第一讲 有限元
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1节点
F1 (F11 ) 0
F1 F11 F2 F21 F22
1 2 2节点 F2 (F2 ) (F2 ) 0
2 3节点 F3 (F3 ) 0
F3 F32
1 u1 u1 2 u2 u1 u2 2 2 u3 u3
由位移连续性质，得：
3. 方程扩展
1
F2 2 -F21 -F22
F2
2
kb
F3
F32 -F3
2
3
2
F1 F11
F2 F21 F22
F3 F32
注意， 11 , F21 , F12 , F22 是作用于单元节点上的力，对于单元而言，是外力， F 但对整体而形，则是内力。故不能将单元节点力 F11 , F21 , F12 , F22 与节点上 的载荷 F1 , F2 , F3 混淆。但两者之间存在一定关系——力的平稳关系。
3. 节点1,2固定
F1b ka u2 , F3b kb u2
F1c u =0 1 ka
B工况
F2c u2=0 kb F3c u3 3
F3c kb u3 F2c F1c 0
1
2
C工况
4. 合成
F1 F1a F1b F1c ka u1 ka u2 0 F2 F2a F2b F2c ka u1 (ka kb )u2 kb u3 F3 F3a F3b F3c 0 kb u2 kb u3
F1a F2a 2. B况:节点1固定，节点2移动 F2b ku2 F2b ku2 F1b F2b F1b
3. 合成 节点1上的力 节点2上的力
F1a ku1 F2a
F1 F1a F1b F2 F2a F2b
F1 ku1 ku2 F2 ku1 ku2
1. 结构体的离散化 将任意形状的物体分割成有限数目的“单元”，单元之间只在 有限个“节点”处相连接。构成由单元组成的集合体。在节点 处引入等效载荷(或边界条件),代替实际作用于原系统上的外载 荷。 2. 进行单元分析 按一定的规则(直接刚度法，虚功原理等），主要分析“节点力 ——节点位移”的关系，得出单元“刚度矩阵”。 3. 整体分析 将所有单元集合成整体结构进行分析，建立整体结构的平衡方程 ——整体刚度方程(整体刚度矩阵)，引入边界条件，解线性方程 组，求得所有节点位移，进而求出各单元内力。 步骤明确，可以实现分析过程的程序化
B
E
A
D
问题:
1.整体刚度矩阵[K]与各杆刚度ki的关系? 2.如何由各杆刚度ki计算整体刚度矩阵[K]?
§2.2 弹簧系统的刚度矩阵
一. 单个弹簧的刚度矩阵
F1 1
u1 F2 2 u2 +
F1a u1 F2a 2 u2=0 2 u2 F2b
A工况 B工况
F1b 1
u1=0
根据线性迭加原理,可分解成两个简单的系统,然后再合成。 1. A况: 节点2固定，节点1移动 F1a ku 1
§1.3 常用有限元软件简介 常用软件：Ansys, MSC, ADINA, SAP2000 Ansys系例通用有限元分析软件 1. 发行者 美国Ansys公司(世界上最大的有限元软件公司)，目前有： Ansys8.0, Ansys8.1, Ansys9.0, Ansys10.0 Ansys11版本 。网上一些 论坛中有破解版，要耐心的找，可解决你所遇的工程问题。 2. 主要功能及组成
采用三个方程：平衡方程 ，几何方程，物理方程。 从构件的微元体dxdydz进 行分析，末作有关变形和 应力的假设.
