
O
F2 F2
O
F n 1
Fn
F n 1
FR
Fn
效应: 力系简化规则 适应: 汇交力系、任何物体(刚体、变形体)
均为正交。 2.插入端的受力分析
q
C
F
B
A
FR
C C
q
A B
F
B
M
A
A
1.3 力系的简化
1.3.2 一般力系向一点简化 3.杆截面的受力分析。
Fi
q
z
M Oz
FOz
FO y M Oy
y
FO x
M Ox
x
FOy－轴力 FOx，FOz－剪力 MOy－扭矩 MOx，MOz－弯矩
1.3 力系的简化
1.3.3 力系的最简形式 1. 力系的不变量 (不依简化中心不同而改变的量) 主矢
1.3 力系的简化
1.3.2 一般力系向一点简化 1.过程: 选O为简化中心
z
z
Fn
rn r2
MO n
F2
y
MO 2
O
O r1
F n
F 2
y
F1
x
F1
M O1
x
z
合力
F R
O
FR Fi MO MO (Fi )
合力偶矩
y
MO
x
1.3 力系的简化
1.3.2 一般力系向一点简化 2.主矢与主矩——原力系的特征量 1)定义
M
x
1.2 力的投影、力矩与力偶
1.2.3 力偶 2.图示三杆受力与变形有何相同与不同?
M
l
M
l 2l l
F
l
M l
距固定端l段变形与受力相同。 3.合力偶定理 1)对点:
z z
M1
M2
Mn Mn
M
M1
M2
o
M
n -1
o
M
x
n -1
M3
y
M3
y
M Mi
x
1.2 力的投影、力矩与力偶
1.2.3 力偶 合力偶矩等于各分力偶矩的矢量和。
3.力对轴之矩与力对该轴上一点之矩的关系
M z (F ) [MO (F )]z
1.2 力的投影、力矩与力偶
1.2.2 力矩 力对轴之矩等于此力对该轴上任一点之矩在该
轴上的投影。
i j y Fy k z Fz
亦可由 M O F r F
x Fx
导出
已知如图，求 M AC (F )
C
F
D
F
铰D处作用力方位?
A B E
D处相互作用力必过C点。
第一章 力系的简化
1.1 静力学公理 公理四(作用与反作用定律) 两物体间的作用力与反作用力等值，反向，共线。 效应: 适应:
物系受力分析基础
一切物体(静力与动力)
与二力平衡区别，作用于两个物体上。 两杆对称，分析顶点C处相互作用力。
A
相互作用力水平
方向余弦
cos(FR

F ,i )
FR
* *
x
,
cos(FR cos(FR

F , j)
FR FR
2
*
y
,

F ,k )
z
主矩大小 方向余弦
MO
M
x
M y M z
2
2
cos(M O
M ,i )
x
, ,
cos(M O , j ) cos(M O , k )
合力对任一点之矩等于各分力对同一点之矩的矢量和。 (2)对轴
上式在任意x轴投影 M x (FR ) M x (Fi )
1.2 力的投影、力矩与力偶
1.2.3 力偶 1.力偶的概念 1)实例:
F
F
2)定义: 两个等值、反向的平行力，记为 ( F , F ) 力偶不能合成为一个力，也不能与一个力平 衡，是一个基本力学量。
C C
F
A B A
F
B
滑移后，改变了杆端A、B处的外力。 推论2(三力平衡汇交定理)
刚体受三力平衡，若其中二力相交，则三力共面，
且汇交于一点。
证： 由
第一章 力系的简化
法则合成，再由二力平衡原理得证。
1.1 静力学公理 判断重杆对圆轮作用力及杆端B处作用力方向。
A
FA
B
G1
C
G
FB
推广: n个力平衡，其中n-1个汇交于一点则第n个力必 过此点。
在小变形下，求外力均在原形上刚化。
F F
第一章 力系的简化
1.2 力的投影、力矩与力偶
1.2.1 力的投影
1.2.2 力矩
1.2.3 力偶
1.2.1 力的投影 1.力在平面上投影是矢量
Fxy [F ]xoy Fxy | Fxy | F cos
O
z


F
k
i
j

y
2.力在轴上投影是标量
第一章 力系的简化
1.1 静力学公理 公理二 二力平衡 二力等值、反向、共线
效应:
适应: 否则
F1
最基本平衡条件 同一刚体
F2 F1 F2
不平衡
不计重力 ，确定B，C两点受力方位。
D B B
F
A
C
FB
C
FC
若无摩擦，能否平衡?
第一章 力系的简化
二力构件仅在两点受力平衡
1.1 静力学公理
B

A
两个重球由无重杆连结，为二力构件。