流体力学第七章详解
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7 量纲分析和流动相似原理
7.1 量纲分析的意义和量纲和谐原理 7.1.1 量纲和单位 量纲——是指撇开单位的大小后，表征物理量的性质和 类别。 如长度量纲为[L]。 ——“质”的表征。(物理的属性， 物理量的实质，不含人为的影响) 单位——量度各种物理量数值大小的标准量，称单位。 如长度单位为m或cm等。——“量”的表征。(人为规定的量 度 标准) 基本量纲和导出量纲——具有独立性的，不能由其他 量纲推导出来的量纲叫做基本量纲。一般取长度、质量、 时间，即[LMT]。
2
1
2
3
3
X6
X X X 3
3
3
1
2
3
例2 求有压管流压强损失表达式。
解：
⑴有关物理量为 f（p、、、l、d、、） 0
有关量数n=7。
⑵基本量纲 , d, ，m=3。
⑶组成项，π数n- m=4
p
1 a1 d b1 c1
2 a2 d b2 c2
l
3 a1 d b3 c3
4 a4 d b4 c4
F(1, 2 , 3, 4) 0
⑷ 确定各π项指数
1 [p] []a1[d ]b1[ ]c1
Βιβλιοθήκη Baidu
[M L1T 2] [LT ]1 a1[L]b1[M L ]3 c1
M : 1 c1
L : -1 a1 b1 3c1
T : - 2 a1
a1 2 b1 0
V
V V
P A
l
3 P
l
3 m
3
l
7.3.2 运动相似
两个流动相应点速度方向相同，大小成比例。
t tP
tm
g
gP gm
1
lP
P A
tP lm
lP lm
tm tP
l t
tm
P
a
aP aA
tP
m
tm
P m
tm tP
l t2
TTmPPPmPPmIIPPPmPmPmTTGGPPmmPmmPmP7.GGP3PGGIIPmIGPIm.PPmmmP3PmPIITTPmII动TTPPmmIPmPmPTT力TTPmPPPPm相TPPmPmPPmPP似PPmPPmPmPPmPPmPmPmPPmmPPGmPGGPmPGGIPmP
L : 2 2a 3b c
L : 3 2a b
解得：a=1，b=1，c=1 整理方程式得：N=KγQH, K 由实验定。
7.2.2 π定理
某一物理过程可描述为：
f (X1, X 2, X 3,X n) 0
选其中 m个作为基本量，则该方程可由 n-m个无量纲式 描述：
F (1, 2 , 3 , nm) 0
π为无量纲数。分别求出各个π再回代即得。 例如， f (X1, X 2 , X 3, X n) 0，若选基本量为 X1、X2、X3、
F(1, 2 , 3, n3) 0
X1 、X2 、X3独立。
确定各指数，得各π值，再回代F得物理方程式。
1
X4
X X X 1
1
1
1
2
3
2
X5
X X X 2
2
4
Re， d
7.3 流动相似概念
相似概念: 几何相似、运动相似、动力相似。
7.3.1 几何相似——相应的线段长度成比例。 如：
下标P表示原型，下标m表示模型。λ为比尺。
l P1 l m1
lP2 lm2
l
P1 m1 P2 m2
面积比尺：
A
AP Am
l
2 P
l
2 m
l2
体积比尺：
2、量纲和谐原理规定了一个物理过程中有关物
理量之间的关系。 z1
p1
g
g
Q1
2
11
2g
g
Q1
z2
p2
g
g
Q2
2
2 2
2g
g
Q
量纲和谐：
2
2
z1
p1
11
2g
z2
p2
22
2g
hw
量纲不和谐： C RJ
C
1
R
1 6
n
7.2 量纲分析法
两种方法：
雷利法——适用于比较简单的问题。
π定理——具有普遍性的一种方法。
也不同。无量纲数则在任何时候都不改变其值； 2、不受运动规模的影响——模型与原型值相同； 3、可进行超越函数的运算 有量纲数只能做简单的代数运算，无量纲数可作对数、指
数、三角等超越函数的运算。
7.1.3 量纲和谐原理
量纲和谐——即方程各项单位一致。
1、凡正确反映客观规律的物理方程，一定能
表示成由无量纲组成的方程；
解：与水轮机输出功率N有关的物理量有——
γ、Q、H（水头），即：
f (N, ,Q, H ) 0
其指数关系式为： N K a Qb H c 其量纲式为： [N] [ ]a[Q]b[H ]c
采用LTM制，则：
[M
L2T 3]
[M
L2T
a
2]
[L3
T
1]b
[L]c
根据量纲和谐原理求指数：
M : 1a
把无任何联系、相互独立的量纲作为基本量纲。 如： [L]、 [T]、 [M] 三方面的物理量：
几何学——L、A、V等。 运动学——u、a、Q、ν、υ等。 动力学——m、F、ρ、τ、μ、p等。
见表7-1。
7.1.2 有量纲量和无量纲量