表现形式
偏微分方程，求解较因难 ，常采用数值方法近似计 算。如有限差分法，有限 元法，边界元法。
机械结构有限元法——针对弹性力学问题的数值计算方法
§1.2 有限元方法的分析过程
三个主要步骤
e 1
e
2
e e k k k11 k12 K k k k21 k22 e e
故： {F e } [ K e ] {ue } 4.单元刚度矩阵的性质 1)单元刚度矩阵的意义
F1 k F 2 k
5.整体刚度矩阵[K]的性质——与单元刚度矩阵类似 1)总体刚度矩阵的意义——总体刚度矩阵中第i列的意义
使节点i产生单位位移，而使其他节点位移保持为零的情况下， 作用在各节点上的外力。
2) 矩阵阶数 （结点数×结点自由度）阶方阵。 本例中：结点数为3，结点自由度为1，故[K]为3阶方阵
3) 奇异矩阵 即所对应的行列式之值为0
F1 ku1 ku2 F2 ku1 ku2
设： 1)作用力向量
3)单元刚度矩阵
F1 k k u1 F2 k k u2
e 1
F F F
2
2)位移向量
u u
ka ka 0 k k kb k kb ka ka kb kb ka a b ka a 0 kb kb 0 kb 0 kb kb
三. 由弹簧单元刚度矩阵迭加成弹簧组的刚度矩阵 1.单元一、二的受力—位移方程(注意节点编号顺序) 在节点处取一微小段
F1 1 -F11 1 F11 1 ka F2 2
F1 u1 1
ka
F2 u2
2
kb
F3 u3
3
可分解成三个简单的系统 1. 节点2,3固定
F1a u1 1 ka
F2a u2=0
2
kb
F3a u3=0
3
F1a ka u1 F2a
F3a 0
2. 节点1,3固定
F1b u1=0 1 ka
A工况
F2b u2
2 kb
F3b u =0 3
3
F2b (ka kb )u2
2) 矩阵阶数 设单元自由度为n(即单元中所有结点的位移量个数)， 则单元刚度矩阵为n阶方阵。
3) 对称矩阵 关于主对角线对称。即： kij k ji
4) 奇异矩阵 即所对应的行列式之值为0
k k k k kk (k )(k ) 0
k k k k
二. 弹簧组的刚度矩阵
（本科版）
主
TEL :
Email:
讲
张
强
长江大学机械工程学院
8060739—2(Office) 8060671(Office) 13972397731 Lwdzst@
§1.1 有限元方法概述 一. 什么是有限元法(Finite Element Method) 1. 有限元法是近似求解一般连续问题的数值方法。将连续体离散 成若干较小的单元，分析单元的力学关系，再综合成整体。是 一种将复杂问题变成简单问题综合的方法。 2. 该方法首先应用于结构的应力分析，近10-20年来，在求解热传 导、电磁场、流体力学等连续问题领域得到广泛应用。 3. 是力学、数学理物理方法学、计算力学、计算机技术等多学科 综合发展和结合的产物 4. 有限元法可以对复杂的工程结构进行分析，获得各种力学和机 械性能信息，是现化工程技术和研究人员进行设计和分析所必 须掌握的一种理论和方法。
二. 承受拉/压作用的桁架 1. 杆单元受载与变形特点(等截面)
由材料力学公式,可得
Fl EA
2. 桁架受载与变形 对任一杆件,均可得出
EA F l
F k
刚度
P1 C P2 F
Fi ki i
对桁架整体,可采用类似的公式
F K
所有杆件的 节点外载 整体刚 各节点 度(矩阵) 位移
3）后处理模块：将计算结果以彩色等值线、梯度、矢量、粒子 流等图形方式显式。以图表、曲线等形式输出。
§1.4 本课程的目的和主要内容
一. 本课程的目的 1).掌握有限元分析的基本理论和主要结论；
2).能针对实际工程结构建立有限元分析模型；
3).学会使用Ansys软件进行结构有限元分析。 二. 本课程的主要内容——主要学习结构静力学有限元分析 1).杆件(刚架)结构有限元分析 2).平面问题有限元分析 3).轴对称结构有限元分析 4).三维问有限元分析 5)Ansys软件基本使用 三.主要参考书籍
e 11 e 21
k u1 k u2
e 12 e 22
令: u1 1, u2 0 则 令: u1 0, u2 1 则
e e F1 k11 , F2 k21
e e F1 k12 , F2 k22
单元刚度矩阵中第i列的意义
使节点i产生单位位移（1），而使其他节点位移保持为零的情况下 ，作用在各节点上的力。
二. 有限元法与其他力学理论的关系
材料力学 弹性力学
研究对象
简单变形体。如杆件， 梁，轴等，长度尺寸远 大于横向尺寸。
任意形状结构
材料力学
弹性力学
研究方法
采用三个方程：平衡方程 ，几何方程，物理方程。 从构件的整个截面考虑， 引用了截面的变形或应力 假设。 积分方程(宏观的实用公 式），可直接应用
