重庆一中2015届高三上学期一诊模拟考试数学理试题

2015 年重庆一中高 2015 级高三上学期一诊模拟考试 数学试题卷（理科） 2015.1 本试题卷共 4 页。满分 150 分，考试时间 120 分钟。 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2．答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮 擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
（ 6 分）
f ( ) 3sin( （ 2） 2
) 1 sin( 6
1 ) 6 3。
( ,) 2
27
22
( , ) cos(
)
0
6 36
6
3
126
sin(
) cos cos (
)
cos(
)cos sin(
)sin
2
66
66
66
6
（ 13 分）
18. 解：（I）由题意知本题是一个等可能事件的概率 试验发生包含的事件是 4 个人中，每一个人有 3 种选择，共有 34 种结果， 满足条件的事件是恰有 2 人申请 A 学校，共有 C4222 种
T2 T5 1
差数列；（ 2）
6。
（ 1）求数列 an 的通项公式 an ；
（ 2 ）设数列
1 0 Sn
4
bn
bn
满足
n
n
2
an
，其前
n 项和为
Sn 。求证：对任意正整数
n ，有
命题人：李兵 审题人：李华
2015 年重庆一中高 2015 级高三上学期一诊模拟考试 数学答案（理科）
选择题：
1
2
3
4
5
1 n1
1
an 当 n 2 时，
Tn Tn 1
n1 1
n
n
n
1 ，当 n
1 时， a1
T1
1 2 符合
n an
n1
（ 5 分）
bn
（ 2）注意到：
n an
n2
n
n
n ( n )2 n 2 n1
n2
n2
(n 2) n ( n 1)2
0
n 2 n1
n
n
n
n
n2 n1
n 2 n1
Sn 0
同时，由上面可知：
（ 2） 4 人申请的学校个数 的分布列和期望 .
f (x) 2sin( x )cos x sin xcos x
19. （本题满分 13 分） 已知函数
3
（ 1）求 f ( x) 的单调递增区间；
3 sin 2 x （ x R ）．
（ 2）在 ABC 中， B 为锐角，且 f ( B) 3 ， AC 4 3 ， D 是 BC 边上一点， AB AD ，试 求 ADC 周长的最大值．
(x 1)2 =0 得 x 0
且 f ( x) 在 1,0 上单调递减，在 0,
上单调递增，
此时 f ( x) 的最小值为 f (0) 0
（ 6 分）
2
由（ 1）知当 a
1时 f ( x)
0 恒成立，即 ln( x 1)
x1
x
2
0
恒成立；
2
2
所以当 a 1 ， x
0, 2
f (x)
时，
ln( x 1)
y2
b2
1
的左右焦点，以
F1F2 为直径作圆与双曲线左支交于
A, B 两
点，且 AF1B 120 .则双曲线的离心率为
__________
13.设 x, y 满足约束条件
3x y 2 0
xy0
x
0, y
0
，若目标函数
z
ax
by ( a
0, b
Leabharlann Baidu
0) 的最大值为 2，
11
y sin(mx )
当 a b 的最 小值为 m时，则
（
）
f ( x), f (x) f (x 4) ， 且 x ( 1,0) 时 ，
A． 1
4 B． 5
C． 1
4 D． 5
| x | kx2
7.若关于 x 的方程 x 4
有四个不同的实数解 ,则 k 的取值范围为 (
)
A. (0,1)
1 ( ,1) B. 4
1 (, ) C. 4
D. (1, )
8.数列 { ak } 共有 11 项 , a1 0, a11 4, 且 | ak 1 ak | 1,k 1,2, ,10 。满足这种条件的不同数列
.