物理量关系式： [X ] [L]a[T ] [M ] 若 0， 0， 0 ，该量为几何学的量； 若0，0，=0 ，运动学的量； 若0，0，0 ，动力学的。 若=0，=0，=0 ，即 为无量纲，如。 无量纲数的特点： 1、客观性——同一物理量，若单位不同，则有量纲数数值
解： f (Q, H,b, g) 0
Q K ba g H
L3 T [L] [LT 2] [L]
根据量纲和谐原理，有：
解得：
[L]： 3 [T ]： 2 1
1， 2.5
2
根据实验知α=1，从而得
3 2
，令
k
2m，所以：
Q mb
2g
3
H2
例2 求水轮机输出功率的表达式。
7.2.1 雷利法
某一物理过程可描述为：
f ( X 1 X 2 X 3 X n) 0
Xi
K
X
a 1
X
b 2
X
P n1
[
X
i]
K
X
a
1
X
b
2
X
p
n1
按[X]=[M]α[L]β[T]γ确定指数，可得出方程式。
[例7.1]矩形量水堰过堰流量Q与堰上水头H、堰宽b、重
力加速度g有关，用量纲分析法确定流量关系式。
T : -1 a2
a2 1 b2 1
c2 0
2
d
a3 0 b3 1
c2 0
3
l d
4
d
F(1, 2 , 3, 4) 0
F
p
2
， d
，l d
， d
0
f
1
p
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，l d
， d
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p
2
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p
2
f3
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， d
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p
g
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Re， l dd
2
2g
f
c1 1
1
p
2
2 [ ] []a2[d ]b2[]c2
[L2T 1] [LT ]1 a2[L]b2[M L3]c21
M : 0 c2
L : 2 a2 b2 3c2
T : -1 a2
同理
L2T 1 (LT 1)a2 (L)b2 (M L3)c21
M : 0 c2
L : 2 a2 b2 3c2
7.1 量纲分析的意义和量纲和谐原理 7.1.1 量纲和单位 量纲——是指撇开单位的大小后，表征物理量的性质和 类别。 如长度量纲为[L]。 ——“质”的表征。(物理的属性， 物理量的实质，不含人为的影响) 单位——量度各种物理量数值大小的标准量，称单位。 如长度单位为m或cm等。——“量”的表征。(人为规定的量 度 标准) 基本量纲和导出量纲——具有独立性的，不能由其他 量纲推导出来的量纲叫做基本量纲。一般取长度、质量、 时间，即[LMT]。
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1
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X6
X X X 3
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1
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例2 求有压管流压强损失表达式。
解：
⑴有关物理量为 f（p、、、l、d、、） 0
有关量数n=7。
⑵基本量纲 , d, ，m=3。
⑶组成项，π数n- m=4
p
1 a1 d b1 c1
2 a2 d b2 c2
l
3 a1 d b3 c3
4 a4 d b4 c4
F(1, 2 , 3, 4) 0
⑷ 确定各π项指数
1 [p] []a1[d ]b1[ ]c1
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[M L1T 2] [LT ]1 a1[L]b1[M L ]3 c1
M : 1 c1
L : -1 a1 b1 3c1
T : - 2 a1
a1 2 b1 0
V
V V
P A
l
3 P
l
3 m
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7.3.2 运动相似
两个流动相应点速度方向相同，大小成比例。
t tP
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L : 2 2a 3b c
L : 3 2a b
解得：a=1，b=1，c=1 整理方程式得：N=KγQH, K 由实验定。