2 F22 ka ka u2 单元二 2 2 F3 ka ka u3
0 0 0 0 u1 2 F2 0 kb kb u2 （2-2） F32 0 kb kb u3
Байду номын сангаас
单元1
1 F11 ka ka u1 1 k k 1 F2 a a u2
单元2
2 F22 kb kb u2 2 k k 2 F3 b b u3
2.节点平衡分析
可在长大图书馆网页中“超星图书馆”下 载 1).李人宪. 有限元法基础. 国防工业出版社 2).赵经文等. 结构有 限元分析. 科学出版社 3) 有关ansys软件的应用书籍
§2.1 问题的引入 一. 杆件结构的特点
1. 组成单元：杆件(等截面) ，两端点为节点。长度尺寸>>横向尺寸。 一根杆就是一个单元——自然划分 2.两端联接 1). 铰联接——两端可以自由转动。承受：拉、压和扭矩。称为杆 2). 刚性联接——两端不能自由转动。主要承受横向力和弯矩(也能承受 拉、压、扭)。称为梁 3. 组成型式 1). 桁架结构——由“杆单元”组成 2). 刚架结构——由“梁单元”组成
融结构、流体、电场、磁场、声场分析于一起的大型通用有限元分 析软件。主要包括三个部分：
1）前处理模块：包括实体建模、网格划分。有100多种单元类型。 基本能满足工程需要。 2）分析计算模块：包括结构分析(可进行性线、非线性、高度非线 性有限元分析)、流体动力学分析、电磁场分析、声场分析、压电分 析和多物理场耦合分析及优化分析等内容。
写成矩阵形式:
ka 0 u1 F1 ka 整体刚 F2 ka ka kb kb u2 度矩阵: F 0 u kb kb 3 3
ka 0 ka K ka ka kb kb 0 kb kb
4. 刚度矩阵迭加
(2-1)+(2-2)得：
F11 0 ka 0 ka 0 0 0 u1 平衡关系 1 F2 F22 ka 0 ka kb kb u2 0 F32 0 0 kb kb u3
F1 k11 k12 k13 u1 参照 F2 k21 k22 k23 u2 故应将单元受力方程扩展成3阶 F k k k u 3 31 32 33 3 F11 ka ka 0 u1 1 1 F11 ka ka u1 F2 ka ka 0 u2 （2-1） 单元一 1 u1 0 0 0 0 u3 F2 ka ka 2
F1 (F11 ) 0
F1 F11 F2 F21 F22
1 2 2节点 F2 (F2 ) (F2 ) 0
2 3节点 F3 (F3 ) 0
F3 F32
1 u1 u1 2 u2 u1 u2 2 2 u3 u3
由位移连续性质，得：
3. 方程扩展
1
F2 2 -F21 -F22
F2
2
kb
F3
F32 -F3
2
3
2
F1 F11
F2 F21 F22
F3 F32
注意， 11 , F21 , F12 , F22 是作用于单元节点上的力，对于单元而言，是外力， F 但对整体而形，则是内力。故不能将单元节点力 F11 , F21 , F12 , F22 与节点上 的载荷 F1 , F2 , F3 混淆。但两者之间存在一定关系——力的平稳关系。
3. 节点1,2固定
F1b ka u2 , F3b kb u2
F1c u =0 1 ka
B工况
F2c u2=0 kb F3c u3 3
F3c kb u3 F2c F1c 0
1
2
C工况
4. 合成
F1 F1a F1b F1c ka u1 ka u2 0 F2 F2a F2b F2c ka u1 (ka kb )u2 kb u3 F3 F3a F3b F3c 0 kb u2 kb u3
F1a F2a 2. B况:节点1固定，节点2移动 F2b ku2 F2b ku2 F1b F2b F1b
3. 合成 节点1上的力 节点2上的力
F1a ku1 F2a
F1 F1a F1b F2 F2a F2b
F1 ku1 ku2 F2 ku1 ku2
1. 结构体的离散化 将任意形状的物体分割成有限数目的“单元”，单元之间只在 有限个“节点”处相连接。构成由单元组成的集合体。在节点 处引入等效载荷(或边界条件),代替实际作用于原系统上的外载 荷。 2. 进行单元分析 按一定的规则(直接刚度法，虚功原理等），主要分析“节点力 ——节点位移”的关系，得出单元“刚度矩阵”。 3. 整体分析 将所有单元集合成整体结构进行分析，建立整体结构的平衡方程 ——整体刚度方程(整体刚度矩阵)，引入边界条件，解线性方程 组，求得所有节点位移，进而求出各单元内力。 步骤明确，可以实现分析过程的程序化
B
E
A
D
问题:
1.整体刚度矩阵[K]与各杆刚度ki的关系? 2.如何由各杆刚度ki计算整体刚度矩阵[K]?