15. 在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线
x 2 3t
y 1 t （ t 为参数）与曲线 a ______．
2asin （ θ为参数且 a 0 ）相切，则
x1
16.若不等式
x2
a2 a 1的解集不为
，则实数 a 的取值范围是 ______．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 75 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .）
∴根据等可能事件的概率公式得到
P=
=
（6
分） （ II）由题意知 ξ的可能取值是 1， 2，3
P（ ξ =）1 =
， P（ ξ =）2 =
，
P（ ξ =）3 =
∴ ξ的分布列是：
ξ1
2
3
P
∴ Eξ＝ 分）
1
3
f ( x) 2( sin x
cos x)cos x sin x cos x
19．（ 1）
f (x) 在 0, x2 上单调递减。 若 0 x2 2 ，则 f (x2) f (0) 0 ，矛盾； 若 x2 2，则 f (2) f (0) 0 ，也与条件矛盾。 综上可知， a 的取值范围为 1,
y2 x2 1 21.（ 1）椭圆方程： 4
（ 12 分） （ 4 分）
（ 2 ）可由 OA OB 设 A OA cos , OA sin
13 17. （ 本 题 满 分 13 分 ） 已 知 等 比 数 列 { an } 的 公 比 q =3 ， 前 3 项 和 S3 = 3 . 若 函 数
f (x) = Asin(2 x
) （ A ＞ 0,0＜
＜
x
）在
6 处取得最大值，且最大值为
a3 。
（ 1）求函数 f ( x) 的解析式 .
f( ) 1
ax x1
2
ln( x 1)
x1
x2
0
a 1符合要求
f ( x) 当 0 a 1时，
1
2
x 1 (x 1)2
a
ax2
(2a 1)x a 1 (x 1)2
由于方程 ax2 (2a 1)x a 1 0 的
8a 1 0 ，所以该方程有两个不等实根 x1, x2 ，且
a1
x1 x2 。由 x1x2
a
0 知 x1 0 x2 。
B OB cos(
，
), OB sin( 2
) 2,
即 B OB sin , OB cos 。
sin2 4
将 A,B 代入椭圆方程后可得：
cos2
1 cos2
2, OA
4
sin2
两式相加可得：
1
2
OA
1
2
OB
2
2
5 OA OB
2
2
4 OA OB
=
2
AB
2
2
OA OB
OA OB
4
AB 边上的高为
AB
）
D． 12
A．若命题 P： ? x0 ∈ R， .则￢ P：? x0 ∈ R， x02 x0 1 0
B．若命题 p∨ q 为真，则 p∧ q 为真 C．一组数据 1， 2， 3，3， 4， 5 的平均数、众数、中位数都相同 D．根 据具有 线 性相 关关系 的两个变 量 的统 计数据 所得的 回归 直 线方程 为
n
n
n 2 n1
n2
n2
n2
n2
n2
( n 2) n (n 1)2 (n 2) n (n 1)2 (n 2)n (n 1)2
1
11
1
bn
n
n
2n
2n
(
)
2( n 1)( n 2) 2 n 1 n 2
n2 n1
n1
n1
Sn b1 b2 b3
1 11
bn
(
)
223
11 1 1
(
)
22 n 2 4
11 34
6
7
8
9
10
D
C
B
B
A
C
C
B
A
B
填空题
11 12
13
14 15 16
0.1 解答题：
3 1 y sin 2x
1
2
, 1 0,
S3
17．（ 1）由
a1(1 q3 ) 1q
a1(1 27) 13
13
3
a1
得
1 3 ， a3
a1q2
3
2
2k
2k
,k Z
由已知有 A=3， 6
2
，
6
。
6
f (x) 3sin(2 x ) 6
M y 轴上，过点
3
,1
2
，离
3 心率为 2 。
（ 1）求椭圆 C 的方程。
（ 2）若 A, B 为椭圆 C 上的动点，且 OA OB （其中 O 为坐标原点） 。求证：直线 AB 与定圆
相切。并求该圆的方程与 OAB 面积的最小值。
22. （本题满分 12 分）已知数列
1 an 的前 n 项之积 Tn 满足条件：（1） Tn 为首项为 2 的等
的个数为 (
)
A. 100
B. 120
C. 140
D. 160
9．抛物线 y 2x2 上两点 A x1, y1 , B x2, y2 关于直线 y x m 对称，若 x1x2
的值是（ ） .