7.2.2 π定理
某一物理过程可描述为：
f (X1, X 2, X 3,X n) 0
选其中 m个作为基本量，则该方程可由 n-m个无量纲式 描述：
F (1, 2 , 3 , nm) 0
π为无量纲数。分别求出各个π再回代即得。 例如， f (X1, X 2 , X 3, X n) 0，若选基本量为 X1、X2、X3、
F(1, 2 , 3, n3) 0
X1 、X2 、X3独立。
确定各指数，得各π值，再回代F得物理方程式。
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X4
X X X 1
1
1
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2
3
2
X5
X X X 2
2
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Re， d
7.3 流动相似概念
相似概念: 几何相似、运动相似、动力相似。
7.3.1 几何相似——相应的线段长度成比例。 如：
下标P表示原型，下标m表示模型。λ为比尺。
l P1 l m1
lP2 lm2
l
P1 m1 P2 m2
面积比尺：
A
AP Am
l
2 P
l
2 m
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体积比尺：
2、量纲和谐原理规定了一个物理过程中有关物
理量之间的关系。 z1
p1
g
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量纲和谐：
2
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量纲不和谐： C RJ
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7.2 量纲分析法
两种方法：
雷利法——适用于比较简单的问题。
π定理——具有普遍性的一种方法。
也不同。无量纲数则在任何时候都不改变其值； 2、不受运动规模的影响——模型与原型值相同； 3、可进行超越函数的运算 有量纲数只能做简单的代数运算，无量纲数可作对数、指
数、三角等超越函数的运算。
7.1.3 量纲和谐原理
量纲和谐——即方程各项单位一致。
1、凡正确反映客观规律的物理方程，一定能
表示成由无量纲组成的方程；
解：与水轮机输出功率N有关的物理量有——
γ、Q、H（水头），即：
f (N, ,Q, H ) 0
其指数关系式为： N K a Qb H c 其量纲式为： [N] [ ]a[Q]b[H ]c
采用LTM制，则：
[M
L2T 3]
[M
L2T
a
2]
[L3
T
1]b
[L]c
根据量纲和谐原理求指数：
M : 1a
把无任何联系、相互独立的量纲作为基本量纲。 如： [L]、 [T]、 [M] 三方面的物理量：
几何学——L、A、V等。 运动学——u、a、Q、ν、υ等。 动力学——m、F、ρ、τ、μ、p等。
见表7-1。
7.1.2 有量纲量和无量纲量
物理量关系式： [X ] [L]a[T ] [M ] 若 0， 0， 0 ，该量为几何学的量； 若0，0，=0 ，运动学的量； 若0，0，0 ，动力学的。 若=0，=0，=0 ，即 为无量纲，如。 无量纲数的特点： 1、客观性——同一物理量，若单位不同，则有量纲数数值
解： f (Q, H,b, g) 0
Q K ba g H
L3 T [L] [LT 2] [L]
根据量纲和谐原理，有：
解得：
[L]： 3 [T ]： 2 1
1， 2.5
2
根据实验知α=1，从而得
3 2
，令
k
2m，所以：
Q mb
2g
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H2
例2 求水轮机输出功率的表达式。
7.2.1 雷利法
某一物理过程可描述为：
f ( X 1 X 2 X 3 X n) 0
Xi
K
X
a 1
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按[X]=[M]α[L]β[T]γ确定指数，可得出方程式。
[例7.1]矩形量水堰过堰流量Q与堰上水头H、堰宽b、重
力加速度g有关，用量纲分析法确定流量关系式。
T : -1 a2
a2 1 b2 1
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T : -1 a2
同理
L2T 1 (LT 1)a2 (L)b2 (M L3)c21
M : 0 c2
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