§2.2 弹簧系统的刚度矩阵
一. 单个弹簧的刚度矩阵
F1 1
u1 F2 2 u2 +
F1a u1 F2a 2 u2=0 2 u2 F2b
A工况 B工况
F1b 1
u1=0
根据线性迭加原理,可分解成两个简单的系统,然后再合成。 1. A况: 节点2固定，节点1移动 F1a ku 1
§1.3 常用有限元软件简介 常用软件：Ansys, MSC, ADINA, SAP2000 Ansys系例通用有限元分析软件 1. 发行者 美国Ansys公司(世界上最大的有限元软件公司)，目前有： Ansys8.0, Ansys8.1, Ansys9.0, Ansys10.0 Ansys11版本 。网上一些 论坛中有破解版，要耐心的找，可解决你所遇的工程问题。 2. 主要功能及组成
采用三个方程：平衡方程 ，几何方程，物理方程。 从构件的微元体dxdydz进 行分析，末作有关变形和 应力的假设.
表现形式
偏微分方程，求解较因难 ，常采用数值方法近似计 算。如有限差分法，有限 元法，边界元法。
机械结构有限元法——针对弹性力学问题的数值计算方法
§1.2 有限元方法的分析过程
三个主要步骤
e 1
e
2
e e k k k11 k12 K k k k21 k22 e e
故： {F e } [ K e ] {ue } 4.单元刚度矩阵的性质 1)单元刚度矩阵的意义
F1 k F 2 k
5.整体刚度矩阵[K]的性质——与单元刚度矩阵类似 1)总体刚度矩阵的意义——总体刚度矩阵中第i列的意义
使节点i产生单位位移，而使其他节点位移保持为零的情况下， 作用在各节点上的外力。
2) 矩阵阶数 （结点数×结点自由度）阶方阵。 本例中：结点数为3，结点自由度为1，故[K]为3阶方阵
3) 奇异矩阵 即所对应的行列式之值为0
F1 ku1 ku2 F2 ku1 ku2
设： 1)作用力向量
3)单元刚度矩阵
F1 k k u1 F2 k k u2
e 1
F F F
2
2)位移向量
u u
ka ka 0 k k kb k kb ka ka kb kb ka a b ka a 0 kb kb 0 kb 0 kb kb
三. 由弹簧单元刚度矩阵迭加成弹簧组的刚度矩阵 1.单元一、二的受力—位移方程(注意节点编号顺序) 在节点处取一微小段
F1 1 -F11 1 F11 1 ka F2 2
F1 u1 1
ka
F2 u2
2
kb
F3 u3
3
可分解成三个简单的系统 1. 节点2,3固定
F1a u1 1 ka
F2a u2=0
2
kb
F3a u3=0
3
F1a ka u1 F2a
F3a 0
2. 节点1,3固定
F1b u1=0 1 ka
A工况
F2b u2
2 kb
F3b u =0 3
3
F2b (ka kb )u2
2) 矩阵阶数 设单元自由度为n(即单元中所有结点的位移量个数)， 则单元刚度矩阵为n阶方阵。
3) 对称矩阵 关于主对角线对称。即： kij k ji
4) 奇异矩阵 即所对应的行列式之值为0
k k k k kk (k )(k ) 0
k k k k
二. 弹簧组的刚度矩阵
（本科版）
主
TEL :
Email:
讲
张
强
长江大学机械工程学院
8060739—2(Office) 8060671(Office) 13972397731 Lwdzst@
§1.1 有限元方法概述 一. 什么是有限元法(Finite Element Method) 1. 有限元法是近似求解一般连续问题的数值方法。将连续体离散 成若干较小的单元，分析单元的力学关系，再综合成整体。是 一种将复杂问题变成简单问题综合的方法。 2. 该方法首先应用于结构的应力分析，近10-20年来，在求解热传 导、电磁场、流体力学等连续问题领域得到广泛应用。 3. 是力学、数学理物理方法学、计算力学、计算机技术等多学科 综合发展和结合的产物 4. 有限元法可以对复杂的工程结构进行分析，获得各种力学和机 械性能信息，是现化工程技术和研究人员进行设计和分析所必 须掌握的一种理论和方法。