1 2 ，则 2m
A.3
B.4
C.5
D.6
10. sin 410 sin 4 50 sin 4 70
（）
A． 1
3 的 图象向右平移 6 后的表达 式为
_____________。
考生注意： 14~16 题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．
14.如图， ABC 的角平分线 AD 的延长线交它的外
1
S AD AE
接圆于点 E. 若 ABC 的面积
2
，则 BAC
的大小为 ________
0B
2B
2 .又
2 ，则 3
3 3 ，从而
2B
B
3 3 ，∴
3.
由 AB AD 知 ABD 是正三角形， AB AD BD ，
∴ AD DC BD DC BC ，
（ 13 kZ
43
sin
在 ABC 中，由正弦定理，得
3
BC sin BAC
，即 BC 8sin BAC .
∵ D 是 BC 边上一点，∴ 3
2
f ( x) ln( x 1)
ax 2
20. （本题满分 12 分）已知函数
x1
（其中 a 0 ）。
（ 1）当 a 1 时，求 f ( x) 的最小值；
（ 2）若 x 0, 2 时， f ( x) 0 恒成立，求实数 a 的取值范围。
2 1. （本题满分 12 分）已知椭圆 C 中心为坐标原点，焦点在
3．答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分）。
1．复数 z= A．第一象限
（其中 i 为虚数单位）在复平面内对应的点在（
）
B．第二象限
C．第三象限
y b x a ，若 b 2 ， x 1 ， y 3, 则 a 1
5.在等腰 ABC 中， BAC 120 , AB AC 2 ， BC 2BD , AC 3AE ，则 AD BE 的值为 （）
2 A． 3
1 B． 3
1 C． 3
4 D． 3
6 .定义在
f
R 上的函数
x
满足 f(
x)
fx
2x
1 5 ，则 f (log2 20)
D．第四象限
A
2．已知集合
0,1,m B
，
x0 x 2
AB
，若
1,m ，则 m 的取值范围是 （
)
A． (0,1)
B． (1, 2)
C． (0,1) (1, 2)
D． (0, 2)
3．设有算法如右图所示：如果输入 A 144, B 39 ，则输出的结果是（ ）
A． 144
B． 3
C． 0
4．下列命题错误的是（
（ 2）若 2
，
( , ) sin( a )
2 ，求
2 的值。
18. （本题满分 13 分）现有 3 所重点高校 A,B,C可以提供自主招生机会， 但由于时间等其他客
观原因，每位同学只能申请其中一所学校，且申请其中任一所学校是等可能的。现某班有
4
位同学提出申请，求：
（ 1）恰有 2 人申请 A 高校的概率；
=5
x2 y2 4
AB 与定圆
5 相切
1
2
同时： OA
1
2
OB
5 4
2
OA OB
OA OB
，
8 5
S OAB
1 OA OB
2
4 5 ，当且仅当 OA
OB
时取等。
1
2
OB
（ 12 分）
22.（ 1）设数列
1
Tn
公差为
d
T2
,则
1 ,T5 2d
1 2 4d
T2 T5
由方程
1 6 可得 d 1，
1 Tn
2 (n 1) 1 n 1, Tn
9 B． 8
5 C． 4
3 D． 2
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，请按要求作答 5 小题，共 25 分）
11. 已 知 随 机 变 量
满 足 正 态 分 布 N (u,
2) ， 且
(
P
1 1)
2 ，P(
2) 0.4 ， 则
P( 0
1 )=
．
x2 12.设 F1, F2 为双曲线 a2
2
2
3 sin 2 x
2sin x cos x 3(cos2 x sin 2 x) sin 2x 3 cos 2x
2sin(2 x ) 3. 2k
由2
2x
2k
k
32
，得 12
5
x
k
12
（ k Z）.
k ,5 k
单调递 增区间 为
12
12
，
(7 分 )
（ 2）由 f (B)
sin(2 B )
3得
3
3
2
2
3
BAC
sin BAC 1
3 ，∴ 2
，知 4 3 BC 8 .
BAC 当
，C 2
6 时， AD CD 取得最大值 8，周长最大值为 8 4 3 。（13 分）
20 . f (x) 的定义域为 1,
2
f ( x) ln( x 1)
x2
当 a 1时，
x1
，
1
2
x( x 3)
f ( x)
令
x 1 (x 1)2 1
11
(
)
n1 n 2
（ 12 分）
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