二. 承受拉/压作用的桁架 1. 杆单元受载与变形特点(等截面)
由材料力学公式,可得
Fl EA
2. 桁架受载与变形 对任一杆件,均可得出
EA F l
F k
刚度
P1 C P2 F
Fi ki i
对桁架整体,可采用类似的公式
F K
所有杆件的 节点外载 整体刚 各节点 度(矩阵) 位移
3）后处理模块：将计算结果以彩色等值线、梯度、矢量、粒子 流等图形方式显式。以图表、曲线等形式输出。
§1.4 本课程的目的和主要内容
一. 本课程的目的 1).掌握有限元分析的基本理论和主要结论；
2).能针对实际工程结构建立有限元分析模型；
3).学会使用Ansys软件进行结构有限元分析。 二. 本课程的主要内容——主要学习结构静力学有限元分析 1).杆件(刚架)结构有限元分析 2).平面问题有限元分析 3).轴对称结构有限元分析 4).三维问有限元分析 5)Ansys软件基本使用 三.主要参考书籍
e 11 e 21
k u1 k u2
e 12 e 22
令: u1 1, u2 0 则 令: u1 0, u2 1 则
e e F1 k11 , F2 k21
e e F1 k12 , F2 k22
单元刚度矩阵中第i列的意义
使节点i产生单位位移（1），而使其他节点位移保持为零的情况下 ，作用在各节点上的力。
二. 有限元法与其他力学理论的关系
材料力学 弹性力学
研究对象
简单变形体。如杆件， 梁，轴等，长度尺寸远 大于横向尺寸。
任意形状结构
材料力学
弹性力学
研究方法
采用三个方程：平衡方程 ，几何方程，物理方程。 从构件的整个截面考虑， 引用了截面的变形或应力 假设。 积分方程(宏观的实用公 式），可直接应用
2 F22 ka ka u2 单元二 2 2 F3 ka ka u3
0 0 0 0 u1 2 F2 0 kb kb u2 （2-2） F32 0 kb kb u3
Байду номын сангаас
单元1
1 F11 ka ka u1 1 k k 1 F2 a a u2
单元2
2 F22 kb kb u2 2 k k 2 F3 b b u3
2.节点平衡分析
可在长大图书馆网页中“超星图书馆”下 载 1).李人宪. 有限元法基础. 国防工业出版社 2).赵经文等. 结构有 限元分析. 科学出版社 3) 有关ansys软件的应用书籍
§2.1 问题的引入 一. 杆件结构的特点
1. 组成单元：杆件(等截面) ，两端点为节点。长度尺寸>>横向尺寸。 一根杆就是一个单元——自然划分 2.两端联接 1). 铰联接——两端可以自由转动。承受：拉、压和扭矩。称为杆 2). 刚性联接——两端不能自由转动。主要承受横向力和弯矩(也能承受 拉、压、扭)。称为梁 3. 组成型式 1). 桁架结构——由“杆单元”组成 2). 刚架结构——由“梁单元”组成
融结构、流体、电场、磁场、声场分析于一起的大型通用有限元分 析软件。主要包括三个部分：
1）前处理模块：包括实体建模、网格划分。有100多种单元类型。 基本能满足工程需要。 2）分析计算模块：包括结构分析(可进行性线、非线性、高度非线 性有限元分析)、流体动力学分析、电磁场分析、声场分析、压电分 析和多物理场耦合分析及优化分析等内容。
写成矩阵形式:
ka 0 u1 F1 ka 整体刚 F2 ka ka kb kb u2 度矩阵: F 0 u kb kb 3 3
ka 0 ka K ka ka kb kb 0 kb kb
4. 刚度矩阵迭加
(2-1)+(2-2)得：
F11 0 ka 0 ka 0 0 0 u1 平衡关系 1 F2 F22 ka 0 ka kb kb u2 0 F32 0 0 kb kb u3
F1 k11 k12 k13 u1 参照 F2 k21 k22 k23 u2 故应将单元受力方程扩展成3阶 F k k k u 3 31 32 33 3 F11 ka ka 0 u1 1 1 F11 ka ka u1 F2 ka ka 0 u2 （2-1） 单元一 1 u1 0 0 0 0 u3 F2 ka ka 2